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文檔簡介
第五章三角函數(shù)5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(第一課時)教學(xué)目標(biāo)
能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式(重點(diǎn))01
能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式及正切公式(重點(diǎn))02
掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式03并能靈活運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的化簡、求值.(重點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)科素養(yǎng)
借助正切線作出正切函數(shù)的圖像;
數(shù)學(xué)抽象
直觀想象
兩角和差正余弦公式、二倍角公式的推導(dǎo);邏輯推理
能用公式求值,求角,化簡
數(shù)學(xué)運(yùn)算
數(shù)據(jù)分析
利用兩點(diǎn)間的距離公式得到兩角差的余弦公式;
數(shù)學(xué)建模01知識回顧RetrospectiveKnowledge在坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),如圖,過P1,P2分別作x軸,y軸的垂線交于點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)為(x2,y1),則由勾股定理,可得:所以平面內(nèi)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間距離:xyOP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)∟∟02知識精講
ExquisiteKnowledge
前面我們學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式,利用它們對三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形,可以達(dá)到簡化、求值或證明的目的.
這種利用公式對三角函數(shù)式進(jìn)行的恒等變形就是三角恒等變換.觀察誘導(dǎo)公式,可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角α的和(或差)的三角函數(shù)與這個任意角α的三角函數(shù)的恒等關(guān)系.
如果把特殊角換為任意角β,那么任意角α與β的和(或差)的三角函數(shù)與α,β的三角函數(shù)會有什么關(guān)系呢?
下面來研究這個問題.
α終邊β終邊α-β終邊如圖,設(shè)單位圓于x軸的正半軸相交于點(diǎn)A(1,0),以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α,β,α-β,它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P1(cosα,sinα),A1(cosβ,sinβ),P(cos(α-β),sin(α-β)).下面我們來探究cos(α-β)角α,β的正弦、余弦之間的關(guān)系.不妨令α≠2kπ+β,k∈Z,
如果已知任意角α,β的正弦、余弦,能由此推出α+β,α-β的正弦、余弦嗎?探究
α終邊β終邊α-β終邊A(1,0),P(cos(α-β),sin(α-β)),A1(cosβ,sinβ),P1(cosα,sinα).
連接A1P1,AP.若把扇形OAP繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)β角,則點(diǎn)A,P分別與點(diǎn)A1,P1重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知:AP與A1P1重合,從而AP=A1P1,所以AP=A1P1.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,得:化簡得當(dāng)α=2kπ+β,k∈Z時,容易證明上式仍然成立.
此公式給出了任意角α,β的正弦、余弦與其差角α-β的余弦之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡記作C(α-β).所以,對任意角α,β有(3)公式兩邊符號相反.(1)公式中的α,β是任意角;(2)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):左邊是“兩角差的余弦值”,右邊是“這兩角余弦積與正弦積的和”;公式特征;;【推導(dǎo)】我們以C(α-β)為基礎(chǔ),推導(dǎo)出其他公式.于是得到了兩角和的余弦公式,簡記作C(α+β)
由公式C(α-β)出發(fā),能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎?探究
我們知道,用誘導(dǎo)五(六)可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)C(α-β)、C(α+β)和誘導(dǎo)五(六),推導(dǎo)出用任意角α,β的正弦、余弦表示sin(α+β),sin(α-β)公式嗎?探究于是得到了兩角和與差的正弦公式,分別簡記作S(α+β)、S(α-β)
我們知道,用誘導(dǎo)五(六)可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)C(α-β)、C(α+β)和誘導(dǎo)五(六),推導(dǎo)出用任意角α,β的正弦、余弦表示sin(α+β),sin(α-β)公式嗎?探究兩角和與差的正弦、余弦公式:(異名積,符號同)(同名積,符號反)0
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