15三角函數(shù)的應(yīng)用（練習）

第一章直角三角形的邊角關(guān)系第五節(jié)三角函數(shù)的應(yīng)用精選練習基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2021·重慶沙坪壩區(qū)·九年級期末）如圖，某建筑物在一個坡度為的山坡上，建筑物底部點到山腳點的距離米，在距山腳點右側(cè)水平距離為60米的點處測得建筑物頂部點的仰角是24°，建筑物和山坡的剖面的同一平面內(nèi)，則建筑物的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．32.4米 B．20.4米 C．16.4米 D．15.4米【答案】C【分析】延長AB交CD反向延長線于F．根據(jù)題意可知，則設(shè)BF=4x，F(xiàn)C=3x．由正切可求出AF的長．再在中，由勾股定理可求出x的值．最后即可利用求出AB長．【詳解】如圖延長AB交CD反向延長線于F，由題意可知．∵建筑物AB在一個坡度為i=1:0.75的山坡CE上，∴，即．設(shè)BF=4x米，則FC=3x米，DF=（60+3x）米，∵，∴，∴米．在中，，即，∴（舍）．∴米，米．∴米．故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用和勾股定理．作出常用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2021·山東煙臺市·九年級期末）一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡筆直滑下，滑下的距離s（m）與時間t（s）之間的關(guān)系為s＝8t＋2t2，若滑到坡底的時間為5s，則此人下降的高度為（）A．90m B．45m C．45m D．90m【答案】B【分析】根據(jù)題意求出滑下的距離s，根據(jù)坡度的概念求出坡角，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：設(shè)斜坡的坡角為α，當t=5時，，∵斜坡的坡比1：，∴tanα=，∴α=30°，∴此人下降的高度=×90=45（m），故選：B．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2021·山東省棗莊市第十三中學(xué)九年級月考）如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OC⊥OB，點A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，則點A到OC的距離等于（）A．a(chǎn)sinx+bsinx B．a(chǎn)cosx+bcosxC．a(chǎn)sinx+bcosx D．a(chǎn)cosx+bsinx【答案】D【分析】作AF⊥OB于點F，則點A到OC的距離等于OF的長，根據(jù)矩形性質(zhì)及解直角三角形可得OB=BC?cosx=bcosx，BF=AB?sinx=asinx，進而可得OF的長【詳解】解：作AF⊥OB于點F，則點A到OC的距離等于OF的長．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AD=BC=b∴∠ABC=90°，∴∠ABF+∠OBC=90°，∵∠O=90°，∴∠BCO+∠OBC=90°，∴∠BCO=∠FBA∵∠BCO=x，

∴∠FBA=x，

在RtOCB中，BC=AD=b，OB=BCsinx=bsinx在RtAFB中，AB=a，BF=ABcosx=acosx∴FO=FB+BO=acosx+bsinx，

故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．（2019·山西九年級期末）如圖，要測量小河的寬度，在小河邊取的垂線上的一點，測得，，則小河的寬度等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長度．【詳解】解：∵PA⊥PB，PC=50米，∠PCA=35°，

∴小河寬PA=PCtan∠PCA=50tan35°(米)．

故選：A．【點睛】考查考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．5．（2021·全國九年級）如圖，小明為了測量照母山上“覽星塔”的高度，先從與塔底中心在同一水平面上的點出發(fā)，沿著坡度為的斜坡行走10米至坡頂處，再從處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至點處，在點測得塔頂?shù)难鼋菫椋椎母┙菫?，與的水平距離為4米（圖中、、、、、在同一平面內(nèi)，、和、、分別在同一水平線上），根據(jù)小明的測量數(shù)據(jù)，計算出“覽星塔”的高度約為（計算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）（）A．17.8米 B．23.7米 C．31.5米 D．37.4米【答案】C【分析】過點E作EP⊥DC于P，過點F作FG⊥AB于G，過點C作CH⊥EG于H，根據(jù)坡度的定義設(shè)PE=4x，則PD=3x，利用勾股定理列出方程即可求出x的值，從而求出=8米，然后求出FH=CH=8米，即可求出FG，再利用銳角三角函數(shù)即可求出AG，從而求出結(jié)論．【詳解】解：過點E作EP⊥DC于P，過點F作FG⊥AB于G，過點C作CH⊥EG于H∴米，DE=10米∵斜坡DE的坡度為∴設(shè)PE=4x，則PD=3x，DE==5x=10解得：x=2∴PE=8米∴=8米∵∠CFH=45°∴△CFH為等腰直角三角形∴FH=CH=8米∴FG=FH＋GH=12米∵∠AFG=63°，tan∠AFG=∴AG=FG·tan∠AFG=米∴AB=AG+BG=≈米故選C．【點睛】此題考查的是解直角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．6．（2021·上海徐匯區(qū)·九年級一模）已知海面上一艘貨輪在燈塔的北偏東方向，海監(jiān)船在燈塔的正東方向海里處，此時海監(jiān)船發(fā)現(xiàn)貨輪在它的正北方向，那么海監(jiān)船與貨輪的距離是（）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】根據(jù)題意先建立直角三角形，然后結(jié)合三角函數(shù)中正切的定義求解即可．【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∴，故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，準確根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形并靈活運用三角函數(shù)求解是解題關(guān)鍵．7．（2020·重慶西南大學(xué)銀翔實驗中學(xué)九年級月考）在學(xué)校操場旁邊的臺階上有一個“翔”的雕塑，雕塑后面是很長的一段臺階CD，意寓擁抱夢想，展翅翱翔，如圖，雕塑的上邊緣點A距地面平臺高度為AB的長，點B距臺階底端C的距離米，臺階底端C與頂端D的連線可視作坡度為1:0.75的斜坡，且米．若A，B，C，D四點在同一平面內(nèi)，且在點D看石雕上邊緣點A的俯角為，則雕塑“翔”的高度AB約為（）米．（參考數(shù)據(jù)：，，）A．2.21 B．2.20 C．2.25 D．2.31【答案】C【分析】過作于，則四邊形為矩形，得，，由坡度為的斜坡，設(shè)米，則米，由勾股定理求得，得出米，米，米，由，求出米，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過作于，如圖所示：則四邊形為矩形，，，臺階底端與頂端的連線可視作坡度為的斜坡，設(shè)米，則米，由勾股定理得：，即，解得：，則（米，（米，（米，米，在點看石雕上邊緣點的俯角為，，在中，，（米，則（米故選：．．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角、坡度坡角問題以及矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2020·齊齊哈爾市第三中學(xué)校九年級期末）一船向東航行，上午8時到達處，觀測到有一燈塔在它的南偏東60°且距離為72海里的處，上午10時到達處，此時觀測到燈塔在它的正南方向，則這艘船航行的速度為（）A．18海里/小時 B．海里/小時 C．36海里/小時 D．海里/小時【答案】B【分析】根據(jù)方位角和三角函數(shù)求出BC的長，再除以航行時間即可．【詳解】∵此船從上午8時的B處向東航行2小時后到C處，且從C觀測處到燈塔A在它的正南方向，∴∠BCA＝90°，∵處在處的南偏東60°且距離為72海里∴∠ABC＝30°，AB=72海里，∴在Rt△ABC中,∵∠A=60°，∴=sin60°，∴海里，速度為海里/小時，故選B．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，熟悉方向角的定義和解直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2021·山東東營市·九年級期末）平放在地面上的三角形鐵板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意圖如圖所示，量得∠A為54°，∠B為36°，邊AB的長為2.1m，BC邊上露出部分BD的長為0.9m，則鐵板BC邊被掩埋部分CD的長是_____m．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．【答案】0.8【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)求得BC的長，然后根據(jù)CD=BCBD即可求解．【詳解】解：，，，在中，，

則，

則，（m），

故答案為：0.8．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，正確利用三角函數(shù)解得BC的長是解題關(guān)鍵．10．（2021·湖南懷化市·九年級期末）某樓梯的側(cè)面如所述，測得，，則該樓梯的高度______．【答案】【分析】由的．【詳解】解：在△ABC中，∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2021·廣西百色市·九年級期末）一艘郵輪從港口處出發(fā)，沿北偏東方向行駛200海里到港口，卸貨后向正南方向行駛到港口，此時港口在郵輪的北偏西方向上，這時郵輪與港口相距______海里．（保留根號）【答案】【分析】根據(jù)題意可作于D點，在Rt△APD與Rt△BPD中分別求解即可．【詳解】如圖所示，作于D點，根據(jù)題意可得，，∴在中，，，又∵，∴為等腰直角三角形，∴海里，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，合理根據(jù)題意建立直角三角形是解題關(guān)鍵．12．（2020·吉林省第二實驗學(xué)校九年級月考）如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯的傾斜角為41°，的長為12米．則大廳兩層之間的距離長約為_______米．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】7.9【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得BC的長，從而可以解答本題．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB?sin∠BAC＝12×0.66≈7.9（米），答：大廳兩層之間的距離BC的長約為7.9米．故答案為：7.9．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．提升篇提升篇三、解答題13．（2021·湖南邵陽市·九年級期末）在Rt△BCD中，∠C=90°，∠DBC=60°，點E在線段CD上，點A在CB的延長線上，且AB=10米，CE=26.8米，∠A=34°，求DE的長．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】DE=25.1米【分析】在Rt△ACE中，根據(jù)tanA，求出AC的長，再根據(jù)BC=ACAB，求出BC，在Rt△BCD中，根據(jù)tan∠DBC，求出DE的長即可．【詳解】解：在Rt△ACE中，，即，∴（米）∴BC=ACAB=30（米）．在Rt△BCD中，∵tan60°=∴，∴DE=25.1（米）答：DE的長是25.1米【點睛】本題考查了解直角三角形，熟悉利用銳角三角函數(shù)求出線段的長度是解題的關(guān)鍵．14．（2021·廣東揭陽市·九年級期末）B，D兩地間有一段筆直的高速鐵路，長度為100km，某時發(fā)生的地震對地面上以點A為圓心，30km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)的建筑物有影響，分別從B，D兩地處測得點A的方位角如圖所示，高速鐵路是否會受到地震的影響？請通過計算說明理由．（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：）【答案】不受影響，理由見解析．【分析】過點A作AC⊥BD于點C，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可求出AC，進而進行比較即可判斷．【詳解】解：如圖，過點A作AC⊥BD于點C，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，根據(jù)題意可知：∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，BD=100km，∴∠BAC＝45°，∴BC＝AC，在Rt△ACD中，tan∠ADC，∴，∵BD＝BC＋CD，∴AC＋AC＝100，解得AC＝50（﹣1）≈36.6＞30，∴高速鐵路不會受到地震的影響．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法．15．（2021·四川成都市·九年級期末）近年來，成都IFS商業(yè)大樓成了網(wǎng)紅打卡地，樓上“翻墻”的大熊貓給游客留下了深刻的印象．小明使用測角儀測量熊貓C處距離地面AD的高度，他在甲樓底端A處測得熊貓C處的仰角為53°，在甲樓B處測得熊貓C處的仰角為45°，已知AB＝4.5米，求熊貓C處距離地面AD的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】18.1米．【分析】過點B作BE⊥CD于點E，根據(jù)已知條件求出BE=AD，設(shè)CE=x，則CD=BC+BD=x+4.5，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出x的值，即