2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市兆麟中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市兆麟中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={x|?3≤x<4}，N={x|x2?2x?8<0}，則A.M∪N=R B.M∪N={x|?3≤x<4}

C.M∩N={x|?2≤x≤4} D.M∩N={x|?2≤x<4}2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z=(1?2i)(2+i)，則z的共軛復(fù)數(shù)z?=(

)A.4?3i B.4+3i C.3+4i D.3?4i3.平行四邊形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足BN=2NC，若AB=λAM+μANA.4 B.2 C.14 D.4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an<an+1，n∈N?，aA.12 B.13 C.2 5.已知cos(θ+π4)=?A.4+3310 B.3+43106.設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，f(x?1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(?1,1)時(shí)，f(x)=?x2+1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.f(72)=?34 B.f(x+7)為奇函數(shù)

C.f(x)在(6,8)上是減函數(shù) D.7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=3,(sinA?sinB)(b+a)=c(sinB+sinC)，則△ABC面積的最大值為A.14 B.12 C.38.設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+cos2x，下列判斷正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為π

B.函數(shù)f(x)的值域是[?22,2]

C.函數(shù)f(x)的圖象上存在點(diǎn)P(x,y)，使得其到點(diǎn)(1,0)的距離為22

D.當(dāng)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若a>b，c∈R，則ac2>bc2 B.若ac2>bc2，c∈R，則a>b

10.下列命題正確的有(

)A.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，則S5，S10，S15也成等差數(shù)列

B.若{an}為等比數(shù)列，且a2a7+a3a6=4，則a1a2a3…a811.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω≤2,πA.f(x)的表達(dá)式可以寫成f(x)=2cos(2x+5π4)

B.f(x)的圖象向右平移3π8個(gè)單位長度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)

C.g(x)=f(x+π4)+1的對稱中心(?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(2?i)z=6+2i，則|z|=______．13.已知邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，點(diǎn)F為線段BD(含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E滿足DE=3EC，則14.若f(x)=x2+16(lnx四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知向量a=(?1,?1)，b=(0,1)．

(1)求向量a與b的夾角θ的大小；

(2)若向量(t?a+b)//(a+t?b)，求實(shí)數(shù)t的值；

16.(本小題12分)

已知向量a=(23,sinωx)，b=(cos2ωx,2cosωx)，函數(shù)f(x)=a?b?3(ω>0)，f(x)相鄰對稱軸之間的距離為π2．

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將函數(shù)f(x)17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x2?3x?2lnx．

(1)求f(x)的極值；

(2)若對于任意不同的x1，x2，都有18.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin2A?sinAsinBcos2B?cos2C=1．

(1)若c=3，a+b=6，求邊AB上的角平分線CD長；

19.(本小題12分)

一般地，n元有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,…,an)稱為n維向量(如用一個(gè)實(shí)數(shù)可表示一維向量，用二元有序?qū)崝?shù)對可表示二維向量，…).類似我們熟悉的二維向量和三維向量，對于n維向量，也可以定義兩個(gè)向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、兩個(gè)向量的數(shù)量積、向量的長度(模)等，如a=(a1,a2,…,an)，則|a|=a12+a22+…+an2.若存在不全為零的r個(gè)實(shí)數(shù)k1，k2，…，kr，使得k1a1+k2a2+…+krar=0，則稱向量組a1，a2，…，ar參考答案1.B

2.B

3.D

4.D

5.A

6.C

7.C

8.D

9.BC

10.BCD

11.ABC

12.213.[314.5

15.解：(1)因?yàn)橄蛄縜=(?1,?1)，b=(0,1)，

所以a?b=0?1=?1，

所以cosθ=a?b|a|×|b|=?12×1=?22，

又θ∈[0,π]，

所以向量a與b的夾角θ=3π4；

(2)t?a+b=(?t,?t+1)，a+t?b=(?1,?1+t)，

因?yàn)?t?16.解：(1)f(x)=a?b?3=23cos2ωx+2sinωxcosωx?3=3(1+cos2ωx)+sin2ωx?3=2sin(2ωx+π3)，

因?yàn)閒(x)相鄰對稱軸之間的距離為π2，

所以最小正周期T=π，

而T=2π2ω，所以ω=1，

所以f(x)=2sin(2x+π3)，

令2x+π3∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k∈Z，則x∈[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z，

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π17.解：(1)因?yàn)閒(x)=x2?3x?2lnx，所以f′(x)=2x?3?2x=2x2?3x?2x

令f′(x)=0，解得x=2或x=?1x(0,2)2(2,+∞)f′(x)?0+f(x)單調(diào)遞減?2?2ln2單調(diào)遞增因此，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)有極小值，且極小值為?2?2ln2，無極大值

(2)不妨令x1>x2，則f(x1)?f(x2)x1?x2<ax1+ax2等價(jià)于f(x1)?f(x2)<ax12?ax22，

即f(x1)?ax12>f(x2)?ax22，

令函數(shù)g(x)=f(x)?ax2=(1?a)x2?3x?2lnx，

可知g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

18.解：(1)因?yàn)閟in2A?sinAsinBcos2B?cos2C=1，因?yàn)閏os2B=1?sin2B，cos2C=1?sin2C，

所以sin2A?sinAsinB=sin2C?sin2B，

由正弦定理得a2?ab=c2?b2，即a2+b2?c2=ab，

由余弦定理得a2+b2?c2=2abcosC，

可得cosC=12，

又因?yàn)橐驗(yàn)镃∈(0,π)，

所以C=π3；

又因?yàn)閏=3，a+b=6，

由余弦定理的：c2=a2+b2?2ab×12=(a+b)2?3ab，

即(3)2=(6)2?3ab，解得ab=1，

設(shè)AB邊上的角平分線CD，

S△ABC=12absinC=12aCDsinC2+12bCDsinC2=12CD(a+b)sinC2，19.解：(1)假設(shè)a，b，c線性相關(guān)，則存在不全為零的3個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z，使得xa+ya+zc=0，

因?yàn)閍=(1,1,1)，b=(?1,2,2)，c=(4,2,?1)，

則xa+ya+zc=(x?y+4z,x+2y+2z,x+2y?z)，

可得x?y+4z=0x+2y+2z=0x+2y?z=0，解得x=0y=0z=0，

故假設(shè)不成立，即a，b，c是線性無關(guān)的．

(2)①令F(x)=f(x)?g(x)=ex?ax?1，依題意，F(xiàn)(x)≥0對任意x∈R恒成立，

F′(x)=ex?a，

注意F(0)=0，可得F′(0)=1?a=0，解得a=1；

若a=1，則F(x)=e