查補(bǔ)培優(yōu)沖刺04 二次函數(shù)與幾何的綜合壓軸（原卷版）

查補(bǔ)培優(yōu)沖刺04.二次函數(shù)與幾何的綜合壓軸題型一：二次函數(shù)與角度問題題型二：二次函數(shù)與相似（全等）題型三：二次函數(shù)與特殊三角形題型四：二次函數(shù)與特殊四邊形題型五：二次函數(shù)與定值、定點(diǎn)題型六：二次函數(shù)與幾何最值（范圍）題型七：二次函數(shù)與新定義幾何圖形題型一：二次函數(shù)與角度問題1.二次函數(shù)與角度綜合問題，常見類型：

1）特殊角問題：（1）利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關(guān)系；（2）

遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形。2）角的數(shù)量關(guān)系問題（1）等角問題：基于動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造某個(gè)角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)或構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)來解決；（2）倍角問題：基于動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造某個(gè)角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對稱、輔助圓等知識來解答；（3）角的和差問題：角度和為90度、45度等。例1．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．變式1．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸分別交于點(diǎn)A，B．連接，點(diǎn)D是線段上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段上，連接，若，求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的最大值．

變式2．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點(diǎn)P，使得，請結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出m的取值范圍．題型二：二次函數(shù)與相似（全等）相似三角形存在性問題：（1）若兩個(gè)相似三角形對應(yīng)關(guān)系已知，則根據(jù)對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角關(guān)系；①設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)；②表示線段長（或點(diǎn)坐標(biāo)）；③列比例關(guān)系式求解；④將點(diǎn)坐標(biāo)代入到滿足的函數(shù)關(guān)系中求解；（2）若兩個(gè)相似三角形對應(yīng)關(guān)系末知，則需根據(jù)已知三角形分類討論三角形的對應(yīng)邊關(guān)系，再由（1）中的步驟求解即可。全等三角形存在性問題：（1）若兩個(gè)全等三角形對應(yīng)關(guān)系已知，則根據(jù)對應(yīng)邊關(guān)系；①若三角形的邊長可以計(jì)算出來，則根據(jù)全等關(guān)系直接列式；②若已知三角形的頂點(diǎn)在拋物線上，并且可以表示出來，則將此頂點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中列式。（2）若兩個(gè)全等三角形對應(yīng)關(guān)系未知，則需根據(jù)已知分類討論兩個(gè)三角形的對應(yīng)全等關(guān)系，再由（1）中的方法求解即可。例1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為，，其中（），且，與軸的交點(diǎn)為，直線軸，在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線軸，與拋物線、直線的交點(diǎn)分別為．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請說明理由．變式1．（23-24九年級·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在第一象限內(nèi)作與軸的夾角為的射線，在射線上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．在拋物線上取一點(diǎn)，在軸上取一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是．

題型三：二次函數(shù)與特殊三角形1）等腰三角形存在性問題處理技巧：需注意分類討論思想的應(yīng)用，找準(zhǔn)頂確與底角分類討論的關(guān)鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質(zhì)來轉(zhuǎn)化已知條件是常用的處理手段。2）直角三角形存在性問題處理技巧：需注意分類討論思想的應(yīng)用，找準(zhǔn)直角頂點(diǎn)是分類討論的關(guān)鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補(bǔ)等性質(zhì)來轉(zhuǎn)化已知條件是常用的處理手段。例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

變式1．（2021·江蘇宿遷·中考真題）如圖，拋物線與軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在PA的延長線上，當(dāng)∠CAQ=∠CBA45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作軸的垂線交BC于點(diǎn)H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時(shí)，求線段PH的長．變式2．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），它的對稱軸l與圖象交于點(diǎn)P，直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為(1)請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)若為直角三角形，設(shè)直線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為Q．①求a、c的值與點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②若M為直線l上的點(diǎn)，且以M、B、Q為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，請直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

題型四：二次函數(shù)與特殊四邊形1）平行四邊形存在性問題處理技巧：（平移或中點(diǎn)思想）關(guān)鍵：對角線互相平分，即對角線中點(diǎn)重合→中點(diǎn)公式。①當(dāng)AB為對角線：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD；②當(dāng)AC為對角線：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD；③當(dāng)AD為對角線：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。2）菱形存在性問題處理技巧：先用中點(diǎn)公式證平行四邊形，再構(gòu)造等腰三角形，即鄰邊相等的點(diǎn)。3）矩形存在性問題處理技巧：先用中點(diǎn)公式證平行四邊形，再構(gòu)造證直角三角形，即鄰邊垂直的點(diǎn)。4）正方形存在性問題處理技巧：先用中點(diǎn)公式證平行四邊形，再構(gòu)造證等腰直角三角形的點(diǎn)。注意：“四邊形ABCD是....”和“以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是....”的區(qū)別，前者順序已定，后者可以隨機(jī)順序，需進(jìn)一步討論。例1．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個(gè)簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會(huì)用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關(guān)思想，解答下列問題．材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解題策略，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)多，它能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)準(zhǔn)．請閱讀上述材料，完成題目：如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)點(diǎn)是拋物線對稱軸與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．變式1．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段上，過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E．(1)，；(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)已知拋物線上點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)構(gòu)造，使點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，為的中點(diǎn)，求的最小值；(3)為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型五：二次函數(shù)與定值、定點(diǎn)1.直線過定點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用字母表示出直線的解析式，再分離變量，得到定點(diǎn)坐標(biāo)或直線的橫（縱）坐標(biāo)為定值。2.線段比值為定值、線段乘積為定值、線段和差為定值：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用字母表示出線段的長，尋找等量關(guān)系，在恒等變換中消去字母，得到定值。3.線段倒數(shù)和為定值：一種是與角平分線有關(guān)的純幾何問題，此時(shí)可通過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用面積法用兩種方式表示出三角形的面積，再通過恒等變換得到倒數(shù)和為定值，另一種是與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的代數(shù)問題（直線過交點(diǎn)），先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用字母表示出線段的長，利用根與系數(shù)的關(guān)系及恒等變換消去字母，得到定值。例1．（2024·湖北武漢·三模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．其中，．(1)直接寫出該拋物線的解析式；(2)如圖，在第三象限內(nèi)拋物線上找點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，過拋物線對稱軸上點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)．若是一個(gè)定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．變式1．（2024·江蘇無錫·一模）如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，作垂直x軸于點(diǎn)C．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)．已知直線，與x軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．變式2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．(1)當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．題型六：二次函數(shù)與幾何最值（范圍）二次函數(shù)的幾何最值1（代數(shù)法）：引入新的變量，將所求的長度、面積、坐標(biāo)等用新的變量表示出來，再運(yùn)用二次函數(shù)的最值解決即可。二次函數(shù)的幾何最值2（幾何法）：將我們要求的線段、多線段和差的最值問題轉(zhuǎn)化為基本的幾何模型（將軍飲馬、胡不歸、費(fèi)馬點(diǎn)、阿氏圓、瓜豆原理等）進(jìn)行解決即可。例1．（2024·江蘇淮安·二模）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)分別在線段上，連接與交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)，的坐標(biāo)；(2)隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．變式1．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，已知拋物線，點(diǎn)，在此函數(shù)圖象上，動(dòng)點(diǎn)P位于點(diǎn)O、B之間的拋物線上（不與點(diǎn)O，B重合），過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q．(1)如圖1，求該二次函數(shù)的解析式；(2)尺規(guī)作圖：當(dāng)最大時(shí)，在圖2中作出此時(shí)的點(diǎn)P；(3)如圖3，連接OB，交直線AP于點(diǎn)M，直接寫出的最大值．題型七：二次函數(shù)與新定義幾何圖形所謂的“新定義”型問題是指給出一個(gè)學(xué)生未學(xué)過的新規(guī)定，要求學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，將陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，將非常規(guī)的問題轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題，從而解決問題。很好的鍛煉了學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)歸納、類比遷移、轉(zhuǎn)化等綜合創(chuàng)新能力，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。例1．（2024.成都市?？计谥校鹃喿x理解】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，直線與拋物線分別相交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)，若記，則稱是直線與拋物線的“截積”．【遷移應(yīng)用】根據(jù)以上定義，解答下列問題：如圖，若直線的函數(shù)表達(dá)式為．（1）若拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，分別求出點(diǎn)，的坐標(biāo)及的值；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)作直線的平行線，現(xiàn)將拋物線進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線的頂點(diǎn)落在直線上，試探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，若，，且點(diǎn)在點(diǎn)的下方，求的值．變式1．（2024重慶中考模擬預(yù)測）如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，拋物線的頂點(diǎn)為．（1）求的值及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，記拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖，求拋物線的表達(dá)式；（3）如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點(diǎn)，，，中任取兩點(diǎn)，若以取出的三點(diǎn)為頂點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數(shù)”．當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．課后訓(xùn)練1.（2022·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點(diǎn)A（1，0），圖像與y軸交于點(diǎn)B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，求tan∠CDA的值；(3)點(diǎn)C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（23-24九年級上·浙江·階段練習(xí)）中，，，的對邊分別為，，，拋物線交軸于兩點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，其中的坐標(biāo)是．(1)求證：是直角三角形；(2)若，求的值；判斷的三邊長能否取一組適當(dāng)?shù)闹?，使三角形為拋物線的頂點(diǎn)是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方，．

(1)分別求點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)（用含m，n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍．(2)求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m，縱坐標(biāo)n之間的數(shù)量關(guān)系．（用含m的代數(shù)式表示n）(3)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，E，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是，．當(dāng)線段與點(diǎn)B所在的某個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．4．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．5．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖1，二次函數(shù)與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為D，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值是多少？(3)如圖3，連接，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)分別在線段上，連接與交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)線段的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象的對稱軸上時(shí)，的面積為．

7．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．(1)如果四個(gè)點(diǎn)中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個(gè)值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．

8．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過點(diǎn)，且平行于軸，與拋物線交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．

9．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖（2），點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫出的長．10．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、原點(diǎn)和一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像