2025年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題06解三角形(周長(邊長)問題(含定值最值范圍問題))練習(學生版+解析)

專題06解三角形（周長（邊長）問題（含定值，最值，范圍問題））(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：定值問題（周長） 2題型二：定值問題（邊長代數(shù)和） 3題型三：最值問題（周長） 4題型四：最值問題（邊長代數(shù)和） 5題型五：范圍問題（周長） 6題型六：范圍問題（邊長代數(shù)和） 8題型七：范圍問題（銳角三角形問題） 10三、專項訓練 11一、必備秘籍核心技巧1：基本不等式（無約束條件的三角形）利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長取值范圍；核心技巧2：利用正弦定理化角（受約束的三角形，如：銳角三角形）利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.二、典型題型題型一：定值問題（周長）1．（23-24高一下·河北石家莊·階段練習）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.(1)求A﹔(2)若的面積為，求的周長.2．（23-24高一下·河北滄州·期中）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大小；(2)若，的面積為，求的周長．3．（2024·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．(1)若，求a；(2)若的面積為，求的周長．題型二：定值問題（邊長代數(shù)和）1．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求B的值；(2)若，，BD為的平分線，BE為中線，求的值.2．（2024·四川成都·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若，，求．3．（23-24高三下·重慶·階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，的面積為，且.(1)求角的大??；(2)若外接圓的半徑為1，邊上的高為，求的值.題型三：最值問題（周長）1．（23-24高一下·江蘇南京·期中）在以下三個條件中任選一個補充到下面的橫線上，并給出解答.（注：如果選擇多個條件分別進行解答，則按第一個解答計分）①；②；③向量，，.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且___________.(1)求；(2)若，求周長的最大值.2．（23-24高一下·江蘇南通·期中）已知在中，所對的邊分別為a，b，c，，且．(1)求角C的大??；(2)D為AB中點，若的面積等于，求的周長的最小值．3．（2024高三下·全國·專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)設(shè)，求周長的最大值．4．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，(1)求角；(2)若，求周長的最大值.題型四：最值問題（邊長代數(shù)和）1．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．2．（23-24高三上·安徽·階段練習）記的角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若，求的最小值．3．（2023·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若的中線，求的最大值．題型五：范圍問題（周長）1．（2024·陜西漢中·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，請從下列條件中選擇一個條件作答：（注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．）①記的面積為S，且；②已知．(1)求角A的大?。?2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．2．（2024·寧夏銀川·二模）已知平面四邊形中，.(1)若，求；(2)若的面積為，求四邊形周長的取值范圍.3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求A；(2)若，求周長的取值范圍.4．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知的內(nèi)角所對的邊分別是，．(1)求角；(2)若外接圓的周長為，求周長的取值范圍．5．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù).(1)求的最小正周期與圖象的對稱中心；(2)在中，，求周長的取值范圍.題型六：范圍問題（邊長代數(shù)和）1．（23-24高一下·安徽·期中）已知銳角分別為角的對邊，若.(1)求證：；(2)求的取值范圍.2．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習）在銳角中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)求的取值范圍．3．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.4．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習）在銳角中，已知.(1)求；(2)求的取值范圍.5．（23-24高三下·河北·階段練習）記△的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的范圍.6．（2023·浙江·模擬預測）已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.(1)若，求；(2)求的取值范圍.題型七：范圍問題（銳角三角形問題）1．（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求的大?。?2)若的面積為，求的取值范圍．2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，其中，，且．(1)求證：；(2)已知點在線段上，且，求的取值范圍．3．（2024·陜西安康·模擬預測）記銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.4．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習）在中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大?。?2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．5．（23-24高三下·黑龍江·階段練習）已知在銳角三角形中，邊，，對應角，向量，，且與垂直，．(1)求角；(2)求的取值范圍．三、專項訓練1．（23-24高一下·山東·階段練習）的內(nèi)角的對邊分別為，，則；若，則的取值范圍是.2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習）已知的外接圓的半徑為，的長為周長的最大值為.3．（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為．4．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）設(shè)函數(shù)，在中，，則周長的最大值為.5．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）在中，的平分線交AC于點D，，則周長的最小值為．6．（2024高三·全國·專題練習）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若且，則的周長的取值范圍為.7．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是．8．（2024高三·江蘇·專題練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，若為銳角三角形，，則周長的取值范圍為．9．（2024高三·全國·專題練習）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且，則周長的取值范圍為．10．（23-24高三上·江蘇淮安·階段練習）在中，角的對邊分別為為邊中點，若，則面積的最大值為.11．（23-24高一下·湖北武漢·期中）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且選擇條件______.(1)求角；(2)若為的平分線，且與交于點，求的周長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.15．（23-24高一下·四川成都·階段練習）已知．(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程；(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若且，求周長的取值范圍．16．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習）已知A，B，C為的三內(nèi)角，且其對邊分別為a，b，c．若且．(1)求角A的大??；(2)若，求的周長的取值范圍．17．（23-24高一下·河南商丘·階段練習）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，且．(1)求的值；(2)若為的延長線上一點，且，求三角形周長的取值范圍．18．（2011高一·全國·競賽）在中，角所對的邊分別為，且.(1)判斷的形狀，并加以證明；(2)當時，求周長的最大值.19．（22-23高二上·湖南岳陽·期末）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下列問題中，并解決該問題.在中，角所對的邊分別為，__________，且.求：(1)；(2)周長的取值范圍.20．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù).在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范圍.專題06解三角形（周長（邊長）問題（含定值，最值，范圍問題））(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：定值問題（周長） 1題型二：定值問題（邊長代數(shù)和） 3題型三：最值問題（周長） 6題型四：最值問題（邊長代數(shù)和） 9題型五：范圍問題（周長） 12題型六：范圍問題（邊長代數(shù)和） 18題型七：范圍問題（銳角三角形問題） 25三、專項訓練 31一、必備秘籍核心技巧1：基本不等式（無約束條件的三角形）利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長取值范圍；核心技巧2：利用正弦定理化角（受約束的三角形，如：銳角三角形）利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.二、典型題型題型一：定值問題（周長）1．（23-24高一下·河北石家莊·階段練習）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.(1)求A﹔(2)若的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再借助和角的正弦公式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用三角形面積公式、余弦定理求出即可作答.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得：，而，于是，又C為三角形內(nèi)角，有，解得，所以，（2）依題意，，由余弦定理得，，即，所以的周長2．（23-24高一下·河北滄州·期中）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大??；(2)若，的面積為，求的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理邊化角求解即得.（2）利用三角形面積公式求出，再余弦定理列方程求解即得.【詳解】（1）依題意，，在中，由正弦定理得，因此，而，則，又，所以.（2）由的面積為，得，解得，由余弦定理得，而，則，解得，，所以的周長為.3．（2024·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．(1)若，求a；(2)若的面積為，求的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理邊化角，即可求得B，然后由余弦定理即可求解；（2）利用面積公式和余弦定理列方程組可解得，然后可得周長.【詳解】（1）由，，可得．由正弦定理可得，又，故，由可得．由余弦定理可得，即，得．（2）由的面積為可得，故，由余弦定理可得，即，故，所以的周長為題型二：定值問題（邊長代數(shù)和）1．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求B的值；(2)若，，BD為的平分線，BE為中線，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和差的正弦公式化簡已知等式，可得，即可求得，可得答案；（2）利用三角形面積公式求出c的值，再結(jié)合，即可求得，利用，結(jié)合模的計算求出，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知中，，即即，即，而，故；（2）由于，，故，又BD為的平分線，且，即，又BE為中線，故，故，故.2．（2024·四川成都·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)；(2)20.【分析】（1）由三角形的面積公式和正弦定理求解即可.（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理求解即可.【詳解】（1）由題意可知，，由，得，由正弦定理可知，，由，得，即（或由正弦定理可知：，因為，所以.）（2）由，可知角為銳角，所以，得，，因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得3．（23-24高三下·重慶·階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，的面積為，且.(1)求角的大??；(2)若外接圓的半徑為1，邊上的高為，求的值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用三角形面積公式與余弦定理的邊角變換即可得解；（2）利用正弦定理求得，再利用三角形面積公式求得，從而利用整體法，結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】（1），即，即，所以，又，則.（2）由外接圓的半徑為1，得，，邊上的高為，所以，則，所以，，，即，故.題型三：最值問題（周長）1．（23-24高一下·江蘇南京·期中）在以下三個條件中任選一個補充到下面的橫線上，并給出解答.（注：如果選擇多個條件分別進行解答，則按第一個解答計分）①；②；③向量，，.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且___________.(1)求；(2)若，求周長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：用正弦定理化簡求解即可；選②：用兩角和與差的正弦公式化簡求解；選③：用向量垂直的坐標表示和余弦定理求解即可；（2）先利用余弦定理求得，然后利用基本不等式求解最值即可.【詳解】（1）若選①：，由正弦定理得，又，所以，又，所以，即，又，所以；若選②：因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以；若選③：因為向量，，，所以，化簡得，所以，又，所以；（2）由余弦定理得，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，即周長的最大值為.2．（23-24高一下·江蘇南通·期中）已知在中，所對的邊分別為a，b，c，，且．(1)求角C的大??；(2)D為AB中點，若的面積等于，求的周長的最小值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）先利用向量平行的坐標公式列式，然后利用正弦定理和余弦定理求解；（2）先根據(jù)面積關(guān)系求出，然后利用基本不等式求出的最小值，再利用余弦定理求出的最小值，則的周長的最小值可求.【詳解】（1），，由正弦定理得，，，；（2）依題意，即，所以，當且僅當時取等號，又由余弦定理得，，當且僅當時取等號，所以的周長最小值為6．3．（2024高三下·全國·專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)設(shè)，求周長的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）將原等式轉(zhuǎn)化為角的正弦的齊次式，再利用正、余弦定理求出角A的余弦值即得.（2）利用（1）的信息，結(jié)合基本不等式求解即得.【詳解】（1）在中，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，，，又，則，于是，當且僅當時取等號，所以周長的最大值為.4．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，(1)求角；(2)若，求周長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)余弦定理與基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由正弦定理可知可化為，化簡得，，在中，由余弦定理得，，又因為，所以.（2）由余弦定理，即有，，所以，當且僅當時取等號；又，所以周長的最大值為.題型四：最值問題（邊長代數(shù)和）1．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用三角恒等變換整理可得，即可得結(jié)果；（2）由（1）可知，分析可得，，根據(jù)正弦定理邊化角，利用三角恒等變換結(jié)合基本不等式分析求解.【詳解】（1）因為，可得，且，所以．（2）由（1）可知，，則，，因為，且，可得，則，所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．2．（23-24高三上·安徽·階段練習）記的角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根據(jù)二倍角公式和商數(shù)關(guān)系結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因為，所以；（2）由正弦定理：，，則，又因為代入得：，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為3．3．（2023·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若的中線，求的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）..（2）為中線結(jié)果.【詳解】（1）由題可得，，結(jié)合正弦定理可得，因為，所以，得，因為，所以．（2）易知，（技巧：向量的平行四邊形法則）兩邊同時平方得，得．法一：可化為，因為，所以，所以，得，當且僅當時取等號．（點撥：運用基本不等式求最值時，注意等號是否可以取到）所以的最大值是4．法二：，令則，所以，當且僅當，即時等號成立．（點撥：三角函數(shù)的有界性）所以的最大值為4．題型五：范圍問題（周長）1．（2024·陜西漢中·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，請從下列條件中選擇一個條件作答：（注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．）①記的面積為S，且；②已知．(1)求角A的大小；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）選①，利用數(shù)量積的定義及三角形面積公式求解；選②，利用正弦定理邊化角，再利用差角的余弦化簡即得.（2）利用正弦定理化為角B的函數(shù)，再利用三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)求出范圍.【詳解】（1）選條件①，由，得，整理得，而，所以.選條件②，由及正弦定理，得，而，則，整理得，而，所以.（2）由（1）知，由正弦定理得，因此由為銳角三角形，得，解得，因此，則，于是，，所以周長的取值范圍是.2．（2024·寧夏銀川·二模）已知平面四邊形中，.(1)若，求；(2)若的面積為，求四邊形周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分別在和中利用余弦定理求出，再利用列方程求解；（2）先利用面積公式和余弦定理求出，然后在中利用余弦定理及基本不等式可得的范圍，進而可得四邊形周長的取值范圍.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以，即，解得.（2）由已知，得，在中，，由余弦定理得，則，設(shè)，在中，由余弦定理得，則，得，所以，當且僅當時取等號，又，所以四邊形周長的取值范圍為.3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求A；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理角化邊，整理根據(jù)余弦定理即可得出，然后根據(jù)A的范圍，即可得出答案；（2）根據(jù)正弦定理得出，.設(shè)周長為，表示出周長.然后根據(jù)誘導公式以及輔助角公式化簡可得出.然后根據(jù)的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）在中，由已知結(jié)合正弦定理角化邊可得，整理可得，所以.又，所以.（2）由（1）知，所以，，記的周長為，則，由，，得，所以.又，所以，則，故4．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知的內(nèi)角所對的邊分別是，．(1)求角；(2)若外接圓的周長為，求周長的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得，利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求的值．（2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范圍，進而可求的周長的最大值；法二：利用正弦定理，將周長化為角A的函數(shù)求出范圍即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，即．

由余弦定理得.又，所以．（2）方法一：因為△外接圓的周長為，所以△外接圓的直徑為．由正弦定理得，則．由余弦定理得．因為，所以，即，由三角形性質(zhì)知，當且僅當時，等號成立．所以，故△周長的取值范圍為．方法二：因為△外接圓的周長為，所以△外接圓的直徑為．由正弦定理得，則．

∵∴，∴故△周長的取值范圍為．5．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù).(1)求的最小正周期與圖象的對稱中心；(2)在中，，求周長的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）易得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由結(jié)合正弦定理得到外接圓的半徑，從而有周長，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：由題意得，，所以的最小正周期；令，則，故圖象的對稱中心為.（2）由，得，又，所以，所以，則，則.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，由正弦定理得，，，則周長，，因為，所以，故，因此.題型六：范圍問題（邊長代數(shù)和）1．（23-24高一下·安徽·期中）已知銳角分別為角的對邊，若.(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題干，利用余弦定理化簡可得，再由正弦定理可得即，再根據(jù)是銳角三角形，所以即可得解；（2）由是銳角三角形，所以，由正弦定理可得結(jié)合角的范圍即可得解.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，由，即.是銳角三角形，，，因此有（2）是銳角三角形，，而，由正弦定理，得，則，而所以，因此的取值范圍為.2．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習）在銳角中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）應用正弦定理和余弦定理邊角互化，進而求出角C.（2）應用余弦定理，化簡，利用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)求出范圍.【詳解】（1）由余弦定理，及正弦定理得．所以，又，所以所以（2）因為，在銳角中，,解得，所以，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，所以.3．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進而求解即可；（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，進而得到，結(jié)合三角恒等變化公式化簡可得，進而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.【詳解】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，因為，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，，,，，，，所以的取值范圍為.

4．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習）在銳角中，已知.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再借助三角函數(shù)和差角公式化簡可解；（2）利用正弦定理邊化角，再借助輔助角公式化簡求范圍.【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理可得，則，展開可得，.（2）由正弦定理，則，其中，是銳角三角形，，.，，顯然，當時，，.5．（23-24高三下·河北·階段練習）記△的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變形求；（2）利用正弦定理將的范圍轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域求解.【詳解】（1）由正弦定理得，，因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，所以.（2）因為，則，因為,所以.所以.因為.所以.所以，所以.6．（2023·浙江·模擬預測）已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.(1)若，求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：根據(jù)題意，由正弦定理得到，再由余弦定理得到，聯(lián)立方程組得到，再由余弦定理求得，即可求解；解法二：根據(jù)題意，由正弦定理化簡得到，進而得到，即可求解；（2）由（1）得到，求得，結(jié)合三角形的邊的關(guān)系，得到，設(shè)，得出函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解法一：因為，由正弦定理得，可得，即，又因為，由余弦定理得，即，聯(lián)立方程組，可得，即，所以，由余弦定理定理得，因為，所以.解法二：因為，由正弦定理得，整理得，又因為，可得，所以，即，可得，即，因為，所以，所以，所以.（2）由（1）知，可得，且，所以，由三角形三邊關(guān)系，可得，可得，令，可得，其中，所以函數(shù)，所以，所以的取值范圍是.題型七：范圍問題（銳角三角形問題）1．（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求的大?。?2)若的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）切化弦后角化邊可得，結(jié)合余弦定理可得，可求得；（2）由面積可得，結(jié)合A的范圍以及三角恒等變換可得的取值范圍.【詳解】（1）由已知條件可知，則由正弦定理，得．整理，得．由余弦定理知，則，所以．又，所以．（2）由（1）可知，，則．因為為銳角三角形，所以解得．由正弦定理，得，所以．因為的面積為，所以，所以．易知．又，所以，則，所以，所以．因為，所以，故的取值范圍為．2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，其中，，且．(1)求證：；(2)已知點在線段上，且，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，結(jié)合整理可得角的關(guān)系；（2）由正弦定理得，又因為為銳角三角形且，結(jié)合三角函數(shù)值域可求得線段長度的取值范圍.【詳解】（1）因為，即，由正弦定理可得，又，即，所以，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，即，整理得，又因為為銳角三角形，則，可得，所以，即.（2）因為點在線段上，且，即平分，又，所以，則，在中，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此線段長度的取值范圍.3．（2024·陜西安康·模擬預測）記銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和的關(guān)系計算即可得；（2）借助正弦定理將邊化為角后，借助三角函數(shù)的值域計算即可得.【詳解】（1）證明：由，得，即，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，故，又，故，由，故；（2）由正弦定理可得：，又銳角中，有，，解得，即，即，故.4．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習）在中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進行角化邊，然后根據(jù)余弦定理求解出的值，即可求出角；（2）法一：根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)三角恒等變換化簡可得，再根據(jù)的范圍求解即可；法二：過點作，垂足為，根據(jù)直角三角形性質(zhì)結(jié)合圖形分析求解.【詳解】（1）由正弦定理得，整理得，所以，又，所以．（2）法一：由（1）知，即．因為為銳角三角形，所以解得．由正弦定理，得，則，當時，，則．又，所以，所以，所以，即，所以周長的取值范圍是．法二：（數(shù)形結(jié)合）過點作，垂足為，在直線上取一點，使，則與均為直角三角形．為銳角三角形，點在線段上（不含端點）．在中，，易得，，周長為；在中，，易得，周長為，所以周長的范圍是．5．（23-24高三下·黑龍江·階段練習）已知在銳角三角形中，邊，，對應角，向量，，且與垂直，．(1)求角；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過，利用三角恒等變形公式計算即可；（2）利用正弦定理，將用角表示出來，然后利用的范圍求的取值范圍．【詳解】（1）因為與垂直，所以，即，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）由正弦定理得，根據(jù)三角形是銳角三角形得，解得，則，所以，所以，則，則的取值范圍為.三、專項訓練1．（23-24高一下·山東·階段練習）的內(nèi)角的對邊分別為，，則；若，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理將條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，利用余弦定理求角，結(jié)合正弦定理，內(nèi)角和定理將表示為的函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【詳解】因為，所以；由正弦定理得，所以，又，所以，，由正弦定理可得，（為的外接圓的半徑），由正弦定理得，所以，由已知，所以，則，所以，故答案為：；.2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習）已知的外接圓的半徑為，的長為周長的最大值為.【答案】21【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出角，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即得.【詳解】由的外接圓的半徑為且，得，而，則或，由余弦定理得，當時，，當且僅當時取等號，因此當時，，的周長最大值為21；當時，，當且僅當時取等號，因此當時，，的周長最大值為，而，所以的周長最大值為21.故答案為：213．（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為．【答案】【分析】先利用兩角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理對題目條件進行化簡得出：；再結(jié)合和余弦定理得出的值即可求解.【詳解】因為，所以，即.，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得：.因為，所以，整理得：，則，所以，故答案為：.4．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）設(shè)函數(shù)，在中，，則周長的最大值為.【答案】【分析】由，化簡得到，再利用正弦定理和輔助角公式，得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因為，可得，整理得，即，即，因為，可得，所以，且，由正弦定理，得，當且僅當時取等，因此周長的最大值為.故答案為：.5．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）在中，的平分線交AC于點D，，則周長的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)等面積法得，進而結(jié)合基本不等式得，，當且僅當時等號成立，再結(jié)合余弦定理得，當且僅當時等號成立，進而得周長最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，因為，，，，所以，即，所以，因為根據(jù)基本不等式有，所以，，當且僅當時等號成立，由余弦定理得，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立.所以周長的最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.6．（2024高三·全國·專題練習）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若且，則的周長的取值范圍為.【答案】【分析】由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，再由三角形三邊關(guān)系可得，可得，進一步可得周長的取值范圍.【詳解】因為，所以，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，此時，由三角形三邊關(guān)系可得，所以，則，所以的周長的取值范圍為.故答案為：.7．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理邊角互化結(jié)合三角恒等變換將目標式化為角的函數(shù)關(guān)系，再求的取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結(jié)果．【詳解】因為，則，，又，故由正弦定理可得：，又為銳角三角形，故可得，解得，則，由于，在上單調(diào)遞增，當當，故，即．故答案為：．8．（2024高三·江蘇·專題練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，若為銳角三角形，，則周長的取值范圍為．【答案】【分析】利用正弦定理化邊為角，由題設(shè)化簡求出，再利用正弦定理，將邊用角的三角函數(shù)表示，利用三角恒等變換將周長表達式整理成正弦型函數(shù)，借助于角的范圍和三角函數(shù)的值域即可求得.【詳解】因，由正弦定理得，中，，所以，得，即，∵，則，∴，∴.為銳角三角形，，，由正弦定理得，∴，，，周長，∵為銳角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，即周長的取值范圍為.故答案為：.9．（2024高三·全國·專題練習）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且，則周長的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求出，再結(jié)合三角形中兩邊之和大于第三邊得解.【詳解】因為，，由余弦定理得，當且僅當時等號成立．∴，∴，又因為，所以，即周長取值范圍為.故答案為：.10．（23-24高三上·江蘇淮安·階段練習）在中，角的對邊分別為為邊中點，若，則面積的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)向量模長公式即可，結(jié)合基本不等式即可求解，進而根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】由于為邊中點,所以,平方,因此,由于，所以，當且僅當時等號成立，故，由于在單調(diào)遞減，故當時，最小，且為鈍角，,由于在單調(diào)遞增，故當取最小值時，此時面積最大，故當時，此時最小，進而最小，故面積最大，由可得，故面積的最大值為，故答案為：11．（23-24高一下·湖北武漢·期中）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且選擇條件______.(1)求角；(2)若為的平分線，且與交于點，求的周長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，結(jié)合正弦定理或者余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換，由三角形內(nèi)角和為及和差公式化簡等式，再根據(jù)角的范圍及函數(shù)值，即可求得A；若選②，根據(jù)平方關(guān)系及誘導公式得到，再利用正弦定理將角化邊，最后由余弦定理計算可得；若選③，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理將邊化角，即可得解；（2）利用三角形面積公式與余弦定理得到關(guān)于的方程組，結(jié)合整體法即可得解.【詳解】（1）若選①，則，又因為，所以，即，所以，又因為，所以，所以，解得；若選②，則，由正弦定理可得，故，又，故.若選擇③；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，．綜上所述，無論選①②③任何一個，都有；（2），，，因為，所以，又平分，所以，所以，則，即由余弦定理得，即，所以，解得或（負值舍去），故的周長為.12．（23-24高一下·廣東茂名·期中）設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，已知，．(1)求角；(2)若，求的面積；(3)求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由誘導公式及兩角和的正弦公式計算可得；（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計算可得；（3）由正弦定理將邊化角，再化簡得，再由求得的取值范圍，即可得周長的取值范圍.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，即，所以，又，所以，則，又，所以.（2）因為，，，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.（3）因為，，由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，，所以，即，所以周長的取值范圍為.13．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在中，角的對邊分別為，且．(1)證明：為直角三角形；(2)當時，求周長的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由降冪公式和余弦定理解三角形可得；（2）利用三角函數(shù)把邊長表示成角，再用輔助角公式表示出周長，最后利用正弦函數(shù)的值域求出最值.【詳解】（1）證明：因為，即，由余弦定理可得，化簡可得，所以為直角三角形.（2）由（1）可得為直角三角形的斜邊，所以兩直角邊長分別為，所以設(shè)周長為，則，因為，所以，即時，周長取得最大值，最大值為.14．（23-24高一下·吉林白山·階段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）延長交于，延長交于，則，設(shè)，且，分別求出，再根據(jù)三角恒等變換化一，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因為，所以，由正