2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案12第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九講函數(shù)與方程含解析新人教版

第九講函數(shù)與方程A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．若函數(shù)f(x)的唯一零點同時在區(qū)間(0，4)，(0，2)，(1，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))內(nèi)，則與f(0)符號相同的是(C)A．f(4) B．f(2)C．f(1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))[解析]本題實質(zhì)考查二分法．由題意知f(x)的零點在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))內(nèi)，可知f(0)與f(1)符號相同．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，則f(x)的零點所在的區(qū)間是(C)A．(0，1) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，＋∞)[解析]易知f(x)是單調(diào)函數(shù)，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)<0，故f(x)的零點所在的區(qū)間是(3，4)．3．函數(shù)f(x)＝x·cos2x在區(qū)間[0，2π]上的零點的個數(shù)為(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]借助余弦函數(shù)的圖象求解，f(x)＝x·cos2x＝0?x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0，2π]上有eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)，eq\f(5π,4)，eq\f(7π,4)，共4個根，故原函數(shù)有5個零點．4．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1，2)上零點的個數(shù)為(C)A．至多有一個 B．有一個或兩個C．有且僅有一個 D．—個也沒有[解析]因為f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零點，又因為函數(shù)為二次函數(shù)，所以有且僅有一個零點．故選C.5．(2024·山東青島模擬)已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x的零點，若0<x0<a，則f(x0)的值滿意(C)A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0C．f(x0)<0 D．f(x0)≤0[解析]在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的圖象，由圖象可知，當(dāng)0<x0<a時，有2x0<logeq\s\do9(\f(1,2))x0，即f(x0)<0.6．(2024·湖南永州模擬)若函數(shù)f(x)＝2|x|－k存在零點，則k的取值范圍是(D)A．(－∞，0) B．[0，＋∞)C．(－∞，1) D．[1，＋∞)[解析]由函數(shù)f(x)＝2|x|－k存在零點，得2|x|＝k有解，作出函數(shù)y＝2|x|的圖象如圖所示，則由圖象可知，要使函數(shù)f(x)＝2|x|－k存在零點，只需y＝2|x|與y＝k的圖象有交點，則k≥1，故選D.7．(2024·廣西宜州聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是(B)A．5 B．4C．3 D．2[解析]∵偶函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)的周期為2.當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝x，故當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝－x.函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點的個數(shù)等于函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象的交點個數(shù)．在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象，如圖所示明顯函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象有4個交點，故選B.二、多選題8．下列函數(shù)中，在(－1，1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞減的是(AD)A．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3[解析]函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1)在定義域上單調(diào)遞減，且x＝0時y＝0，y＝x2－eq\f(1,2)在(－1，1)上不是單調(diào)函數(shù)，y＝－x3在定義域上單調(diào)遞減，且x＝0時y＝0.對于y＝2x－1，當(dāng)x＝0∈(－1，1)時，y＝0且y＝2x－1在R上單調(diào)遞增．故選A、D.9．若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點是2，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點可以是(AC)A．0 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．2[解析]2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－eq\f(1,2)，故選A、C.10．已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(－3)·f(6)<0，那么下列結(jié)論中正確的是(AC)A．f(x)可能有三個零點 B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)[解析]本題考查函數(shù)的性質(zhì)和零點問題，因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有一個零點，且f(3)<0，f(6)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有兩個零點．但是f(0)的值沒有確定，所以函數(shù)f(x)可能有三個零點，故A正確；又f(－4)＝f(4)，4∈(3，6)，所以f(－4)的符號不確定，故B不正確；C項明顯正確；由于f(0)的值沒有確定，所以f(0)與f(－6)的大小關(guān)系不確定，所以D不正確，故選AC.三、填空題11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零點為1，則實數(shù)a的值為－eq\f(1,2)．[解析]由已知得f(1)＝0，即eq\f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).12．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(0，1]．[解析]當(dāng)x>0時，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，則當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點．令f(x)＝0，得a＝2x，因為0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是(0，1]．13．(2024·河北武邑中學(xué)調(diào)研)函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝2．[解析]因為f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2，3)內(nèi)，故n＝2.14．(2024·江蘇淮安聯(lián)考)函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都滿意f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，并且方程f(x)＝0有三個實根，則這三個實根的和為eq\f(3,2)．[解析]因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱，所以方程f(x)＝0有三個實根時，肯定有一個根是eq\f(1,2)，另外兩個根的和為1，故方程f(x)＝0的三個實根的和為eq\f(3,2).15．(2024·廣東陽江調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1，x<1，,log\s\do9(\f(1,2))x，x≥1，))若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(－1，0)．[解析]關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個不同的實根，等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝k的圖象有三個不同的交點，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知實數(shù)k的取值范圍是(－1，0)．B組實力提升1．y＝f(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線，相應(yīng)的x值與y的值如下表：x123456y0.5－3－234－4則y＝f(x)在區(qū)間(1，6)上零點個數(shù)為(D)A．3個 B．奇數(shù)C．偶數(shù) D．至少3個[解析]由表可知，在(1，2)，(3，4)，(5，6)三個區(qū)間內(nèi)，y＝f(x)各至少有一個零點，故在(1，6)內(nèi)至少有3個零點．2．函數(shù)f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零點的個數(shù)為(C)A．2 B．3C．4 D．6[解析]函數(shù)f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零點個數(shù)，即方程|lgx2|＝－x2＋2|x|的根的個數(shù)，考慮g(x)＝|lgx2|，h(x)＝－x2＋2|x|，定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，g(x)＝|2lgx|，h(x)＝－x2＋2x，作出函數(shù)圖象：兩個函數(shù)一共有兩個交點，即當(dāng)x>0時，|lgx2|＝－x2＋2|x|有兩根，依據(jù)對稱性可得：當(dāng)x<0時|lgx2|＝－x2＋2|x|有兩根，所以|lgx2|＝－x2＋2|x|一共4個根，即函數(shù)f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零點的個數(shù)為4.故選C.3．(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)的零點為x1，g(x)＝4x＋2x－2的零點為x2，若|x1－x2|≤0.25，則f(x)可以是(AD)A．f(x)＝(2x－1)2 B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2) D．f(x)＝4x－1[解析]選項A，x1＝eq\f(1,2)；選項B，x1＝0；選項C，x1＝eq\f(3,2)或－eq\f(1,2)；選項D，x1＝eq\f(1,4).因為g(1)＝4＋2－2>0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2＋1－2>0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)－2<0，g(0)＝1－2<0，則x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).選項中，x1＝eq\f(1,2)和x1＝eq\f(1,4)時，滿意|x1－x2|≤0.25.故選A、D.4．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點為a，函數(shù)g(x)＝lnx＋x－2的零點為b，則下列不等式中成立的是(A)A．f(a)<f(1)<f(b) B．f(a)<f(b)<f(1)C．f(1)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(1)<f(a)[解析]由題意，知f′(x)＝ex＋1>0在x∈R上恒成立，故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函數(shù)f(x)的零點a∈(0，1)；由題意，知g′(x)＝eq\f(1,x)＋1>0在x∈(0，＋∞)內(nèi)恒成立，故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．又g(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，所以函數(shù)g(x)的零點b∈(1，2)．綜上，可得0<a<1<b<2.因為f(x)在R上是單調(diào)遞增的，所以f(a)<f(1)<f(b)．故選A.5．(2024·天津部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))（x＋1），－1<x<0，,－x2＋2x，x≥0，))若關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個不同的實數(shù)根a，b，c，則a＋b＋c的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．