大學(xué)高數(shù)第一節(jié)-無窮小

北京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第一章無窮小與極限1.1無窮小

1.1.1數(shù)列無窮小1.數(shù)列的定義數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)依按自變量增大的次序,數(shù)列的對應(yīng)值可以排成稱為數(shù)列的通項(或一般項),數(shù)列簡記為例如,數(shù)列簡記為簡記為簡記為簡記為數(shù)列中的每個數(shù)稱為數(shù)列的一項,2.數(shù)列的幾何表示法數(shù)列中的每一個數(shù)都可用數(shù)軸上的一個點來表示,這些點的全體就是數(shù)列.稱為n趨于無窮大，3.數(shù)列的變化過程包含兩個相關(guān)的無限過程：n的主動變化:不斷增大(每次加1).即n從1開始，一定可以大于每個固定的正數(shù).記為何為無限增大？即與0的距離可以如果可以小于任意給定的正數(shù).那么就無限接近于0.

任意小,概述為：

無論給定一個多么小的正數(shù)

都可以有

只要即可.數(shù)列是無窮小.

此時我們稱當(dāng)n無限增大時,何為無限接近于0？定義1.1(數(shù)列無窮小)

如果對于任意給定的正數(shù)都存在正整數(shù)N,使得當(dāng)時，不等式成立，記為或則稱數(shù)列是無窮小.

設(shè)為數(shù)列，幾何解釋:只有有限個

(至多有N個)落在其外.定義:定理1.1(無窮小比較定理1)

設(shè)為無窮小,則也是無窮小.使得對于所有正整數(shù)

n,

如果存在正數(shù)

C,例1證明:如果則為無窮小.例2證明下列數(shù)列都是無窮?。?/p>

且例3設(shè)則數(shù)列不是無窮小.注:1.1.2時函數(shù)無窮小

我們用表示x無限增大的過程，只要.x可以大于任意給定的正數(shù).不妨設(shè)任意給定的正數(shù)

我們稱時，是無窮小.可以小于什么叫無限增大？則定義1.2(時函數(shù)無窮小)

如果對于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)X,當(dāng)時,有記為或設(shè)在有定義,c為常數(shù)

.則稱當(dāng)時，為無窮小.

如果則稱當(dāng)時,

為無窮小,

記為記為如果當(dāng)都是無窮小,則稱當(dāng)時,

是無窮小,

的幾何意義:完全落在帶形區(qū)域內(nèi).函數(shù)的圖形有例4用定義證明:當(dāng)時,

為無窮小.證取所以,當(dāng)時,

為無窮小.同理,當(dāng)或時,

也是無窮小.定理1.2(無窮小比較定理2)

如果存在常數(shù)類似于定理1.1,有是無窮小.設(shè)當(dāng)(或)時,

也是無窮小.則當(dāng)(或)時,

例5設(shè)則當(dāng)時,

為無窮小.例6證明當(dāng)時,

為無窮小.例7證明當(dāng)時，不是無窮小.1.1.3時函數(shù)無窮小表示且可以任意小.特別地,當(dāng)時,

是無窮小.定義1.3(時函數(shù)無窮小)

設(shè)函數(shù)在點x0某去心鄰域內(nèi)有定義.有則稱當(dāng)時，是無窮小.

記為或有則稱當(dāng)時，是無窮小.

記為或則稱當(dāng)時，是無窮小.

記為如果當(dāng)時,

都是無窮小,注意：是否有定義無關(guān).點有的定義可簡寫為當(dāng)或時,都是無窮小.類似于定理1.1和定理1.2,有定理1.3(無窮小比較定理3)

設(shè)當(dāng)時，是無窮小.也是無窮小.則當(dāng)時，如果存在常數(shù)例8證明:如果則當(dāng)時,是無窮小.例9證明例10證明例11設(shè)證明1.1.4

無窮小的統(tǒng)一定義如果對于任意給定的正數(shù)自變量變化趨勢的不同,不等式成立的范圍不同.把不同情形下的無窮小統(tǒng)一表述為:或則

a共有七種不同情況：

當(dāng)函數(shù)定義域為正整數(shù)時，

當(dāng)函數(shù)定義域為實數(shù)集時，a可以取

為簡單起見,一般可以用等表示無窮小.定義1.4設(shè)在點a的某個空心鄰域內(nèi)有定義，都存在點a的空心鄰域若記作或注意：1.無窮小函數(shù)隨自變量變化的一種特殊變化趨勢.例如,2.零是無窮小,但無窮小不一定等于零.3.不能把無窮小與很小的正數(shù)相混淆.就不是無窮小.3.無窮小的分類.

正無窮小負(fù)無窮小且在點a的某個空心鄰域內(nèi)

如果成立，定理1.4(無窮小的比較定理)

其中

為常數(shù).1.1.5

無窮小的性質(zhì)定理1.5(局部有界性)

）

鄰域內(nèi)有界.

若則在a的某個空心定理1.6有限多個無窮小之和為無窮小.例13設(shè)為n次多項式,且則

注意:無窮多個無窮小之和不一定是無窮小.

定理1.7

無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小.都是無窮小.例如,當(dāng)例14證明推論1.1

有限個無窮小的乘積是無窮小.1.1.6無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.定義1.5設(shè)在點a的某個空心鄰域內(nèi)有定義，都存在點a的空心鄰域若記作或則稱時為無窮大,分別稱為正無窮大和負(fù)無窮大；說明:1.如果把上面定義中的分別改為

就得到的定義,(1)兩個正(負(fù))無窮大之和仍為正(負(fù))無窮大;(2)有界變量與無窮大的和、差仍為無窮大;(3)恒不為零的非無窮小(或無窮大)與無窮大2.由無窮大的定義容易證明：之積仍為無窮大.無窮大與無窮小的關(guān)系則當(dāng)時,有設(shè)在a的某空心鄰域內(nèi)有定義,意義:有關(guān)無窮大的討論,都可歸結(jié)為無窮小的討論.使得定理1.8設(shè)在點a的某個空心鄰域內(nèi)有常數(shù)定義.如果當(dāng)時,且存在例15證明證2不妨設(shè)

因于是先證明所以故例16證明在內(nèi)無界,但當(dāng)不是無窮大.證顯然

所以在內(nèi)無界;所以不是無