黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

哈爾濱市第一中學(xué)校2024－2025學(xué)年度上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷出題人：高三備課組 審題人：高三備課組考試時(shí)間：120分鐘 分值：150分第Ⅰ卷選擇題（48分）一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．）1．直線的傾斜角量（）A． B． C． D． 2．若橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦距為6，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D． 3．空間向量在上的投影向量為（）A． B． C． D． 4．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5．設(shè)點(diǎn)，直線，當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)，直線的斜率為（）A． B． C． D． 6．設(shè)直線，點(diǎn)，，為上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．7．如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)為2，四邊形是正方形，，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）C． D． 8．某圓拱橋的拱高為5m，現(xiàn)有寬10m，水面以上的高度為3米的一艘船恰能從橋下通過(guò)，則該拱橋的水面跨度（單位：m）在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（）A． B． C． D． 二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，全部全對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能等于（）A．3 B．4 C．5 D．6 10．下列命題中，正確的是（）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．直線的方向向量，平面的法向是，則C．兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則D．直線的方向向量，平面的法向量，則直線與平面所成角的大小為11．已知兩圓方程為與則下列說(shuō)法正確的是（）A．若兩圓有3條公切線，則B．若兩圓公共弦所在的直線方程為，則C．若兩圓公共弦長(zhǎng)為，則D．若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則第Ⅱ卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示圓，則的取值范圍為_(kāi)_____．13．已知平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在平面外，若的一個(gè)法向量為，則到平面的距離為_(kāi)_____．14．點(diǎn)，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于，的任意一點(diǎn)，若直線，的斜率之積為，則橢圓的離心率為_(kāi)_____．四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．（13分）如圖所示：多面體中，四邊形為菱形，四邊形為直角梯形，且，平面，．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角的正弦值．16．（15分）已知直線和的交點(diǎn)為．（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5，求直線的一般式方程．17．（15分）已知圓過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程．18．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在上，且．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）諾直線與交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求的值．19．（17分）已知橢圓的離心率為，、分別是的上、下頂點(diǎn)，，分別是的左、右頂點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）設(shè)為第一象限內(nèi)上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：．高二期中考試數(shù)學(xué)答案一、單選題題號(hào)12345678答案ABCCABBB二、多選題題號(hào)91011答案BCDACABD二、填空題12．13．14．四、解答題15．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以；底面為菱形，所以；又因?yàn)椋?，平面，所以平面．?）如圖：設(shè)，取CF的中點(diǎn)M，連接OM，則所以平面．故可以以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)闉橹本€DA與平面ACF所成的角，所以，又，所以，，，，，則，．設(shè)平面的法向量為，則．取，則，，，又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的角為，∵，則，∴，即平面與平面所成角的正弦值為．16．【答案】（1）（2）或【詳解】：（1）聯(lián)立，解得，即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線，平行，故設(shè)直線的方程為：，將帶入可得，故直線的方程為：，（2）由題意知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5；則其在坐標(biāo)軸的截距不為0，設(shè)其方程為，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)別為，，則，解得：或，故直線的方程為：或，即或．17．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，得直線AB的斜率為，線段中點(diǎn)所以，直線CD的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，所以半徑，所以圓C的方程為；（2）由恰好平分圓C的圓周，得經(jīng)過(guò)圓心，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則直線MN與直線垂直，且線段MN的中點(diǎn)在上，則有，解得，所以，所以直線CN即為直線，且，直線方程為，即．18．【答案】（1）（2）或【詳解】（1）由題意，設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，即，所以，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)，，由聯(lián)立得，由題意，即，，，顯然直線過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，即，所以，解得或，均滿足，所以或．19．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）依題意，得，則，又，分別為橢圓上下的頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，