第13章 全等三角形 綜合檢測

第13章全等三角形綜合檢測(滿分100分，限時(shí)60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共30分)1.(2023山東青島五十三中期末)下列語句屬于命題的是()A.你今天打卡了嗎?B.請戴好口罩!C.畫出兩條相等的線段D.同位角相等2.如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠D=∠C，添加下列哪個(gè)條件后，仍無法證明△ADO≌△BCO()A.AD=BCB.AC=BDC.OD=OCD.∠ABD=∠BAC3.(2023海南東方期末)下列命題中是假命題的是()A.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行B.若直線a⊥b，則a與b的夾角為直角C.如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角D.若a∥b，a⊥c，則b⊥c4.如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm5.(2022廣西百色中考)如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定成立的是()A.∠B=45°B.AE=EBC.AC=BCD.AB⊥CD6.如圖，E是∠AOB的平分線上的一點(diǎn)，EC⊥OA于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D，連結(jié)CD，若∠ECD=25°，則∠AOB=()A.50°B.45°C.40°D.25°7.(2022四川南充期末)如圖，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，且AC=CE，∠B=∠D=90°，AC⊥CD，下列結(jié)論不一定成立的是()A.∠A=∠2B.∠A+∠E=90°C.BC=DED.∠BCD=∠ACE8.(2023山東泰安泰山期末)如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是()A.AF=BFB.∠AFD+∠FBC=90°C.DF⊥ABD.∠BAF=∠CAF9.如圖，已知點(diǎn)P是射線OD上一動(dòng)點(diǎn)(不與O重合)，∠AOD=30°，當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí)，∠A的度數(shù)為()A.120°B.30°或75°C.30°或75°或120°D.120°或75°或45°或30°10.如圖，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，……，若∠A=70°，則∠An-1AnBn-1的度數(shù)為()A.70°2n-1B.70二、填空題(每小題3分，共24分)11.命題“若a=2，則a=4”的逆命題是.12.將一條長為24cm的細(xì)線圍成一邊長為9cm的等腰三角形，則該等腰三角形的腰長為.13.(2023北師大附中月考)如圖，已知∠1=∠2，請你添加一個(gè)條件，使得△ABD≌△ACD，添加的條件可以為.(添加一個(gè)即可)14.(2023福建泉州永春五中期中)如圖，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB于點(diǎn)D，BD=BC，若AC=10cm，則AE+DE=.15.(2022山東濰坊昌樂期中)如圖，△ABC中，∠B=32°，∠BCA=78°，根據(jù)尺規(guī)作圖的作圖痕跡，得∠α=.

16.(2022北京海淀外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)如圖所示的是由6個(gè)邊長相等的正方形組成的圖形，∠1+∠2+∠3=.

17.(2022福建福州延安中學(xué)期中)如圖，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等.

18.(2023吉林長春吉大附中月考)如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，且AD=6，E是AC邊的中點(diǎn)，M是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是.

三、解答題(共46分)19.(2023北師大附中月考)(6分)馬小虎在整理八年級(jí)的數(shù)學(xué)資料時(shí)，找到了一張殘缺的試卷，剩下的部分如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)△ABC只留下一條完整的邊BC和一個(gè)完整的角∠B，請你幫助他還原△ABC.要求在圖2中尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，保留作法.圖1圖220.(2023吉林長春南關(guān)期末)(6分)如圖，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.(1)求證：△BED是等腰三角形；(2)若∠A=36°，直接寫出圖中所有頂角是銳角的等腰三角形.21.(6分)如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上.(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)當(dāng)AD∥EC時(shí)，直接寫出α的度數(shù).22.(2023吉林長春一零八學(xué)校期中)(8分)如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上的一點(diǎn)，AC=9，AB=5，PB=3，求PC長的取值范圍.23.(2022山西太原期末)(9分)如圖，直線l與m分別是△ABC的邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.(1)若AB=10，則△CDE的周長是多少?為什么?(2)若∠ACB=125°，求∠DCE的度數(shù).24.(11分)(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，AC=BC，D、E分別在AC、BC上，若CD=CE，則△CDE和△CAB是頂角相等的等腰三角形，連結(jié)AE、BD，則∠AEB、∠C、∠CAE之間的數(shù)量關(guān)系是，AD與BE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)【類比探究】如圖②，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連結(jié)BE.試求∠AEB的度數(shù)及AD與BE的數(shù)量關(guān)系；(3)【拓展延伸】如圖③，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連結(jié)BE.請猜想∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)【解決問題】在(3)的條件下，若BE=4，CM=3，求四邊形ABEC的面積.圖①圖②圖③

第13章全等三角形綜合檢測答案全解全析一、選擇題1.DA是疑問句，未作出判斷，不是命題；B是祈使句，未作出判斷，不是命題；C是描述性語句，未作出判斷，不是命題；D符合命題的概念，故本選項(xiàng)正確.故選D.2.B添加AD=BC，根據(jù)A.A.S.可證明△ADO≌△BCO；添加AC=BD，不能證明△ADO≌△BCO；添加OD=OC，根據(jù)A.S.A.可證明△ADO≌△BCO；添加∠ABD=∠BAC，得OA=OB，根據(jù)A.A.S.可證明△ADO≌△BCO.故選B.3.C如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角可能都為90°，所以C選項(xiàng)中命題為假命題.故選C.4.B∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，∴EC=DE，∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故選B.5.A由作圖痕跡得直線CD是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，AC=BC，AB⊥CD.故B、C、D選項(xiàng)中的結(jié)論成立.無法得到∠B=45°，故A選項(xiàng)中的結(jié)論不一定成立.故選A.6.A∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD=25°，∵∠ODE=∠OCE=90°，∴∠ODC=∠OCD=65°，∴∠AOB=180°-∠ODC-∠OCD=50°，故選A.7.D∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠2=∠A，故A中結(jié)論成立.在△ABC和△CDE中，∠B=∠D,∴△ABC≌△CDE(A.A.S.)，∴BC=DE，∠1=∠E，∵∠2+∠E=90°，∴∠A+∠E=90°，故B，C中結(jié)論成立.無法得到∠BCD=∠ACE，故D中結(jié)論不一定成立.故選D.8.D由作圖痕跡可知DF垂直平分線段AB，BE平分∠ABC，∴FA=FB，DF⊥AB，∠FBC=∠FBD，∴∠AFD=∠BFD，∵∠FBD+∠BFD=90°，∴∠AFD+∠FBC=90°，故選項(xiàng)A，B，C中說法正確，由已知條件無法得到∠BAF=∠CAF，故選項(xiàng)D中說法不一定正確.故選D.9.C解決此題時(shí)易因沒有考慮等腰三角形腰的情況而漏解.分三種情況：①當(dāng)OA=OP時(shí)，∠A=∠OPA=12(180°-∠O)=12②當(dāng)AO=AP時(shí)，∠APO=∠O=30°，∴∠A=180°-∠O-∠APO=120°；③當(dāng)PO=PA時(shí)，∠A=∠O=30°.綜上所述，當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí)，∠A=30°或75°或120°.故選C.10.A∵∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=∠A=70°，∵A1A2=A1B1，∴∠B1A2A1=∠A1B1A2，∵∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1=∠BA同理可得∠B2A3A2=12∠B1A2A1=70°22，∠B3A4A3=12∠B2A3A2∴∠An-1AnBn-1=70°2故選A.二、填空題11.答案若a=4，則a=2解析將原命題的條件、結(jié)論互換位置即可.12.答案9cm或7.5cm解析分兩種情況：當(dāng)9cm為等腰三角形的腰長時(shí)，底邊長=24-9×2=6cm，∴三角形的三邊長分別為9cm，9cm，6cm，能組成三角形；當(dāng)9cm為等腰三角形的底邊長時(shí)，腰長=12×(24-9)=7.5cm∴三角形的三邊長分別為7.5cm，7.5cm，9cm，能組成三角形.綜上所述，該等腰三角形的腰長為9cm或7.5cm.13.答案AB=AC(答案不唯一)解析添加AB=AC，在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(S.A.S.).(答案不唯一)14.答案10cm解析∵DE⊥AB于點(diǎn)D，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，BE=BE,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(H.L.)，∴ED=CE，∴AE+DE=AE+CE=AC=10cm.15.答案81°解析∵∠B=32°，∠BCA=78°，∴∠BAC=70°，由作圖痕跡可知，AD是∠BAC的平分線，直線EF是線段BC的垂直平分線，∴∠CAD=12∠BAC=35°，BF=CF∴∠BCF=∠B=32°，∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=46°，∴∠α=∠CAD+∠ACF=81°.16.答案135°解析如圖，根據(jù)題意得DE=BC，EC=AB，GF=GC，∠DEC=∠ABC=∠FGC=90°，∴△CGF為等腰直角三角形，∴∠2=45°，在△ABC和△CED中，AB=CE,∴△ABC≌△CED(S.A.S.)，∴∠1=∠DCE，∵∠DCE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.17.答案3cm/s或154解析設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，則BP=3tcm，CQ=xtcm，∴PC=(8-3t)cm，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5cm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴當(dāng)BD=CP，BP=CQ時(shí)，△BDP≌△CPQ，即5=8-3t，3t=xt，解得t=1，x=3；當(dāng)BD=CQ，BP=CP時(shí)，△BDP≌△CQP，即5=xt，3t=8-3t，解得t=43綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s或15418.答案6解析∵三角形ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∴直線AD是線段BC的垂直平分線，連結(jié)BM，如圖所示，則BM=CM，∴EM+CM=EM+BM，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，當(dāng)B，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+BM的值最小，為BE的長.∵E是AC的中點(diǎn)，∴BE是等邊三角形ABC的邊AC上的高，∴BE=AD=6，∴EM+BM的最小值為6，即EM+CM的最小值是6.三、解答題19.解析分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于12BC長為半徑畫圓弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，連結(jié)這兩個(gè)點(diǎn)，交∠B的邊(非BC所在的邊)于一點(diǎn)A，連結(jié)AC，△ABC即為所求，如圖所示20.解析(1)證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴EB=ED，∴△BED是等腰三角形.(2)△ABC，△BDC，△AED是頂角為銳角的等腰三角形.理由：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=72°∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=72°，∠ADE=∠C=72°，∴∠AED=∠ADE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△ABC，△BDC，△AED是頂角為銳角的等腰三角形.21.解析(1)證明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠1=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC,∴△ABD≌△ACE(S.A.S.).(2)∠3=∠2+∠1.證明：∵△ABD≌△ACE，∴∠2=∠ABD，∵∠3=∠ABD+∠1，∴∠3=∠2+∠1.(3)∵AD∥EC，∴∠3=∠BEC，∵AD=AE，∴∠3=∠AED，∴∠DAE=180°-2∠3，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=180°-∠3，∴∠BEC=∠AEC-∠AED=180°-2∠3=∠DAE=α，∴∠AED=∠3=∠BEC=∠DAE=α，∵∠3+∠AED+∠DAE=180°，∴3α=180°，∴α=60°.22.解析在AC上截取AE=AB，連結(jié)PE，如圖，∵AC=9，∴CE=AC-AE=AC-AB=9-5=4，∵點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上的一點(diǎn)，∴∠CAD=∠BAD，在△APE和△APB中，AE=AB,∴△APE≌△APB(S.A.S.)，∴PE=PB=3，∵4-3<PC<4+3，∴1<PC<7.23.解析(1)△CDE的周長為10.理由：∵直線l與m分別是△ABC的邊AC和BC的垂直平分線，∴AD=CD，BE=CE，∴△CDE的周長=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10.(2)∵AD=CD，BE=CE，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠ACB=125°，∴∠A+∠B=180°-125°=5