5.4.3+正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象課 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第五章三角函數(shù)5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象教學(xué)目標(biāo)

能畫出正切函數(shù)的圖象.（重點）01

掌握正切函數(shù)的奇偶性、周期性.（重點）02

掌握正切函數(shù)的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性解決相應(yīng)的問題.（重點、難點）03

04學(xué)科素養(yǎng)

借助正切線作出正切函數(shù)的圖像;

數(shù)學(xué)抽象

借助數(shù)形結(jié)合的思想，通過正切函數(shù)的圖像研究正切函數(shù)的性質(zhì)

直觀想象

求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;；邏輯推理

利用性質(zhì)求周期、比較大小、最值、值域及判斷奇偶性

數(shù)學(xué)運算

數(shù)據(jù)分析

借助數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖像探究正、余弦函數(shù)的性質(zhì)

數(shù)學(xué)建模01知識回顧RetrospectiveKnowledge函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)函數(shù)圖像周期2π2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)對稱性對稱軸對稱中心單調(diào)性遞增區(qū)間遞減區(qū)間最值點最小值最大值02知識精講

ExquisiteKnowledge

其實研究函數(shù)，也可以從其定義（解析式）出發(fā)研究它的性質(zhì)，再利用性質(zhì)研究其圖象.

根據(jù)研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的經(jīng)驗，我們應(yīng)先作出正切函數(shù)的圖象，通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識，再從代數(shù)的角度對性質(zhì)作出嚴(yán)格表述.（圖象→性質(zhì)）

函數(shù)的解析式確定了函數(shù)的性質(zhì)，但通過函數(shù)的圖象，我們可以更直觀的獲得對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識.

（1）根據(jù)研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的經(jīng)驗，你認(rèn)為應(yīng)該如何研究正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)？

（2）你能用不同的方法研究正切函數(shù)嗎？正切函數(shù)：

由誘導(dǎo)公式可知，由誘導(dǎo)公式可知，表明正切函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.【1】周期性：【2】奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù).根據(jù)正切函數(shù)的周期性，只要研究正切函數(shù)在一個周期，再根據(jù)正切函數(shù)的奇偶性，只要研究正切函數(shù)在半個周期，比如區(qū)間

內(nèi)的圖象與性質(zhì)即可．比如區(qū)間

內(nèi)的圖象與性質(zhì)即可．

你認(rèn)為正切函數(shù)的周期性和奇偶性對研究它的圖象及其他性質(zhì)會有什么幫助？

如圖，設(shè)，在坐標(biāo)系中畫出角x的終邊與單位圓的交點B.過點B作x軸的垂線，垂足為M；過點A(1,0)作x軸的垂線與角x的終邊交于點T，則

由此可見，當(dāng)

時，線段AT的長度就是相應(yīng)角x的正切值．我們可以利用線段AT畫出函數(shù)

的圖象

如何畫出函數(shù)y＝tanx，的圖象呢？探究

觀察圖象可知：當(dāng)

時，隨著x的增大，線段AT的長度也在增大，

相應(yīng)地，函數(shù)的圖象從左向右呈不斷上升趨勢，而且當(dāng)x趨向于

時，AT的長度趨向于無窮大．且向右上方無限逼近直線

，但不會與該直線相交．第一步，因為正切函數(shù)是奇函數(shù)，第二步，根據(jù)正切函數(shù)的周期性，

只要畫函數(shù)

圖象關(guān)于原點的對稱圖形，就可得到

的圖象；

只要把函數(shù)

圖象向左、右平移，每次平移π個單位，就可得到正切函數(shù)

的圖象，我們把它叫做正切曲線.

你能借助以上結(jié)論，并根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，畫出正切函數(shù)的圖象嗎？正切函數(shù)的圖象有怎樣的特征？探究③正切曲線是被與y軸平行的一系列直線所隔開的無數(shù)個形狀相同的曲線組成的.①圖象關(guān)于原點對稱②圖象在x軸上方的部分下凹；在x軸下方的部分上凸.正切函數(shù)的圖象的特征xy0如何做正切函數(shù)的圖象?利用三點:

,兩線:

做畫出一個周期內(nèi)的大致函數(shù)圖象，然后進行左右平移，就可以得到全部的圖象?！?】單調(diào)性：由正切函數(shù)的周期性可知，正切函數(shù)在每一區(qū)間，上都單調(diào)遞增.

觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

xy0【4】值域：觀察正切曲線可知，當(dāng)，時在內(nèi)可以取到任意實數(shù)值,但沒有最大值、最小值.因此正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R.

xy0【5】對稱性：觀察正切曲線可知，正切函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，關(guān)于點對稱.

【例1】不通過求值,比較下列各組中兩個正切函數(shù)值的大?。骸咀ⅰ客缓瘮?shù)的兩函數(shù)值可以利用單調(diào)比較大小，但兩變量的取值必須化在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).【例1】不通過求值,比較下列各組中兩個正切函數(shù)值的大小：【注】同一函數(shù)的兩函數(shù)值可以利用單調(diào)比較大小，但兩變量的取值必須化在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).【例2】求函數(shù)

的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間．所以，函數(shù)的定義域是函數(shù)