第四章 實(shí)數(shù)（2類(lèi)知識(shí)拓展）

第四章實(shí)數(shù)（知識(shí)拓展）知識(shí)拓展規(guī)律探索典例1如圖，將1、、三個(gè)數(shù)按圖中方式排列，若規(guī)定表示第排第列的數(shù)，則與表示的兩個(gè)數(shù)的積是（）A． B． C． D．1跟蹤訓(xùn)練1觀察下列各式：①；②；③．根據(jù)上面三個(gè)等式，猜想的結(jié)果為（）A． B． C． D．典例2“黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合壁，天下無(wú)敵”．其意指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也有這樣相輔相成的例子．如，它們的積是有理數(shù)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)利用有理化因式可以去掉根號(hào)，令（為非負(fù)數(shù)），則；．則下列選項(xiàng)正確的有（）個(gè)①若是的小數(shù)部分，則的值為；②若（其中為有理數(shù)），則；③，則④A．4 B．3 C．2 D．1跟蹤訓(xùn)練2有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：，，，，，…則第101個(gè)數(shù)是______．無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算典例3先閱讀下面的解答過(guò)程，然后再解答：要對(duì)形如的式子化簡(jiǎn)，只要找到兩個(gè)數(shù)、，使，，即，，那么便有．（1）用上述方法化簡(jiǎn)：=__________（2）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則=_________________跟蹤訓(xùn)練3閱讀與思考閱讀下面的文字，并完成相應(yīng)的任務(wù)．大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，我們可以減去它的整數(shù)部分就可以得到小數(shù)部分，于是我們需要先對(duì)這個(gè)數(shù)進(jìn)行估值．因?yàn)?，即，所以的整?shù)部分為2，小數(shù)部分為．任務(wù)：已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分．(1)求a，b的值．(2)求的算術(shù)平方根．典例4閱讀下面的文字，解答問(wèn)題．大家知道，是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．例如：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．(1)求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分．(2)若其中是整數(shù)．且，請(qǐng)求出的相反數(shù)．(3)已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，求的值．跟蹤訓(xùn)練4我們知道，是一個(gè)無(wú)理數(shù)，將這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．過(guò)關(guān)訓(xùn)練1．觀察分析下列按某一規(guī)律排列的數(shù)據(jù)：0，，，3，，……，那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)該是____．2．觀察：，即；，即；猜想：______3．小言做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)；；；…；按此規(guī)律，若（，為正整數(shù)），則______.4．觀察下列等式：①；②；③．(1)猜想：根據(jù)觀察所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想第4個(gè)等式為_(kāi)_____，第9個(gè)等式為_(kāi)_____．(2)歸納證明：由以上觀察探究，歸納猜想，用含的式子表示第個(gè)等式所反映的規(guī)律為_(kāi)_____．5．閱讀下列解題過(guò)程并解答問(wèn)題：；；…(1)填空：______，_______．(2)利用上面隱含的規(guī)律計(jì)算：．6．已知，x為的整數(shù)部分，y為的小數(shù)部分．求的值．7．?dāng)?shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：...，它是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說(shuō)出它的小數(shù)部分是多少”，小明舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫(xiě)出來(lái)，但可以用來(lái)表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)小明真聰明，肯定了他的說(shuō)法.現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)小明的說(shuō)法解答：（1）的小數(shù)部分是，的整數(shù)部分是，求的值；（2）已知，其中是一個(gè)整數(shù)，，求．8．（1）如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；（2）已知：，其中是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．

第四章實(shí)數(shù)（知識(shí)拓展）答案全解全析知識(shí)拓展規(guī)律探索典例1如圖，將1、、三個(gè)數(shù)按圖中方式排列，若規(guī)定表示第排第列的數(shù)，則與表示的兩個(gè)數(shù)的積是（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】觀察數(shù)列可得，每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，根據(jù)有序數(shù)對(duì)的表示方法，可得有序數(shù)對(duì)表示的數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案．【詳解】解：由題意可得：每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，1、、，則前7排共有個(gè)數(shù)，在排列中是第個(gè)數(shù)，，表示的數(shù)正好是第10輪的最后一個(gè)，即表示的數(shù)是，前2014排共有個(gè)數(shù)，而，表示的數(shù)正好是第676369輪的第一個(gè)數(shù)，即表示的數(shù)是1，，與表示的兩個(gè)數(shù)的積是，故選：B．跟蹤訓(xùn)練1觀察下列各式：①；②；③．根據(jù)上面三個(gè)等式，猜想的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用題中的等式可得規(guī)律為：＝，將變形后，符合規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得結(jié)果，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】根據(jù)題意，第n個(gè)等式為＝∴＝＝故選擇：C．典例2“黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合壁，天下無(wú)敵”．其意指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也有這樣相輔相成的例子．如，它們的積是有理數(shù)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)利用有理化因式可以去掉根號(hào)，令（為非負(fù)數(shù)），則；．則下列選項(xiàng)正確的有（

）個(gè)①若是的小數(shù)部分，則的值為；②若（其中為有理數(shù)），則；③，則④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】先估算出，則，然后對(duì)進(jìn)行分母有理化即可判斷①；根據(jù)推出，正在由為有理數(shù)，得到方程組，解方程組即可得到答案；只需要根據(jù)，推出，即可判斷③；證明，然后對(duì)原式裂項(xiàng)即可判斷④．【詳解】解：由題意得，∵，∴，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∴，∴，∵為有理數(shù)，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴∴，∴，∴，故③正確；∵，∴，故④正確；故選B．跟蹤訓(xùn)練2有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：，，，，，…則第101個(gè)數(shù)是______．【答案】【分析】先通過(guò)觀察分析得出這一列數(shù)的規(guī)律是，再根據(jù)這一列數(shù)的變化規(guī)律求解即可．【詳解】解：第1個(gè)數(shù)是，第2個(gè)數(shù)是，第3個(gè)數(shù)是，第4個(gè)數(shù)是，第5個(gè)數(shù)是，第6個(gè)數(shù)是，……第n個(gè)數(shù)是，∴當(dāng)時(shí)，∴第101個(gè)數(shù)是．故答案為：．無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算典例3先閱讀下面的解答過(guò)程，然后再解答：要對(duì)形如的式子化簡(jiǎn)，只要找到兩個(gè)數(shù)、，使，，即，，那么便有．（1）用上述方法化簡(jiǎn)：=__________（2）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則=_________________【答案】//【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法將原式化為即可；（2）將原式化為，進(jìn)而得到，在根據(jù)算術(shù)平方根的定義以及不等式的性質(zhì)估算的大小，確定的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（1），∵，∴，∴的整數(shù)部分是，小數(shù)部分，∴，故答案為：．跟蹤訓(xùn)練3閱讀與思考閱讀下面的文字，并完成相應(yīng)的任務(wù)．大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，我們可以減去它的整數(shù)部分就可以得到小數(shù)部分，于是我們需要先對(duì)這個(gè)數(shù)進(jìn)行估值．因?yàn)?，即，所以的整?shù)部分為2，小數(shù)部分為．任務(wù)：已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分．(1)求a，b的值．(2)求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無(wú)理數(shù)的大小即可解決；（2）把求得a，b的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以，所以，；?）解：由（1）得，，所以，所以的算術(shù)平方根是．典例4閱讀下面的文字，解答問(wèn)題．大家知道，是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．例如：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．(1)求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分．(2)若其中是整數(shù)．且，請(qǐng)求出的相反數(shù)．(3)已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，求的值．【答案】(1)的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為(2)(3)1【分析】（1）先估算，得到的小數(shù)部分1，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可；（2）先估算，得到的整數(shù)與小數(shù)部分，從而得到的結(jié)果，求出、的值，代入計(jì)算即可求得其相反數(shù)；（3）由，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，，從而得到，的值，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為；（2）解：，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為，，是整數(shù)，且，，，，相反數(shù)為；（3）解：，，，，，．跟蹤訓(xùn)練4我們知道，是一個(gè)無(wú)理數(shù)，將這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)11．【分析】（1）確定的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定的整數(shù)部分，即可確定的整數(shù)部分，從而確定的小數(shù)部分；（2）確定的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式+1的值，從而求得其平方根；（3）由得即，從而得x=9，y=，將x、y的值代入原式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為，∵，∴，∴即，∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為，故答案為：，；（2）解：∵，a是的整數(shù)部分，∴a=9，∵，∴的整數(shù)部分為1，∵b是的小數(shù)部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；（3）解：∵，∴即，∵，其中x是整數(shù)，且，∴x=9，y=，∴過(guò)關(guān)訓(xùn)練1．觀察分析下列按某一規(guī)律排列的數(shù)據(jù)：0，，，3，，……，那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)該是____．【答案】【分析】觀察數(shù)據(jù)，得出規(guī)律：第n個(gè)式子為，即可求出第10個(gè)數(shù)據(jù)．【詳解】解：觀察數(shù)據(jù)，得出規(guī)律：0，，，，，……，第n個(gè)式子為，所以第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)該是．故答案為：．2．觀察：，即；，即；猜想：_【答案】【分析】由，得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由，得∴故答案為：3．小言做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)；；；…；按此規(guī)律，若（，為正整數(shù)），則______.【答案】57【分析】找出一系列等式的規(guī)律為（的正整數(shù)），令求出a與b的值，即可求得的值．【詳解】解：根據(jù)題中的規(guī)律得：（的正整數(shù)），，，則．故答案為：57．4．觀察下列等式：①；②；③．(1)猜想：根據(jù)觀察所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想第4個(gè)等式為_(kāi)_____，第9個(gè)等式為_(kāi)_____．(2)歸納證明：由以上觀察探究，歸納猜想，用含的式子表示第個(gè)等式所反映的規(guī)律為_(kāi)_____．【答案】(1)，(2)（n為正整數(shù)），見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)前3個(gè)等式反映的規(guī)律解答即可；（2）利用（1）的解答可得規(guī)律：，然后利用算術(shù)平方根的定義證明即可．【詳解】（1）解：第1個(gè)等式為：；第2個(gè)等式為；第3個(gè)等式為：；所以猜想第4個(gè)等式為：；……，第9個(gè)等式為：，即；故答案為：，；（2）第個(gè)等式所反映的規(guī)律為：；證明：∵n為正整數(shù)，；∴（n為正整數(shù)）．5．閱讀下列解題過(guò)程并解答問(wèn)題：；；…(1)填空：______，_______．(2)利用上面隱含的規(guī)律計(jì)算：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根，即可解答；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，利用其規(guī)律將每個(gè)算術(shù)平方根化簡(jiǎn)，再利用分?jǐn)?shù)的乘法的法則運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：，；故答案為：，；（2）由觀察可知：，則：．6．已知，x為的整數(shù)部分，y為的小數(shù)部分．求的值．【答案】【分析】由，可得a+b=33，再根據(jù)x為的整數(shù)部分，y為的小數(shù)部分，確定x、y的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，，∴∴．∵，x為的整數(shù)部分，y為的小數(shù)部分，∴，．∴．答：的值為．7．?dāng)?shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：...，它是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說(shuō)出它的小數(shù)部分是多少”，小明舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫(xiě)出來(lái)，但可以用來(lái)表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)小明真聰明，肯定了他的說(shuō)法.現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)小明的說(shuō)法解答：（1）的小數(shù)部分是，的整數(shù)部分是，求的值；（2）已知，其中是一個(gè)整數(shù)，，求．【答案】（l）1；（2）28．【分析】（1）先估算出和的大致范圍，再求得a、b的值，然后代入計(jì)算