四年級數學下冊 7.三角形、平行四邊形和梯形 期末復習專題講義（知識點歸納 典例講解 同步測試）（蘇教版）

蘇教版四年級下冊數學期末復習專題講義-7.三角形、平行四邊形和梯形【知識點歸納】三角形：三條線段首尾相接圍成的圖形叫做三角形。三角形的高和底：從三角形的一個頂點到對邊的垂直線段是三角形的高，這條對邊是三角形的底。三角形三邊關系：三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。三角形的內角和等于180°。三角形分類：按角分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。按邊分類：等腰三角形、等邊三角形（正三角形）、不等邊三角形。平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。平行四邊形的高和底：從平行四邊形一條邊上的一點到它對邊的垂直線段，是平行四邊形的高，這條對邊是平行四邊形的底。梯形：只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形。梯形的上底、下底和腰：互相平行的一組對邊分別是梯形的上底和下底，不平行的一組對邊是梯形的腰。梯形的高：從梯形一條底邊上的一點到它對邊的垂直線段叫作梯形的高。兩腰相等的梯形是等腰梯形。多邊形內角和=180°×（邊數-2）。（根據三角形的內角和推算出來）【典例講解】例1．等腰三角形中有一個內角是80°，另外兩個角（）A．都是50° B．分別是20°和80 C．分別是20°和80°或都是50°【分析】等腰三角形這個80°的內角可能是頂角，也可能是底角．根據等腰三角形的內角和定理（三角形三個內角之和是180°）及等腰三角形兩個底角相等的性質，即可分別計算出當這個角是頂角時的底角度數、當這個角是底角時頂角的度數．【解答】解：當等腰三角形的頂角是80°時它的兩個底角：（180°﹣80°）÷2＝100°÷2＝50°當當等腰三角形的底角是80°時180°﹣80°×2＝180°﹣160°＝20°答：另外兩個角分別是20°和80°或都是50°．故選：C．【點評】解答此題的關鍵是三角形內角定理及等腰三角形性質的應用．例2．一個三角形中，有兩個角的度數分別是32°和46°，第三個內角為102°，這個三角形是鈍角三角形．（按角分類）【分析】根據三角形內角和定理，三角形三個內角之和是180°，已知這個三角形的兩個角的度數，用180°減這兩個角的度數之和就是第三個角的度數．由前面計算可知，這個三角形的第三個角是102°，是鈍角，根據鈍角三角形的意義，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，這個三角形是鈍角三角形．【解答】解：180°﹣（32°+46°）＝180°﹣78°＝102°這個三角形有一個角是鈍角，是鈍角三角形答：第三個內角為102°，這個三角形是鈍角三角形．故答案為：102，鈍角．【點評】此題考查的知識有三角形內角和定理的應用、三角形的分類（按角分類）．例3．三角形的三邊長分別是3cm、4cm、5cm，這樣的三角形的形狀只有一種．√（判斷對錯）【分析】三角形的三邊長分別是3cm、4cm、5cm，因為三條邊是確定的，三角形的形狀就是確定的，所以這樣的三角形的形狀只有一種，那就是直角三角形．【解答】解：三角形的三邊長分別是3cm、4cm、5cm，這樣的三角形的形狀只有直角三角形一種．故原題說法正確．故答案為：√．【點評】解決此題還可以利用三角板畫出圖，然后直觀判斷．例4．在三角形ABC中，∠1＝65°，∠2＝20°，求∠4的度數．【分析】利用三角形內角和定理：三角形內角和是180°，∠3＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∠4＝180°﹣70°﹣65°＝45°．據此解答．【解答】解：∠3＝180°﹣90°﹣20°＝70°∠4＝180°﹣70°﹣65°＝45°答：∠4＝45°．【點評】本題主要考查三角形的內角和，關鍵是利用三角形內角和定理做題．例5．紅紅家有一塊三角形的小菜園，菜園的最大角是120°，且最大角的度數是最小角的4倍，這塊三角形菜地其他角的度數是多少？這塊地的形狀是一個什么三角形？【分析】這塊三角形菜園的最大角是120°，且最大角的度數是最小角的4倍，用120°除以4就是最小角的度數；再根據三角形內角和定理（三角形三個內角之和是180°）即可求出另一個角的度數．這個三角形中最大角是120°，屬于鈍角，根據鈍角三角形的意義，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，此三角形為鈍角三角形．【解答】解：120°÷4＝30°180°﹣120°﹣30°＝30°這個三角形的最大角是鈍角，它是一個鈍角三角形答：這塊三角形菜地其他角的度數都是30°，這塊地的形狀是一個鈍角三角形．【點評】此題考查的知識有三角形內角和定理、三角形（按角）分類．【同步測試】一．選擇題（共10小題）1．根據下列描述，一定是銳角三角形的是（）A．有一個內角是85°的三角形 B．有兩個內角都是銳角的三角形 C．其中最大的內角小于90° D．等腰三角形2．下面的說法正確的是（）A．有一組對邊平行的四邊形是梯形 B．平行四邊形和梯形都是四邊形 C．在梯形中，平行的一組對邊叫做梯形的腰3．一個三角形的底不變，要使面積擴大2倍，高要擴大（）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍4．小明用小棒擺三角形，應該選?。ǎ┙M小棒．A．12cm，12cm，24cm B．12cm，15cm；27cm C．12cm，15cm，24cm D．15cm，15cm，31cm5．一個三角形兩個角的度數分別是50°和65°．這個三角形一定是（）A．等腰的銳角三角形 B．等邊的銳角三角形 C．等腰的鈍角三角形 D．三邊不等的銳角三角形6．小明在研究平行四邊形的面積時，想把一個平行四邊形轉化成一個長方形．下面的四種剪法中不能拼成長方形的是圖（）A． B． C． D．7．一個三角形與一個平行四邊形的面積相等，底也相等．三角形的高是2分米，平行四邊形的高是（）分米．A．1 B．2 C．3 D．48．如圖中，平行四邊形的高是28cm，它的對應底是（）A．36cm B．20cm C．25cm D．28cm9．張浩將梯形ABCD通過割補的方法，轉化成三角形ABF（過程如圖）．已知三角形ABF的面積是24cm2，則CF的長是（）cm．A．2 B．4 C．6 D．1210．一個等腰三角形的兩條邊是10厘米和4厘米，它的周長是（）厘米．A．18 B．14 C．24 D．20二．填空題（共8小題）11．一個平行四邊形的底是13分米，高是70厘米，面積是平方分米．12．在銳角三角形中，任何兩個內角的度數之和都90°．13．等腰三角形ABC，其中AB等于AC，∠B＝，∠A＝．14．兩組對邊分別平行的四邊形是或．15．在一個三角形中，有兩個角分別是28°和62°，另一個角是，這是一個三角形．16．把一個平行四邊形的底擴大到原來的2倍，高擴大到原來的3倍，得到的平行四邊形的面積是原來的倍．17．一個平行四邊形的面積是60dm2，底是5dm，這條底邊對應的高是dm．18．一個等腰直角三角形兩條直角邊的長度和是18cm，它的面積是cm2．三．判斷題（共5小題）19．兩個三角形的面積相等，它們的底和高不一定相等．（判斷對錯）20．在梯形里畫一條線段，分成兩個圖形，這兩個圖形不可能是平行四邊形．（判斷對錯）21．一個三角形的周長是30cm，它的最長邊的長一定不小于15厘米．（判斷對錯）22．一個等腰三角形的周長是21cm，其中一條邊長5cm，它的另外兩條邊可能是5cm和11cm．（判斷對錯）23．一個平行四邊形的面積是24cm2，將它的底增加2cm，高減少2cm，得到的平行四邊形的面積一定仍是24cm2．（判斷對錯）四．計算題（共2小題）24．求平行四邊形的面積（單位：厘米）25．計算下面圖形的周長．五．應用題（共6小題）26．把一根長25米的彩帶剪成三段，第一段長5米，第二段長8米，這三段能圍成一個三角形嗎？為什么？27．有5根小棒，長度分別是3厘米、3厘米、3厘米、4厘米、6厘米，可以擺成幾種不同的三角形？請你列舉出來．28．如圖，一個長方形框架拉成平行四邊形后，面積是18dm2，長方形框架的周長是多少分米？29．一個三角形的面積是12cm2，底邊長6cm，這條底邊上的高是多少cm？30．在一塊平行四邊形空地（如圖）上種草坪，1平方米草坪的價格是10元．種這塊草坪需要多少錢？31．一塊平行四邊形玻璃，底長150厘米，高比底少50厘米，劉阿姨買這塊玻璃用了90元錢．每平方米玻璃的價錢是多少？

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．【分析】根據角的分類、三角形按角的大小分類情況，小于90度的角叫做銳角；等于90度的角叫做直角；大于90度小于180度的角叫做鈍角；有一個角是鈍角的三角形，叫做鈍角三角形；有一個角是直角的三角形，叫做直角三角形；三個角都是銳角的三角形，叫做銳角三角形；據此解答．【解答】解：根據銳角三角形的特征，銳角三角形的三個角都是銳角，由此可知，三角形中最大角小于90度的三角形一定是銳角三角形．故選：C．【點評】此題考查的目的是理解掌握角的分類、三角形按照角的大小分類及應用．2．【分析】有且只有一組對邊平行的四邊形是梯形，A錯誤；平行四邊形和梯形都是四邊形，B正確；在梯形中，平行的一組對邊叫做梯形的上底和下底，C錯誤；據此解答即可．【解答】解：有且只有一組對邊平行的四邊形是梯形，A錯誤；平行四邊形和梯形都是四邊形，B正確；在梯形中，平行的一組對邊叫做梯形的上底和下底，C錯誤；只有B正確；故選：B．【點評】此題考查了梯形的特征，要熟練掌握．3．【分析】三角形的面積＝底×高÷2，若底不變，要使面積擴大2倍，高要擴大2倍．【解答】解：因為三角形的面積＝底×高÷2，若底不變，要使面積擴大2倍，高要擴大2倍．故選：A．【點評】此題主要考查三角形的面積公式的靈活運用．4．【分析】根據三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行依次分析、進而得出結論．【解答】解：A、因為12+12＝24，不能組成三角形，不符合題意；B、因為12+15＝27，不能組成三角形，不符合題意；C、12+15＞24，所以能組成三角形，符合題意；D、15+15＜31，所以不能組成三角形，不符合題意；故選：C．【點評】解答此題的關鍵是根據三角形的特性進行分析、解答即可．5．【分析】三角形的兩個內角的度數已知，依據三角形的內角和是180°，即可求出第三個內角的度數，從而可以判定這個三角形的類別．【解答】解：180°﹣50°﹣65°＝130°﹣65°＝65°因為三角形三個內角都是銳角，且有兩個角相等，所以這個三角形是等腰的銳角三角形．故選：A．【點評】解答此題的主要依據是：三角形的內角和是180度以及三角形的分類方法．6．【分析】選項A：圖形中是沿著高剪得，有直角，把剪下的左邊圖形平移到右邊可以得到一個長方形．選項B：圖形中不是沿著高剪得，沒有直角，把剪下的上面圖形平移到下面不能得到一個長方形．選項C，沿平行四邊形的一邊中點分別剪下了個直角三角形，通過旋轉、平移后能夠拼成一個長方形．選項D，沿平行四邊形的高剪開后，可以平成一個長方形，據此解答．【解答】解：根據長方形的特征，長方形的對邊平行且相等，選項A：圖形中是沿著高剪得，有直角，把剪下的左邊圖形平移到右邊可以得到一個長方形．選項B：圖形中不是沿著高剪得，沒有直角，把剪下的上面圖形平移到下面不能得到一個長方形．選項C，沿平行四邊形的一邊中點分別剪下了個直角三角形，通過旋轉、平移后能夠拼成一個長方形．選項D，沿平行四邊形的高剪開后，可以平成一個長方形．故選：B．【點評】此題主要考查平行四邊形面積公式的推導過程及應用．7．【分析】由題意可知：一個三角形和一個平行四邊形的面積相等，底也相等，由兩種圖形的面積公式可得，平行四邊形的高應是三角形高的一半，三角形的高是2分米，所以用三角形的高除以2即可解答．【解答】解：2÷2＝1（分米）答：平行四邊形的高是1分米．故選：A．【點評】此題主要考查三角形和平行四邊形的面積公式的靈活運用．8．【分析】根據平行四邊形高的意義，從平行四邊形的一個頂點向對邊作垂線，頂點到垂足的距離叫做平行四邊形的高，通過觀察圖形可知，高28厘米對應的底是25厘米．據此解答即可．【解答】解：如圖中，平行四邊形的高是28cm，它的對應底25cm．故選：C．【點評】此題考查的目的是理解掌握平行四邊形高的意義及應用．9．【分析】CF的長就是梯形的上底，24平方厘米是梯形的面積，梯形的下底是8厘米，高是4厘米，根據梯形的面積＝（上底+下底）×高÷2，則上底＝梯形的面積×2÷高﹣下底，據此即可解答．【解答】解：24×2÷4＝8＝12﹣8＝4（厘米）答：CF的長是4cm．故選：B．【點評】本題考查了梯形面積公式的靈活運用情況．10．【分析】求等腰三角形的周長，就要確定等腰三角形的腰與底的長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為10厘米和4厘米，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：（1）若4厘米為腰長，10厘米為底邊長，由于4+4＝8，兩邊之和不大于第三邊，則三角形不存在；（2）若10厘米為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為10+10+4＝24（厘米）．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．二．填空題（共8小題）11．【分析】根據平行四邊形的面積公式：S＝ah，把數據代入公式解答．【解答】解：70厘米＝7分米，13×7＝91（平方分米）答：它的面積是91平方分米．故答案為：91．【點評】此題需要考查平行四邊形面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式．12．【分析】根據銳角三角形的性質和三角形內角和是180°解答即可．【解答】解：銳角三角形中，三個角都是銳角，因為三角形的內角和是180°，所以任意兩個銳角之和都大于90°．故答案為：大于．【點評】此題是考查了三角形內角和以及銳角三角形的性質的靈活應用．13．【分析】已知角為145°，它的補角是等腰三角形的一個底角，可求出底角度數為180°﹣145°＝35°，兩底角度數相等，三角形內角和是180°，則頂角度數為180°﹣35°﹣35°＝110°．【解答】解：∠B＝∠C＝180°﹣145°＝35°∠A＝180°﹣35°﹣35°＝110°故答案為：35°，110°．【點評】本題考查了三角形內角和定理，屬于基礎題，關鍵是掌握三角形內角和為180度．14．【分析】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．平行四邊形包括一般平行四邊形或特殊平行四邊形．特殊平行四邊形即正方形、長方形、菱形等．【解答】解：兩組對邊分別平行的四邊形是一般平行四邊形或特殊平行四邊形．故答案為：一般平行四邊形，特殊平行四邊形．【點評】此題考查了平行四邊形的判定方法和分類．15．【分析】根據三角形的內角和定理：三角形內角和是180°，用180°減掉兩個已知角的度數，就是第三個角的度數；根據三角形按角分率的標準，判斷三角形的分類即可．【解答】解：180°﹣28°﹣62°＝90°答：另一個角是90°，這是一個直角三角形．故答案為：90°；直角．【點評】本題主要考查三角形的內角和，關鍵是利用三角形內角和定理做題．16．【分析】根據平行四邊形的面積公式：S＝ah，再根據因數與積的變化規(guī)律，積擴大的倍數等于因數擴大倍數的乘積．據此解答．【解答】解：2×3＝6答：平行四邊形的面積是原來的6倍．故答案為：6．【點評】此題考查的目的是理解掌握平行四邊形的面積公式、因數與積的變化規(guī)律及應用．17．【分析】根據平行四邊形的面積公式：S＝ah，那么h＝S÷a，把數據代入公式解答．【解答】解：60÷5＝12（分米）答：這條底邊對應的高是12分米．故答案為：12．【點評】此題主要考查平行四邊形面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式．18．【分析】由條件“一個等腰直角三角形兩條直角邊的長度和是18cm”可知，此三角形的直角邊為18÷2＝9cm，再利用三角形的面積公式：三角形面積＝底×高÷2即可求得結果．【解答】解：18÷2＝9（cm）9×9÷2＝40.5（cm2）答：它的面積是40.5cm2．故答案為：40.5．【點評】此題主要考查三角形的面積公式：三角形面積＝底×高÷2，將數據代入公式即可求得結果．三．判斷題（共5小題）19．【分析】兩個面積相等的三角形，則面積的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一個數可以有許多不同的因數，所以說這兩個三角形的底和高不一定相等；比如，底和高分別是4、3，6、2的兩個三角形的面積相等，但底和高不相等，判斷即可．【解答】解：因為兩個三角形的面積相等，則兩個三角形面積的2倍也相等，也就是底乘高相等；比如，底和高分別是4、3，6、2的兩個三角形的面積相等，但底和高不相等，所以說“兩個三角形的面積相等，它們的底和高不一定相等”是正確的．故答案為：√．【點評】掌握三角形的面積公式是解題的關鍵．20．【分析】（1）過上底上的除兩個端點外的任意一點做腰的一條平行線，把梯形分成兩個圖形：一個平行四邊形和一個梯形；（2）過上底上的除兩個端點外的任意一點做底的一條垂線，把梯形分成兩個圖形：兩個梯形；（3）連接梯形的對角線，可以得到兩個三角形．（4）這不是一個直角梯形，得不到一個長方形和一個梯形，由此求解．【解答】解：根據分析畫圖如下：（1）一個平行四邊形和一個梯形（2）兩個梯形（3）一個三角形（4）一個三角形和梯形得不到兩個平行四邊形．所以本題說法正確；故答案為：√．【點評】本題主要考查了學生根據三角形、平行四邊形、梯形的定義來對圖形進行分割的能力．21．【分析】根據三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可．【解答】解：如果三邊長分別為14cm、7cm、9cm，周長是30cm，符合7+9＞14，能組成三角形，但最長邊是14cm，14＜15，故原題說法錯誤；故答案為：×．【點評】此題是考查三角形的特性，應靈活掌握和運用．22．【分析】首先根據等腰三角形的性質可分為兩種情況討論：5cm為腰長、5cm為底的長度．然后看是否能圍成三角形，由此解答即可．【解答】解：當5厘米是腰時，底邊是21﹣5×2＝11（厘米），5+5＜11，這種情況不成立；如果5厘米是底邊，則腰長為：（21﹣5）÷2＝8（厘米），5+8＞8，所以能圍成三角形；所以其中一條邊長5cm，它的另外兩條邊不可能是5cm和11cm．故原題說法錯誤；故答案為：×．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．23．【分析】根據平行四邊形的面積公式：S＝ah，可以通過舉例證明．假如原來平行四邊形的底是3厘米，高是8厘米，底增加2厘米后是5厘米，高減少2厘米后是6厘米，分別求出原來和增加后的面積，然后進行比較即可．【解答】解：假如原來平行四邊形的底是3厘米，高是8厘米，底增加2厘米后是5厘米，高減少2厘米后是6厘米，原來的面積：3×8＝24（平方厘米）；增加后的面積：（3+2）×（8﹣2）＝5×6＝30（平方厘米）；24平方厘米＜30平方厘米，答：所得到的平行四邊行面積比原來平行四邊形面積大．因此，所得到的平行四邊行面積與原來平行四邊形面積相等，這種說法是錯誤的．故答案為：×．【點評】此題主要考查平行四邊形面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式．四．計算題（共2小題）24．【分析】根據題意，如圖，這個平行四邊形的底是3cm，高是2.8cm．根據面積公式：S＝ah，把數據代入公式解答．【解答】解：3×2.8＝8.4（平方厘米）答：它的面積是8.4平方厘米．【點評】此題主要考查平行四邊形面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式．25．【分析】根據三角形的周長＝三條邊的和，用8+8+10計算即可得到三角形的周長；根據長方形的周長＝（長+寬）×2，用（15+7）×2計算即可得到長方形的周長．【解答】解：8+8+10＝26（厘米）答：三角形的周長是26厘米；（15+7）×2＝22×2＝44（厘米）答：長方形的周長是44厘米．【點評】本題考查長方形的周長、三角形的周長，明確長方形的周長＝（長+寬）×2、三角形的周長＝三條邊的和是解答本題的關鍵．五．應用題（共