第17講 重難點05三角形中“老鷹捉小雞”字模型（教師版）-七升八數(shù)學暑假銜接（人教版）

重難點05三角形中“老鷹捉小雞”字模型【知識梳理】“老鷹捉小雞”模型如圖所示，∠A+∠ZBFC=∠DBF+∠FCE三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.【考點剖析】例1．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED內部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）A．∠1+∠2＝2∠A B．∠1+∠2＝∠A C．∠A＝2（∠1+∠2） D．∠1+∠2＝∠A【解答】解：如圖，延長BD和CE交于A′，∵把△ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED內部，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，∴∠ADE＝90°﹣∠1，∠AED＝90°﹣∠2，∵在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），∴∠A＝∠1+∠2，即2∠A＝∠1+∠2．故選：A．例2．如圖，在△ABC中，∠B＝32°，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．32° B．45° C．60° D．64°【解答】解：如圖所示：由折疊的性質得：∠D＝∠B＝32°，根據(jù)外角性質得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故選：D．例3．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED的外部時，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2【解答】解：如圖，由翻折的性質得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝（180°﹣∠1），在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3﹣∠A，∠CED＝∠3+∠A，∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，∴2∠A＝∠1﹣∠2．故選：A．例4．如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將∠C沿DE對折，使點C落在△ABC外的點C′處，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．110°【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折疊的性質可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故選：C．例5．如圖，三角形紙片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC的內部，若∠2＝50°，則∠1＝．【解答】解：設折痕為EF，連接CC′．∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，∴∠1+∠2＝2∠ECF，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°，∴∠1＝80°﹣50°＝30°，故答案為：30°．例6．如圖所示，把一個三角形紙片ABC的三個頂角向內折疊之后（3個頂點不重合），圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．【解答】解：由題意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案為：360．例7．將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在A′處的位置．（1）如果A′落在四邊形BCDE的內部（如圖1），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．（2）如果A′落在四邊形BCDE的外部（如圖2），這時∠A′與∠1、∠2之間又存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．【解答】解：（1）2∠A′＝∠1+∠2，理由沿DE折疊使點A落在A′處的位置，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A′）＝2∠A′；（2）2∠A′＝∠2﹣∠1，理由：∵沿DE折疊使點A落在A′處的位置，∴∠A＝∠A′，∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，即2∠A′＝∠2﹣∠1．【過關檢測】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?鄒城市月考）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，這個規(guī)律是（）A．∠A＝∠1+∠2 B．3∠A＝2∠1+∠2 C．2∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】根據(jù)三角形的內角和定理，以及四邊形的內角和定理即可求出答案．【解答】解：由題意可知：∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A∵∠AED+∠ADE+∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，∴360°﹣2∠A+∠1+∠2＝360°，∴2∠A＝∠1+∠2，故選：C．【點評】本題考查三角形的定理，解題的關鍵是熟練運用三角形內角和定理，本題屬于中等題型．2．（2021秋?秀嶼區(qū)校級期中）如圖，把△ABC紙片的∠A沿DE折疊，點A落在四邊形CBDE外，則∠1、∠2與∠A的關系是（）A．∠1+∠2＝2∠A B．∠2﹣∠A＝2∠1 C．∠2﹣∠1＝2∠A D．∠1+∠A＝∠2【分析】如圖，分別延長CEBD交于A′點，然后利用三角形的外角與內角的關系可以得到∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，而根據(jù)折疊可以得到∠EA′A＝∠EAA′，∠DA′A＝∠DAA′，然后利用等式的性質即可求解．【解答】解：如圖：分別延長CE、BD交于A′點，∴∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，而根據(jù)折疊可以得到∠EA′A＝∠EAA′，∠DA′A＝∠DAA′，∴∠2﹣∠1＝2（∠EAA′﹣∠DAA′）＝2∠EAD．故選：C．【點評】本題考查圖形的折疊與拼接，同時考查了三角形、四邊形等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析，難度不大．3．（2021秋?河西區(qū)期中）在三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°．將紙片的一角對折，使點C落在△ABC內，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)題意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可結合三角形內角和定理和折疊變換的性質求解．【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°．故選：B．【點評】本題通過折疊變換考查三角形、四邊形內角和定理．注意折疊前后圖形全等；三角形內角和為180°；四邊形內角和等于360度．4．（2021秋?天門校級月考）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊（折痕為DE），使點C落在△ABC內的C′處，若∠AEC′＝20°，則∠BDC′的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】先根據(jù)已知條件，結合三角形內角和定理，可求∠C＝40°，又因為△CED折疊后得到△C′ED，所以可知∠C′ED＝∠CED，∠C′DE＝∠CDE，而∠AEC′＝20°，那么利用平角的定義，可求∠C′ED，在△C′DE中，利用三角形內角和等于180°，可求∠C′DE，進而可求∠C′DC，再結合平角定義，可求∠BDC′．【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∵∠AEC′＝20°，∴∠C′EC＝180°﹣20°＝160°，又∵△CED關于DE折疊得到△C′ED，∴△CED≌△C′ED，∴∠C′ED＝∠CED，∠C′DE＝∠CDE，∴∠C′ED＝∠CED＝×160°＝80°，∴在△C′DE中，∠C′DE＝180°﹣80°﹣40°＝60°，∴∠C′DC＝60°×2＝120°，∴∠BDC′＝180°﹣120°＝60°．故選：D．【點評】本題利用了平角的定義、折疊的性質、三角形內角和定理．平角等于180°．折疊后的兩個圖形全等．三角形的內角和等于180°．5．（2021?紅旗區(qū)校級開學）如圖，把△ABC紙片沿著DE折疊，當點A落在四邊形BCED內部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變．請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】利用三角形內角和的定理求．【解答】解：∵把△ABC紙片沿著DE折疊，點A落在四邊形BCED內部，∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．故選：B．【點評】主要考查了三角形的內角和外角之間的關系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和；（2）三角形的內角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內角和是180°這一隱含的條件．6．（2022春?晉江市期末）如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE外部時，則∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2【分析】根據(jù)折疊的性質可得∠A′＝∠A，根據(jù)平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用∠2與∠A′表示出∠3，然后利用三角形的內角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折疊得到，∴∠A′＝∠A，又∵∠ADA′＝180°﹣∠1，∠3＝∠A′+∠2，∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°，即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°，整理得，2∠A＝∠1﹣∠2．∴∠A＝（∠1﹣∠2），即2∠A＝∠1﹣∠2．故選：A．【點評】本題考查了三角形的內角和定理以及折疊的性質，根據(jù)折疊的性質，平角的定義以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，把∠1、∠2、∠A轉化到同一個三角形中是解題的關鍵．7．（2022秋?淇濱區(qū)月考）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外點A'的位置，則下列結論正確的是（）A．∠1+∠2＝∠A B．∠1+∠2＝2∠A C．∠1﹣∠2＝∠A D．∠1﹣∠2＝2∠A【分析】根據(jù)折疊的性質和三角形的外角的性質解答即可．【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折疊得到，∴∠A′＝∠A，∵∠1＝∠A+∠3，∠3＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A，故選：D．【點評】本題考查的是三角形的外角性質和圖形的翻折變換，理清圖中角與角的關系是解決問題的關鍵．8．（2022秋?渝北區(qū)月考）如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為_____度．（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】如圖延長AE、BF交于點C′，連接CC′．首先證明∠1+∠2＝2∠AC′B，求出∠AC′B即可解決問題．【解答】解：如圖延長AE、BF交于點C′，連接CC′．在△ABC′中，∠AC′B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∵∠ECF＝∠AC′B＝40°，∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠FCC′+∠FC′C，∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝2∠AC′B＝80°，∵∠1＝20°，∴∠2＝60°，故選：B．【點評】本題考查翻折變換、三角形的內角和定理、三角形的外角等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，記住基本結論∠1+∠2＝2∠AC′B解決問題．9．（2022秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，下列結論一定成立的是（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】延長BE、CD相交于點A′，四邊形的內角和為360°及翻折的性質，就可求出2∠A＝∠1+∠2這一始終保持不變的性質．【解答】解：延長BE、CD相交于點A′．∵在四邊形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°，∴2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1＝360°，∴2∠A＝∠1+∠2．故選：B．【點評】本題主要考查的是翻折變換、四邊形的內角和是360°，掌握此類輔助線的作法是解題的關鍵．10．（2020秋?電白區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，將△ABC沿著直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．36° B．72° C．50° D．46°【分析】由折疊的性質得到∠D＝∠C，再利用外角性質即可求出所求角的度數(shù)．【解答】解：由折疊的性質得：∠D＝∠C＝36°，根據(jù)外角性質得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，則∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，則∠1﹣∠2＝72°．故選：B．【點評】此題考查了翻折變換（折疊問題）以及三角形外角性質，熟練掌握折疊的性質是解本題的關鍵．二．填空題（共2小題）11．（2020秋?南關區(qū)校級期末）如圖，三角形紙片ABC中∠A＝80°，∠B＝60°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC的內部C′處，若∠2＝38°，則∠1＝42°．【分析】首先證明∠1+∠2＝2∠C，利用這個結論解決問題即可．【解答】解：設折痕為EF，連接CC′．∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，∴∠1+∠2＝2∠ECF，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∴∠1＝80°﹣38°＝42°，故答案為：42°．【點評】本題考查三角形內角和定理，翻折變換的性質等知識，解題的關鍵是證明∠1+∠2＝2∠C．12．（2021秋?新城區(qū)校級月考）如圖：將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點F處，已知∠1+∠2＝100°，則∠A＝50度．【分析】根據(jù)折疊的性質可知∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，利用平角是180°，求出∠ADE與∠AED的和，然后利用三角形內角和定理求出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點F處，∴∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝180°+180°，∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°，又∵∠1+∠2＝100°，∴∠ADE+∠AED＝130°，∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝50°．故答案是：50【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題）．解題時注意挖掘出隱含于題中的已知條件：三角形內角和是180°、平角的度數(shù)也是180°．三．解答題（共4小題）13．（2022秋?羅定市期末）放風箏是中國民間的傳統(tǒng)游戲之一，風箏又稱風琴，紙鷂，鷂子，紙鳶．如圖1，小華制作了一個風箏，示意圖如圖2所示，AB＝AC，DB＝DC，他發(fā)現(xiàn)AD不僅平分∠BAC，且平分∠BDC，你覺得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．【分析】利用SSS證明△ABD≌△ACD即可解決問題．【解答】解：結論正確．證明如下：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，即AD不僅平分∠BAC，且平分∠BDC，∴結論正確．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質與判定，比較簡單．14．（2016秋?贛州期中）將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在A′處的位置．（1）如果A′落在四邊形BCDE的內部（如圖1），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．（2）如果A′落在四邊形BCDE的BE邊上，這時圖1中的∠1變?yōu)?°角，則∠A′與∠2之間的關系是2∠A＝∠2．（3）如果A′落在四邊形BCDE的外部（如圖2），這時∠A′與∠1、∠2之間又存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)折疊性質得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根據(jù)三角形內角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）根據(jù)三角形外角性質得出∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，代入即可求出答案；（3）根據(jù)三角形外角性質得出∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，推出∠2＝∠A+∠A′+∠1，即可得出答案．【解答】解：（1）圖1中，2∠A＝∠1+∠2，理由是：∵延DE折疊A和A′重合，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；（2）2∠A＝∠2，如圖∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A，故答案為：2∠A＝∠2；（3）如圖2，2∠A＝∠2﹣∠1，理由是：∵延DE折疊A和A′重合，∴∠A＝∠A′，∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，即2∠A＝∠2﹣∠1．【點評】本題考查了折疊的性質，三角形外角性質，三角形內角和定理的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．15．（2020秋?郯城縣期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于CA.90°B.135℃.270°D.315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝220°（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關系是∠1+∠2＝180°+∠A（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關系并說明理由．【分析】（1）利用了四邊形內角和為360°和直角三角形的性質求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結果；（4）根據(jù)折疊的性質，對應角相等，以及鄰補角的性質即可求解．【解答】解：（1）：∵四邊形的內角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故選C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關系是：∠1+∠2＝180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【點評】主要考查了三角形的內角和外角之間的關系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和．（2）三角形的內角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件．16．（2021秋?永春縣期中）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在線段BC上（不與點B、點C重合），以