數(shù)學(xué)自主廣場(chǎng)：任意角的概念與弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。與—457°終邊相同的角的集合是()A。｛α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C。｛α|α=k·360°+263°，k∈Z}D.｛α|α=k·360°-263°,k∈Z}思路解析：當(dāng)β與α=k·360°+γ，k∈Z的終邊相同時(shí)，β與γ的終邊也相同，則β-γ為360°的整數(shù)倍.—457°—457°=-914°不是360°的整數(shù)倍，故A錯(cuò)；-457°-97°=—554°不是360°的整數(shù)倍，故B錯(cuò);-457°-263°=-720°=（—2）·360°是360°的整數(shù)倍,故C對(duì)；-457°—（-263°）=—194°不是360°的整數(shù)倍，故D錯(cuò).答案:C2.下列說法中，正確的是（)A.第二象限的角是鈍角B。第二象限的角必大于第一象限的角C.—150°的角是第二象限角D.—252°16′、467°44′、1187°44′的角是終邊相同的角思路解析：第二象限的角中，除包含鈍角以外，還包含與鈍角相差k·360°,k∈Z的角，如460°角是第二象限的角但不是鈍角，A錯(cuò)；460°角是第二象限的角，730°角是第一象限角，顯然460°小于730°,B錯(cuò)；C中—150°角應(yīng)為第三象限角.故A、B、C都是錯(cuò)誤的，D中三個(gè)角相差360°的整數(shù)倍，則它們的終邊相同。答案:D3。(2005全國(guó)高考卷Ⅲ，1）已知α為第三象限角，則所在的象限是（)A。第一或第二象限B。第二或第三象限C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限思路解析:不等式法和八卦法均可判斷。答案:D4。角α終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)是P（0，—3）,則角α的集合是___________________.思路解析:角α的終邊是y軸的負(fù)半軸.答案：{α｜α=2kπ+,k∈Z｝5.若α、β滿足—＜α＜β＜,則α—2β的取值范圍是___________________.思路解析：由題意，得—＜α＜，-π＜—2β＜π,∴—＜α-2β＜。答案：(—,）6。已知角α的終邊在如圖1—圖1思路分析：首先寫出終邊在x軸上方最小正角的范圍，再加上k·360°,k∈Z即可.終邊在x軸下方的角的范圍也可以同樣得出。解：終邊在x軸上方最小正角α的范圍是30°≤α≤150°，則終邊在x軸上方角α的范圍是k·360°+30°≤α≤k·360+150°,k∈Z。終邊在x軸下方最小正角α的范圍是210°≤α≤330°，則終邊在x軸下方角α的范圍k·360°+210°≤α≤k·360°+330°.∴角α的范圍是［k·360°+30°,k·360°+150°］∪[k·360°+210°，k·360°+330°]，即［k·180°+30°,k·180°+150°］（k∈Z)。我綜合我發(fā)展7。已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1）π，k∈Z}，B=｛α｜-4≤α≤4｝，則A∩B=__________________.思路解析：求兩個(gè)集合的交集，就是找兩個(gè)集合的公共部分,有效的方法就是數(shù)形結(jié)合，將兩個(gè)集合表示在數(shù)軸上,觀察公共部分。如圖1-圖1答案:｛α|-4≤α≤-π或0≤α≤π｝8.將鐘表上的時(shí)針作為角的始邊,分針作為終邊，那么當(dāng)鐘表上顯示8點(diǎn)5分時(shí)，時(shí)針與分針構(gòu)成的角度是___________________。思路解析:本題應(yīng)從任意角的概念出發(fā)，研究時(shí)針與分針?biāo)鶚?gòu)成的角α,其中有正角、負(fù)角，共有無窮多個(gè)角。要求這無窮多個(gè)角，可先求出在-360°—0°范圍內(nèi)的∠AOB,如圖1—∠AOB=-(×360°×+90°+×360°）=—147.5°。圖1-1-11所以角α可表示為α=k·360°-147。5°(k∈Z)。答案:k·360°—147。5°(k∈Z)9。如圖1—1—12，扇形OAB的面積是4cm思路分析:利用扇形面積和周長(zhǎng)建立弧長(zhǎng)與半徑的方程組求解.應(yīng)當(dāng)注意的是題目中扇形的周長(zhǎng)應(yīng)該包含兩條半徑.圖1-1解：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，由題意，得解之，得∴中心角為α===2。過O作OC⊥AB于C，則C是AB的中點(diǎn).在Rt△OAC中，∠AOC=∠AOB=1.∴AC=2sin1.∴AB=2AC=4sin1,即扇形的中心角為2，弦AB的長(zhǎng)為4sin1.10.一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形，圓弧的半徑為2km，一列火車用每小時(shí)30km的速度通過，10秒間轉(zhuǎn)過幾度？思路分析：利用速度和時(shí)間求出路程,即得圓弧的弧長(zhǎng)，再由弧長(zhǎng)公式可得圓心角的度數(shù).因?yàn)榛疖嚽斑M(jìn)的方向未知,所以將圓心角的大小加上絕對(duì)值.解:∵圓弧半徑為2km=2000m，Vk=30km/h=m/s，10s走過的弧長(zhǎng)為250［］3m，∴|α|===rad≈2。39°，即10秒間轉(zhuǎn)過約2。39°.11.如圖1—1-13,已知一長(zhǎng)為圖1思路分析：點(diǎn)A首先以B為圓心，以2為半徑旋轉(zhuǎn)達(dá)到A1的位置；再以C為圓心，以1為半徑旋轉(zhuǎn)到A2的位置；然后以A2為圓心，2為半徑旋轉(zhuǎn),最后以D為圓心，以為半徑轉(zhuǎn)過到達(dá)A3.A點(diǎn)走過的路程將包括三段弧.解：由題意，得所對(duì)的圓的半徑為2，圓心角為，則弧長(zhǎng)l1=2×=π，扇形面積S1=××22=π.A1A2所對(duì)的圓半徑是1，圓心角是，則弧長(zhǎng)l2=1×