高中數(shù)學(xué)論文：淺談分類討論思想及其應(yīng)用

淺談分類討論思想及其應(yīng)用【摘要】：分類討論思想方法是研究與解決數(shù)學(xué)問題的重要思想之一,在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中十分廣泛,本文從分類討論的原則、分類討論的步驟及應(yīng)用環(huán)境出發(fā),輔以一定例題,著重分析討論了分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的一般原則、方法、技巧及應(yīng)用環(huán)境.【關(guān)鍵詞】：分類討論分類討論思想分類討論原則分類討論步驟分類討論思想的概念由于數(shù)學(xué)研究對象的屬性不同,影響了研究問題的結(jié)果,從而對不同屬性的對象進(jìn)行研究的思想；或者由于在研究問題過程中出現(xiàn)了不同情況,從而對不同情況進(jìn)行分類研究的思想,我們稱之為分類討論思想,其實(shí)質(zhì)是一種邏輯劃分的思想.從思維策略上看,它是把要解決的數(shù)學(xué)問題,分解成可能的各個部分,從而使復(fù)雜問題簡單化,使“大”問題轉(zhuǎn)化為“小”問題,便于求解.通過正確的分類可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答,做到正確的分類,必須遵循一定的原則,以保證分類科學(xué)、統(tǒng)一,不重復(fù)、不遺漏,并力求最簡.分類討論的原則從某種意義上講,分類討論是不得已而為之的事情,通過協(xié)調(diào)、緩和“矛盾”,達(dá)到運(yùn)用知識合理解決問題的思想方法.那如何進(jìn)行分類討論呢？分類討論必須要遵循一定的原則,才能使分類科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn),從而正確、合理地解題,分類討論原則有同一性原則、互斥性原則、層次性原則.1.同一性原則同一性原則簡言之即“不遺漏”,可以通過集合的思想來解釋,如果把研究對象看作全集I,是I的子集,并以此分類,且A1∪A2∪…An=I,則稱這種分類（A1,A2…An）符合同一性原則.比如,我們?nèi)舭褜?shí)數(shù)R分成正實(shí)數(shù)R+與負(fù)實(shí)數(shù)R﹣,那這種分類不符合同一性原則,因?yàn)镽=R+∪R﹣∪﹛0﹜,則這種分類方法遺漏了零.在下面的例子中來討論同一性原則的應(yīng)用：例1：已知直線l:，求它的斜率及斜率的取值范圍、傾斜角的取值范圍.分析：直線l的方程中y的系數(shù)是，而的值域是，值可取零，但=0時斜率不存在，故視為研究對象I，，，A1,A2都是I的子集，且A1∪A2=I,滿足同一性原則,作如下分類討論：(1)當(dāng)=0,即θ=kπ（kZ）,直線l的斜率不存在,傾斜角α=(2)當(dāng)≠0,即θ≠kπ（kZ）,直線l的斜率k=,并且由-1≦≦0,0≦≦1,得出﹣1≧＞﹣∞,﹢∞＞≧1,k的取值范圍為直線傾斜角α取值范圍為例2：已知集合A=xx2－ax+4=0,xR,aR,B=xx3－5x2+2x+8=0,bR,若A,求a的取值范圍.分析：由于xx3－5x2+2x+8=0,bR=x(x+1)(x－2)(x－4)=0=﹣1,2,4,且A,則集合A可能是空集、單元素集合和兩個元素集合,而集合A的元素是一個一元二次方程的解集,即一元二次方程可能是無解、兩個相等的解或兩個不相等的實(shí)根,因此要分三類討論,求出a的取值范圍,此題研究對象是一元二次方程x2－ax+4=0的根的判別式△,分成大于零,小于零和等于零這三種情況,這種分類符合同一性原則,沒有遺漏任一情況.當(dāng)△=a2－16＜0,即﹣4＜a＜4時,因?yàn)锳=?,滿足A,所以a當(dāng)△=0,即a=±4時,由A得a=4當(dāng)△＞0,即a＞4或a＜﹣4時,A綜上可得,當(dāng)a時,A2.互斥性原則由同一性原則可以看出,在分類討論時,同一性僅僅考慮了“不遺漏”,但是對于全集I來說,A1,A2…An在滿足A1∪A2∪…∪An=I的前提下,并不能保證Ai∩Aj=?（i,jn,ij）,即在分類討論中不能避免重復(fù)討論,使討論復(fù)雜,互斥性原則則解決了這一問題,即對于研究對象I,Ai(i=1…n)是I子集,且作為分類的標(biāo)準(zhǔn),若Ai∩Aj=?（i,jn,ij）,則稱這種分類符合互斥性原則,互斥性原則的重要性在下面例子中可以很明顯地顯露出來.例3：某車間有10名工人,其中4人僅會車工,3人僅會鉗工,另外三人車工、鉗工都會,現(xiàn)需選出6人完成一件工作需要車工、鉗工各3人,問有多少種選派方案？分析：如果先考慮鉗工,因?yàn)?人會鉗工,故有種選法,但這時不清楚選出的鉗工中有幾個是車鉗工都會的,因此也不清楚余下的7人中有多少人會車工,因此在選車工時,就無法確定是從7人中選,還是從6人、5人、4人中選,同樣,如果先考慮車工也會遇到同樣的問題,因此需對全能工人進(jìn)行分類,因?yàn)橛?人是全能的,故有四種不同的情況可能出現(xiàn),具體如下：選出的6人中不含全能工人；選出的6人中含一名全能工人；選出的6人中含二名全能工人；選出的6人中含三名全能工人；故有注意：選出的全能工人,既會車工,又會鉗工,這兩種情況也需分開來進(jìn)行討論,這種分類方法避免了重復(fù)出現(xiàn)的機(jī)會,不遺漏任一情況,一般地,互斥性原則在排列組合中應(yīng)用十分廣泛.3.層次性原則如果在解決某一問題時,需要分類討論,當(dāng)確定了某一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論后,問題并沒有得到解決,還需要繼續(xù)進(jìn)行分類討論,這時,我們稱之為兩個不同層次的討論,這就是分類討論的層次性,而分類討論的層次性原則是指分類討論必須按同一標(biāo)準(zhǔn)的層次進(jìn)行,不同標(biāo)準(zhǔn)的不同層次的討論不能混淆,層次性原則實(shí)質(zhì)上就是要求有層次的分類討論不錯位.例4：解關(guān)于x的不等式：ax2-(a+1)x+1＜0aR分析：這是一個含參數(shù)a的不等式,它不一定是二次不等式,故首先應(yīng)對二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行分類,a=0和a≠0.當(dāng)a≠0時,不等式是一元二次不等式,不等式的解集可能是兩根之外,也可能處于兩根之間,故又須分a＞0和a＜0兩種,確定了這一層后,又會出現(xiàn)1與的大小問題,又需將a與1之間進(jìn)行分類,分三層討論,具體過程如下：（1）當(dāng)a=0時,原不等式化為（2）當(dāng)a≠0時,原不等式化為a(x－1)(x－)＜0i.若a＜0,則化為(x－1)(x－)＞0x＞1或x＜ii.若a＞0,則化為(x－1)(x－)＜0a).a＞1時,＜1＜x＜1b).a=1時,=1解是空集c).0＜a＜1時,＞11＜x＜由上看出,分類討論三原則,同一性、互斥性、層次性中,同一性要求分類不遺漏,互斥性則使分類不重復(fù),二者是分類劃分的基本原則,而層次性是在解決某些問題時,按同一標(biāo)準(zhǔn)一次分類,尚不能完全達(dá)到目的,而要求再次分類時必須掌握的原則,層次性是在同一性、互斥性的基礎(chǔ)上的分類原則.分類討論的步驟同一性、互斥性、層次性三原則僅僅保證合理分類,是分類討論中的核心步驟,解題中,分類討論一般分為四步：確定討論的對象以及討論對象的取值范圍；正確選擇分類標(biāo)準(zhǔn),合理分類；逐類、逐段分類討論；歸納并做出結(jié)論.下面從一個具體的例子出發(fā)來分析分類討論的四個步驟.例5：設(shè)kR,問方程(8－k)x2+(k－4)y2=(8－k)(k－4)表示什么曲線？分析：第一步,確定討論對象及其范圍.因?yàn)榉匠滔禂?shù)中含有參數(shù)k,所以將k視為研究對象,k的取值范圍是全體實(shí)數(shù)R.第二步,選擇正確分類標(biāo)準(zhǔn),合理分類.當(dāng)k≠4且k≠8時,方程可變形為,(k－4)與(8－k)的正負(fù)會引起曲線有不同的類型,故“4”和“8”是一個分界點(diǎn),而k－4=8－k與k－4＞0,8－k＞0,但k－4≠8－k所表示的曲線也是不一樣的,因此,“6”也是一個分界點(diǎn),所以對k進(jìn)行正確的分類應(yīng)為：(﹣∞,4)，4，(4,6)，6，(6,8)，8，(8,﹢∞)第三步,逐類、逐段分類討論(1)k=4時,方程變?yōu)?x2=0,即x=0表示直線(2)k=8時,方程變?yōu)?y2=0,即y=0表示直線(3)k≠4且k≠8時,原方程化為i.當(dāng)k＜4時表示雙曲線ii.當(dāng)4＜k＜6時表示橢圓iii.當(dāng)k=6時表示圓iv.當(dāng)6＜k＜8時表示橢圓v.當(dāng)k＞8時表示雙曲線第四步,歸納并做出結(jié)論當(dāng)k＜4或k＞8時,方程表示雙曲線當(dāng)4＜k＜6或6＜k＜8,方程表示橢圓當(dāng)k=4或k=8時,方程表示直線當(dāng)k=6時,方程表示圓通過上例分析,我們可以看出,分類討論第一要明確為什么要分類討論,第二要形成分類討論的意識,第二要學(xué)會如何合理分類并正確進(jìn)行討論,第四要掌握分類討論的嚴(yán)密性和表達(dá)的正確性.引起分類討論的七種環(huán)境并非所有的數(shù)學(xué)問題都需要進(jìn)行分類討論,但若涉及到以下七種情況,常常需要進(jìn)行分類討論使問題簡單化.概念分段定義例6：求函數(shù)的值域.分析：這個問題出現(xiàn)絕對值,而絕對值是分段定義的概念,因此需要根據(jù)實(shí)數(shù)絕對值定義分類討論,而此題涉及到三角函數(shù)值的正負(fù),即將x分為四個象限：當(dāng)x在第一象限時,y=4；當(dāng)x在第二象限時,y=﹣2；當(dāng)x在第三象限時,y=0；當(dāng)x在第四象限時,y=﹣2；所以值域是像絕對值這樣分段定義的概念,在中學(xué)數(shù)學(xué)中還有直線的斜率、復(fù)數(shù)的輻角主值等,當(dāng)這些概念出現(xiàn)時,一般要進(jìn)行分類討論.公式分段表達(dá)在解決數(shù)學(xué)問題時,常常要用到數(shù)學(xué)公式,若該公式是分段表達(dá)的,那么在應(yīng)用到這些公式時,需分類討論,常見的分段表達(dá)的公式有：(1)a,bR+(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)；a,bR﹣(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)；na1q=1(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=q≠1(3)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式;(4)一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解：當(dāng)Δ＜0時,x;當(dāng)Δ=0時,且x;當(dāng)Δ＞0時,x＞,x＜；(5)三角函數(shù)中的半角公式等.實(shí)施某些運(yùn)算引起分類討論在解決數(shù)學(xué)問題時,不論是化簡、求值還是論證,常常要進(jìn)行運(yùn)算,若在不同條件下實(shí)施這些運(yùn)算時會得到不同結(jié)果時,會引起分類討論.例7：解關(guān)于x的不等式：．㏒a(2x)＞．㏒a(x+1)(其中,n常數(shù)a＞0且a≠1)分析：由于不等式兩邊都有相同的因式,我們在不等式兩邊同除以這個式子,而當(dāng)n為奇數(shù)時,其為正,當(dāng)n為偶數(shù)時其為負(fù),從而影響了不等式中不等號的方向,因此須對n進(jìn)行分類討論：當(dāng)n為奇數(shù)時,因?yàn)椋?,所以㏒a(2x)＞㏒a(x+1).又2x＞0因?yàn)閍＞0且a≠1,所以當(dāng)a＞1時,x+1＞0＞12x＞x+12x＞0當(dāng)1＞a＞0時,x+1＞00＜x＜12x＜x+1當(dāng)n為偶數(shù)時,因?yàn)椋?,所以㏒a(2x)＜㏒a(x+1).又因?yàn)?x＞0a＞0且a≠1,所以當(dāng)a＞1時,x+1＞00＜x＜12x＜x+12x＞0當(dāng)1＞a＞0時,x+1＞0＞12x＞x+1圖形位置不確定如果圖形的位置不確定,常常會引起分類討論,因此,如果圖形可能處于不同位置并且影響問題的結(jié)果時,首先要有分類討論的意識,其次要全面考察,分析各種可能的位置關(guān)系,然后合理分類討論,防止漏解.例8：已知圓A：x2+(y－2)2=1,動圓P與圓A相切并且x軸相切,求圓P的圓心P的軌跡方程,并指明表示何種曲線？分析：由于動圓P與定圓A相切,因此它們之間位置不確定：可能外切,可能內(nèi)切,引起分類討論：如圖a,當(dāng)圓P與圓A外切且切于點(diǎn)B時,作PC⊥x軸,因?yàn)閳AP與x軸相切,令P(y＞0),則所以y=如圖b,當(dāng)圓P與圓A內(nèi)切且切于點(diǎn)B時,作PC⊥x軸所以所以y=綜合(1)(2)得,點(diǎn)P的軌跡為拋物線x2=6y－3及x2=2y－3圖形的形狀不同當(dāng)圖形的形狀不確定時,要對各種可能出現(xiàn)的形狀進(jìn)行分析討論.例9：求圓錐曲線的焦距(其中m≠0,m≠1)分析：因?yàn)榉匠谈鶕?jù)m的正負(fù),形狀不一樣,所以需對m進(jìn)行討論.當(dāng)m＜0時,方程表示雙曲線：,a2=m2,b2=﹣m,所以,焦距為2(2)當(dāng)m＞0且m≠1時,方程表示橢圓,若,則因?yàn)閙2＜m,所以a2=m,b2=m2,所以焦距為2；若m,則因?yàn)閙2＞m,所以a2=m2,b2=m,所以,焦距為2字母系數(shù)參與引起分類討論字母系數(shù)的出現(xiàn),常常會使問題出現(xiàn)多種不同情況影響了問題結(jié)果,從而引起分類討論.例10：函數(shù)的最大值是6,最小值是﹣2,求a,b的值.分析：因?yàn)楹瘮?shù)表達(dá)式中出現(xiàn)字母,所以分類討論,而函數(shù)可變形為,即要對a進(jìn)行分類.當(dāng)a＞0時,,當(dāng)a＜0時,,條件不唯一引起分類討論由于條件不唯一,可能引起方程類型不確定,曲線種類不確定,位置關(guān)系不確定,形狀不確定等出現(xiàn),需要對不同情況合理分類,正確討論.例11：求一元二次方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實(shí)根的充分必要條件.分析：設(shè)二次函數(shù),由于a可正、可負(fù),因此它的圖像開口可能向上,可能向下,需對a分類討論.當(dāng)a＞0時,函數(shù)圖像是開口向上的拋物線(如圖c),它與x軸的兩個交點(diǎn)在(,0)與(,0)之間的充要條件是：＞0yf(x1)＞0f(x2)＞0x2＞＞x1 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