《積化和差與和差化積》教學(xué)設(shè)計

17/173.2簡單的三角恒等變換3.2.1積化和差與和差化積(卓忠越)一、教學(xué)目標(biāo)(一)核心素養(yǎng) 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自己導(dǎo)出“積化和差”及“和差化積”公式，領(lǐng)會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．(二)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．能夠推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式； 2．能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、探索和證明一些恒等關(guān)系，進(jìn)一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題； 3．揭示知識背景，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與建模意識．(三)學(xué)習(xí)重點 1．推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式； 2．運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、探索和證明一些恒等關(guān)系，進(jìn)一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題．(四)學(xué)習(xí)難點運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、探索和證明一些恒等關(guān)系，進(jìn)一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題．二、教學(xué)設(shè)計(一)課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)(1)強(qiáng)化鞏固前一節(jié)所學(xué)的三角公式，并填空：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；；；；二倍角的正弦、余弦、正切公式；；(2)閱讀教材P140例2，熟悉公式的推導(dǎo)，并填空：；2．預(yù)習(xí)自測(1)下列等式錯誤的是（）A．B．C．D．【知識點】兩角和與差的正、余弦公式【解題過程】由兩角和與差的正、余弦公式展開左邊即可【思路點撥】cos(A+B)=cosAcosB－sinAcosB,cos(A－B)=cosAcosB＋sinAcosB,sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB．A項正確，B項正確，C項正確．D項，cos(A+B)－cos(A－B)=cosAcosB－sinAcosB-(cosAcosB＋sinAcosB)=－2sinAcosB．【答案】D(2)根據(jù)預(yù)習(xí)所學(xué)，嘗試證明：Ⅰ．；Ⅱ．．【知識點】積化和差、和差化積公式推導(dǎo)【數(shù)學(xué)思想】類比思想、方程思想、換元思想【解題過程】Ⅰ．∵；①；②將①②得：∴Ⅱ．由第一問的結(jié)論，設(shè)，，則，∴【思路點撥】類比例2，用解方程的思想表示，用換元的思想表示．【答案】見解題過程(3)（）A．B．C．D．1【知識點】積化和差【數(shù)學(xué)思想】化歸思想，將非特殊角化為特殊角【解題過程】【思路點撥】正確使用積化和差公式即可得解【答案】B(4)函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【知識點】和差化積【數(shù)學(xué)思想】化歸思想，統(tǒng)一角度【解題過程】∵∴∴【思路點撥】正確使用和差化積公式即可得解【答案】B(二)課堂設(shè)計1．知識回顧(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；；；；(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式；；(3)半角公式；；2．問題探究探究一推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式●活動①運(yùn)用解方程的思想，推導(dǎo)積化和差公式 這組公式有何特點？應(yīng)注意些什么？這組公式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，它的優(yōu)點在于將“積式”化為“和差”，且實現(xiàn)了“降次”，有利于簡化計算．【設(shè)計意圖】用解方程的思想，由已有知識自然過渡引出新知識，便于學(xué)生接受．例1求的值【知識點】積化和差公式應(yīng)用【解題過程】【思路點撥】直接運(yùn)用公式將角轉(zhuǎn)換為特殊角即可．【答案】同類訓(xùn)練：求的值【知識點】積化和差公式應(yīng)用【解題過程】【思路點撥】直接運(yùn)用公式將角轉(zhuǎn)換為特殊角即可．【答案】●活動②運(yùn)用換元的思想，推導(dǎo)和差化積公式在積化和差公式中，若令，，則，將其依次代入，可得什么？觀察這組公式的特點：這組公式稱為和差化積公式，其特點是同名的正(余)弦之和(差)可以化為積的形式，它與積化和差公式相輔相成，配合使用．例2已知，求的值【知識點】和差化積公式應(yīng)用【解題過程】∵①②又∵∴∴∴【思路點撥】由和差化積先得，再由二倍角公式得【答案】同類訓(xùn)練sin105°＋sin15°等于（）A．B．C． D．【知識點】和差化積公式應(yīng)用【解題過程】sin105°＋sin15°＝2＝2sin60°cos45°＝【思路點撥】由和差化積將角化為特殊角求值【答案】C【設(shè)計意圖】從正弦、余弦的和(差)角公式出發(fā)，逐步推導(dǎo)出積化和差、和差化積公式，再簡單應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生對公式掌握的熟練度．探究二兩組公式在三角函數(shù)變形中的應(yīng)用三角函數(shù)的積化和差與和差化積，這兩種互化，對于求三角函數(shù)的值、化簡三角函數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形，都有重要的作用，它們的作用和地位在三角函數(shù)的變形中是十分重要的．例3求sin75°·cos15°的值【知識點】積化和差公式應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】(法一)考慮到75°±15°都是特殊角，所以想到使用積化和差公式解決之．(法二)由于75°與15°互為余角，可以統(tǒng)一角度(法三)由于75°與15°可以由45°與30°組合而成，所以可用和差角的三角函數(shù)公式來解決∴【思路點撥】三角函數(shù)求值或恒等變換，往往可以從不同角度考慮，進(jìn)而使用不同的三角公式，獲得問題的解決，可謂殊途同歸，但是我們考慮問題時，一定要根據(jù)條件及結(jié)論、選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ郧髥栴}的解決．【答案】【設(shè)計意圖】從不同角度使用不同的三角公式，都殊途同歸使得問題解決，有利于鍛煉學(xué)生從多角度思考問題并解決問題．同類訓(xùn)練求sin37.5°cos7.5°＝________．【知識點】積化和差公式應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】利用積化和差公式化非特殊角為特殊角即可【答案】例4求=___________；【知識點】積化和差公式應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】∵，∴【思路點撥】利用積化和差公式化化積為和差，將非特殊角化為特殊角【答案】同類訓(xùn)練求的值．【知識點】積化和差公式應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】(法一)(法二)【思路點撥】法一利用積化和差公式化化積為和差，將非特殊角化為特殊角；法二是配湊法構(gòu)造正弦二倍角公式，是化簡形如的三角函數(shù)式的常用辦法．【答案】例5求的值【知識點】和差化積公式應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】三個三角函數(shù)的和差形式，自然想到要使用和差化積公式．由于有現(xiàn)成的同名角函數(shù)為，因此考慮將這二個函數(shù)做和差化積．但本題若采用此法則無后續(xù)手段，問題的解決將十分困難．不妨將轉(zhuǎn)化為，使得能出現(xiàn)特殊角，問題迎刃而解．【答案】同類訓(xùn)練求的值【知識點】和差化積公式應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】由于本題三個函數(shù)都是余弦，而任兩角的和、差都不為特殊角，所以可任選其中的兩個先作和差化積．采用同樣的方法也可以對1、3兩項或2、3兩項先使用和差化積公式，再利用余弦的倍角進(jìn)一步完成本題．【答案】例6求證：【知識點】積化和差與和差化積公式綜合應(yīng)用【解題過程】左邊==右邊∴原式得證【思路點撥】使用積化和差公式降次，同時朝著統(tǒng)一角度為的方向變形【答案】詳見解題過程同類訓(xùn)練化簡【知識點】積化和差與和差化積公式綜合應(yīng)用【解題過程】原式【思路點撥】使用和差化積公式統(tǒng)一角從而使式子化簡【答案】3．課堂總結(jié)知識梳理(1)積化和差公式(2)和差化積公式重難點歸納(1)和差化積公式的左邊全是同名函數(shù)的和或差，只有系數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差才能直接運(yùn)用公式化成積的形式，如果是一個正弦與一余弦的和或差必須先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后，再運(yùn)用積化和差公式化成積的形式；(2)三角函數(shù)的恒等變換常用的規(guī)則是：化繁為簡、化高為低(降次)，化復(fù)合角為單角(和差角公式)，化切割為弦，化大角為小角，和差化積，積化和差．(三)課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．sin20°·cos70°+sin10°·sin50°=_________；【知識點】積化和差公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】運(yùn)用積化和差公式將非特殊角化為特殊角，方便求值【答案】2．cos72°－cos36°的值為（）A．3－2eq\r(3)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．3＋2eq\r(3)【知識點】和差化積公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】原式＝－2cos36°cos72°＝－2·eq\f(sin36°cos36°cos72°,sin36°)＝－eq\f(sin72°cos72°,sin36°)＝－eq\f(sin144°,2sin36°)＝－eq\f(1,2)【思路點撥】化差為積，觀察到分別與互余，且為二倍角關(guān)系，變形方向就比較明確了．【答案】C3．若，則等于（）A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)【知識點】積化和差公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】原式∴【思路點撥】化積為差，并用二倍角公式化簡得【答案】C4．已知，且，則等于________．【知識點】和差化積公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】∴【思路點撥】化和為積，結(jié)合得，再由二倍角公式得【答案】5．函數(shù)的最大值為（）A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．1D．eq\f(\r(2),2)【知識點】積化和差輔助求三角函數(shù)的最值【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】∴【思路點撥】化積為和，將三角函數(shù)化為的形式是最值的常用方法【答案】B6．求證【知識點】積化和差輔助三角恒等證明【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】左邊右邊∴左邊=右邊∴原等式得證【思路點撥】積化和差統(tǒng)計角【答案】詳見解題過程能力型師生共研7．求的值【知識點】三角恒等變形【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】原式【思路點撥】余切函數(shù)與余弦函數(shù)共存，首先應(yīng)化切為弦，接著進(jìn)行通分，最后再考慮分子的化簡，由于分子的三角函數(shù)的系數(shù)不同，一拆為二就是必然的了．【答案】8．求的值【知識點】三角恒等變形【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】原式【思路點撥】本題若只是簡單直接進(jìn)行切割化弦，后續(xù)處理會很棘手，很難得到正確結(jié)果，但注意到分別與互為余角，且為二倍角關(guān)系，便于統(tǒng)一角度．【答案】探究型多維突破9．=__________；【知識點】二倍角公式與和差化積的綜合應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】(法一)原式(法二)原式當(dāng)然，也可以這樣配方，原式【思路點撥】法一：本題有兩個平方式，遇到三角函數(shù)的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次處理；法二：在一起自然想到完全平方式，再進(jìn)行和差化積、積化和差化角為特殊角．【答案】10．已知，求(1)；(2)【知識點】二倍角公式與和差化積的綜合應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】(法一)∵∴………①∵∴………②∴①+②得：②-①得：即：∴(法二)∵∴………③∵∴………④③２＋④２得：，即∴③÷④得：∴【思路點撥】求利用方法一簡單，求利用方法二簡單．一般地，已知兩角的正余弦的和與差，求兩角和與差的正余弦，往往采用和差化積或者平方后求和與差【答案】；自助餐1．求cos37.5°·cos22.5°=_________；【知識點】積化和差公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】運(yùn)用積化和差公式將非特殊角化為特殊角，方便求值【答案】2．在△ABC中，若，則△ABC是（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．不等邊三角形D．直角三角形【知識點】積化和差公式的應(yīng)用【解題過程】∵，又∴∴又∵∴即∴△ABC為等腰三角形【思路點撥】解三角形中常用，借助誘導(dǎo)公式減少角的數(shù)量．【答案】B3．函數(shù)的最大值是______．【知識點】積化和差公式的應(yīng)用【解題過程】∵∵∴【思路點撥】通過