專項(xiàng)11-角度計(jì)算的綜合大題-專題訓(xùn)練（培優(yōu)+拔尖）30道

角度計(jì)算的綜合大題-專題訓(xùn)練（培優(yōu)+拔尖）30道【培優(yōu)題】1．（平頂山期末）如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠B＝27°，當(dāng)∠DAE＝度時(shí)，∠ADC＝∠C．2．（長(zhǎng)春期末）如圖，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長(zhǎng)線交OM于點(diǎn)G．解決問(wèn)題：（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，則∠ACG＝；（直接寫出答案）（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度數(shù)．3．（興化市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于點(diǎn)F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度數(shù)；（2）求證：∠CEF＝∠CFE．4．（海陵區(qū)期末）如圖，CD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度數(shù)；（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度數(shù)．5．（寬城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，∠AEB＝∠ABC．（1）如圖1，作∠BAC的平分線交CB、BE于D、F兩點(diǎn)．求證：∠EFD＝∠ADC．（2）如圖2，作△ABC的外角∠BAG的平分線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BE、DA交于點(diǎn)F，試探究（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（鎮(zhèn)江期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A'的位置，且A'與點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)，折痕為DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度數(shù)；（2）若保持△A′DE的一邊與BC平行，求∠ADE的度數(shù)．7．（常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)A作直線GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．（1）求△ABC的外角∠CAF的度數(shù)；（2）求∠DAE的度數(shù)．8．（紅橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，角平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．9．（涪城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）證明：∠BAC＝∠DEF；（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度數(shù)．10．（蘇州期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點(diǎn)F．（1）求證：∠AEF＝∠AFE；（2）G為BC上一點(diǎn)，當(dāng)FE平分∠AFG且∠C＝30°時(shí)，求∠CGF的度數(shù)．11．（恩施市期末）已知：如圖，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）試說(shuō)明：∠ABC＝∠BFD；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度數(shù)．12．（白銀期末）（1）探究：如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）應(yīng)用：如圖2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù)．13．（新蔡縣期末）如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．14．（香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分別為△ABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O．（1）求∠EOF的度數(shù)．（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°時(shí)，求∠DAE的度數(shù)．15．（海陵區(qū)校級(jí)月考）如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，AE⊥BC，垂足為E，CF∥AD．（1）如圖1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度數(shù)；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），則∠CFE＝；（用α、β表示）（3）如圖2，（2）中的結(jié)論還成立么？請(qǐng)說(shuō)明理由．【拔尖題】16．（市北區(qū)期末）閱讀并填空將三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（點(diǎn)P在△ABC內(nèi)），如圖1所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C．我們來(lái)探究：∠ABP與∠ACP是否存在某種數(shù)量關(guān)系．（1）特例探索：若∠A＝50°，則∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）類比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是；（3）變式探索：如圖2所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點(diǎn)P在△ABC外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，則∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是．17．（東?？h期末）如圖1．△ABC的外角平分線BF、CF交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝50°．則∠F的度數(shù)為；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N．若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與a+β滿足的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系．18．（寬城區(qū)期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如圖1，點(diǎn)P在斜邊AB上運(yùn)動(dòng)．①若∠α＝70°，則∠1+∠2＝度．②寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，點(diǎn)P在斜邊AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)（CE＜CD），BE、PD交于點(diǎn)F，試說(shuō)明∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）如圖3，點(diǎn)P在△ABC外運(yùn)動(dòng)（只需研究圖③的情形），直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系．19．（延慶區(qū)期末）在三角形ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，ED∥BC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AB上（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，E，B重合），連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥FD交射線CB于點(diǎn)G．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段BE上，用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點(diǎn)F在線段BE上，求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上時(shí)，依題意，在圖3中補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，不需證明．20．（中山市期末）同學(xué)們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，提出了很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：（1）如圖1，∠α和∠β具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，∠DFC的平分線與∠EGC的平分線相交于點(diǎn)Q，求∠FQG的大??；（3）如圖3，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），連接PF、PG，∠DFP+∠FPG∠EGP21．（禪城區(qū)期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2（∠B＜∠C），試說(shuō)明∠DAE與∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展：如圖3，四邊形ABDC中，AE是∠BAC的角平分線，DA是∠BDC的角平分線，猜想：∠DAE與∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系是否改變．說(shuō)明理由．22．（侯馬市期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說(shuō)明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是；（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是．23．（西城區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點(diǎn)M，MN⊥BC于點(diǎn)N．將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2，∠CMN記為∠3．（1）如圖1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，則∠2＝°，∠3﹣∠1＝°；（2）如圖2，猜想∠3﹣∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代數(shù)式表示∠3﹣∠1的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）24．（福山區(qū)期中）直線在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來(lái)探究一下這些奇妙的圖形吧！【問(wèn)題探究】（1）如圖1，請(qǐng)直接寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）將圖1變形為圖2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請(qǐng)寫出證明過(guò)程；（3）將圖1變形為圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請(qǐng)寫出證明過(guò)程．【變式拓展】（4）將圖3變形為圖4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是．25．（蓬溪縣期末）某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝°，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，則∠R＝°．26．（鄂州期末）探究知：任何一個(gè)三角形都滿足三角形三內(nèi)角和等于180°，我們把這個(gè)結(jié)論稱之為三角形三內(nèi)角和定理．如圖1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，請(qǐng)根據(jù)題目條件，結(jié)合三角形三內(nèi)角和定理，探究下列問(wèn)題：（1）如圖2，在圖1基礎(chǔ)上作：∠BEF=12∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF與DF交于點(diǎn)F，求∠（2）如圖3，在圖1基礎(chǔ)上作：過(guò)B作BG⊥AB，交CD于點(diǎn)F，且∠CDG=34∠CDE，求27．（南昌期中）【問(wèn)題探究】將三角形ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的邊CD上時(shí)，直接寫出∠A與∠1之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部時(shí)，求證：∠1+∠2＝2∠A；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部時(shí)，探索∠1，∠2，∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；【拓展延伸】（4）如圖4，若把四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部點(diǎn)A′、D′的位置，請(qǐng)你探索此時(shí)∠1，∠2，∠A，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說(shuō)明理由．28．（橋西區(qū)期末）請(qǐng)認(rèn)真思考，完成下面的探究過(guò)程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分線，∠B＝60°，∠C＝40°．【解決問(wèn)題】如圖1，若AD⊥BC于點(diǎn)D，求∠DAE的度數(shù)；【變式探究】如圖2，若F為AE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D時(shí)，則∠DFE＝°；【拓展延伸】如圖2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y(tǒng)°，（且∠B＞∠C），若F為線段AE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D時(shí)，試用x，y表示∠DFE的度數(shù)，并說(shuō)明理由．29．（廬江縣期末）如圖1，AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長(zhǎng)線交∠BAE的平分線AF于點(diǎn)G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）30．（崇川區(qū)期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分線，E為邊AC上一點(diǎn)，EF⊥BC，垂足為F，EG平分∠AEF交BC于點(diǎn)G．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，延長(zhǎng)AB、EG交于點(diǎn)M，∠M＝α．①用含α的式子表示∠AEF為；②求證：BD∥ME；（2）如圖2，∠BAC＜90°，延長(zhǎng)DB，EG交于點(diǎn)N，請(qǐng)用等式表示∠A與∠N的數(shù)量關(guān)系，并證明．

角度計(jì)算的綜合大題-專題訓(xùn)練（培優(yōu)+拔尖）30道（解析版）【培優(yōu)題】1．（平頂山期末）如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠B＝27°，當(dāng)∠DAE＝21度時(shí)，∠ADC＝∠C．【解題思路】（1）利用三角形的內(nèi)角和求出∠BAC，再利用內(nèi)角與外角的關(guān)系先求出∠ADC，再求出∠DAE；（2）利用三角形的內(nèi)角和定理及推論，用含∠C的代數(shù)式表示出∠BAC、∠ADC，根據(jù)∠C＝∠ADC得到關(guān)于∠C的方程，先求出∠C，再求出∠DAE的度數(shù)．【解答過(guò)程】解：∵AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，∠（1）∵∠B＝44°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣72°＝64°．∴∠BAD=1∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝44°+32°＝76°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣76°＝24°．（2））∵∠B＝27°，∠C＝∠ADC，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣27°﹣∠C＝153°﹣∠C．∴∠BAD=12×＝76.5°?1∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝27°+76.5°?12＝103.5°?12∠∵∠ADC＝∠C，∴103.5°?12∠C＝∠∴∠ADC＝∠C＝69°．∴∠DAE＝∠AED﹣∠ADC＝90°﹣69°＝21°．故答案為：21．2．（長(zhǎng)春期末）如圖，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長(zhǎng)線交OM于點(diǎn)G．解決問(wèn)題：（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，則∠ACG＝60°；（直接寫出答案）（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度數(shù)．【解題思路】（1）由角平分線的定義可求出∠CBA和∠CAB的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ACG的度數(shù)即可；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OBA+∠OAB的度數(shù)，然后再根據(jù)角平分線的定義求出∠CBA+∠CAB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出結(jié)果即可．【解答過(guò)程】解：（1）∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∵∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，∴∠CBA＝40°，∠CAB＝20°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°．故答案為：60°．（2）∵∠MON＝100°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣100°＝80°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝40°．3．（興化市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于點(diǎn)F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度數(shù)；（2）求證：∠CEF＝∠CFE．【解題思路】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，進(jìn)而得到∠CAB＝∠DCB，根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE＝∠CAE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠CEF＝∠AFD，根據(jù)對(duì)頂角相等證明結(jié)論．【解答過(guò)程】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠DCB＝50°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；（2）證明：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEF＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE．4．（海陵區(qū)期末）如圖，CD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度數(shù)；（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度數(shù)．【解題思路】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC，可得結(jié)論．（2）設(shè)∠A＝x，則∠ACD＝x﹣34°，根據(jù)∠EDB＝∠A+∠AED，構(gòu)建方程求解即可．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝70°﹣45°＝25°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝25°，∵DE∥CB，∴∠EDC＝∠BCD＝25°，∴∠DEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°．（2）設(shè)∠A＝x，則∠ACD＝x﹣34°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2x﹣68°，∵DE∥CB，∴∠AED＝∠ACB＝2x+68°，∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴97°＝x+2x﹣68°，∴x＝55°，∴∠A＝55°．5．（寬城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，∠AEB＝∠ABC．（1）如圖1，作∠BAC的平分線交CB、BE于D、F兩點(diǎn)．求證：∠EFD＝∠ADC．（2）如圖2，作△ABC的外角∠BAG的平分線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BE、DA交于點(diǎn)F，試探究（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAC，再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，進(jìn)而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAG，再根據(jù)等量代換可得∠FAE＝∠BAD，然后再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，進(jìn)而得∠EFD＝∠ADC．【解答過(guò)程】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中結(jié)論仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠FAE＝∠GAD，∴∠FAE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．6．（鎮(zhèn)江期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A'的位置，且A'與點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)，折痕為DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度數(shù)；（2）若保持△A′DE的一邊與BC平行，求∠ADE的度數(shù)．【解題思路】（1）先求出∠B的度數(shù)，在根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠1+∠BFD的度數(shù)，由∠BFD＝∠A′FE和∠A’的度數(shù)可求出答案．（2）分EA'∥BC和DA'∥BC兩種情況討論．當(dāng)DA'∥BC時(shí)，先求出∠A′DA＝90°，再根據(jù)折疊可得出∠ADE＝45°；當(dāng)EA'∥BC時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠2＝∠ABC＝60°，由（1）得出∠1＝120°，再根據(jù)折疊可求出∠ADE的度數(shù)．【解答過(guò)程】解：（1）由折疊可知，∠A′＝∠A＝30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE＝180°，∴∠2＝180°﹣∠A′﹣∠A′FE＝150°﹣∠A′FE，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，在四邊形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD＝360°，∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BFD＝210°﹣∠BFD，∵∠BFD＝∠A′FE，∴∠1﹣∠2＝210°﹣150°＝60°；（2）當(dāng)DA'∥BC時(shí)，如圖，∠A′DA＝∠ACB＝90°，∵△ADE沿DE折疊到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠當(dāng)EA'∥BC時(shí)，如圖，∠2＝∠ABC＝60°．由（1）知，∠1﹣∠2＝60°，∴∠1＝∠2+60°＝120°，∵△ADE沿DE折疊到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠綜上所述∠ADE的度數(shù)為：45°或30°．7．（常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)A作直線GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．（1）求△ABC的外角∠CAF的度數(shù)；（2）求∠DAE的度數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE＝40°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠GAD＝90°，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答過(guò)程】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，∴∠HAC＝∠C＝40°，∵∠FAH＝∠GAB＝60°，∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝100°；（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，∴∠BAC＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°，∵GH∥BC，AD⊥BC，∴∠GAD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．8．（紅橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，角平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大?。窘忸}思路】根據(jù)三角形高線可得∠ADC＝90°，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠DAC的度數(shù)；由三角形的內(nèi)角和可求解∠B的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求出∠BAO和∠ABO的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．【解答過(guò)程】解：∵AD是△ABC的高線，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分別平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于點(diǎn)O，∴∠BAO=12∠BAC＝25°，∠ABO=1∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．9．（涪城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）證明：∠BAC＝∠DEF；（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度數(shù)．【解題思路】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解答過(guò)程】（1）證明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DEF．（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠ABC＝60°．10．（蘇州期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點(diǎn)F．（1）求證：∠AEF＝∠AFE；（2）G為BC上一點(diǎn)，當(dāng)FE平分∠AFG且∠C＝30°時(shí)，求∠CGF的度數(shù)．【解題思路】（1）由角平分線定義得∠ABE＝∠CBE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠AEF＝∠AFE；（2）由角平分線定義得∠AFE＝∠GFE，進(jìn)而得∠AEF＝∠GFE，由平行線的判定得FG∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得結(jié)果．【解答過(guò)程】解：（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．11．（恩施市期末）已知：如圖，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）試說(shuō)明：∠ABC＝∠BFD；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和和互余進(jìn)行分析解答即可．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，∵∠BAD＝∠EBC，∴∠ABC＝∠BFD；（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，∵EG∥AD，∴∠BEG＝∠BFD＝35°，∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．12．（白銀期末）（1）探究：如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）應(yīng)用：如圖2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù)．【解題思路】（1）作射線OA，由三角形外角的性質(zhì)可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）連接AD，由（1）的結(jié)論可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，兩式相加即可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）作射線OA，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）連接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．13．（新蔡縣期末）如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．【解題思路】先利用三角形內(nèi)角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根據(jù)角平分線定義可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度數(shù)；然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性質(zhì)，容易求出∠BOA．【解答過(guò)程】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．14．（香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分別為△ABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O．（1）求∠EOF的度數(shù)．（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°時(shí)，求∠DAE的度數(shù)．【解題思路】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度數(shù)，由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（2）先根據(jù)垂直的定義及三角形內(nèi)角和可得到∠CAD的度數(shù)，再求出∠1的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分線，∴∠EAB=12∠BAC，∠FBA=1∴∠EAB+∠FBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）＝90°∴∠AOB＝180°﹣（90°?12∠C）＝90°+1∵∠C＝40°，∴∠AOB＝110°，∴∠EOF＝∠AOB＝110°．（2）∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD＝50°，∵∠AFB＝80°，∴∠1＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣50°﹣110°＝20°．15．（海陵區(qū)校級(jí)月考）如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，AE⊥BC，垂足為E，CF∥AD．（1）如圖1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度數(shù)；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），則∠CFE＝12β?12α；（用α（3）如圖2，（2）中的結(jié)論還成立么？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）求∠CFE的度數(shù)，求出∠DAE的度數(shù)即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度數(shù)，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度數(shù)即可；（2）由（1）類推得出答案即可；（3）類比以上思路，把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°∴∠BAE＝60°∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠CFE＝∠DAE＝20°；（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣∠∵CF∥AD，∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B?12（180°﹣∠B﹣∠BCA）=12（∠ACB﹣∠B）=故答案為：12β?1（3）（2）中的結(jié)論成立．∵∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC＝90°?12∵CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝90°?12α?∴∠BCF＝β+90°?12α?12β＝90°?∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+12α?∵AE⊥BC，∴∠FEC＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ECF=12β?【拔尖題】16．（市北區(qū)期末）閱讀并填空將三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（點(diǎn)P在△ABC內(nèi)），如圖1所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C．我們來(lái)探究：∠ABP與∠ACP是否存在某種數(shù)量關(guān)系．（1）特例探索：若∠A＝50°，則∠PBC+∠PCB＝90度；∠ABP+∠ACP＝40度；（2）類比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）變式探索：如圖2所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點(diǎn)P在△ABC外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，則∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．【解題思路】（1）利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明．（3）不成立；存在結(jié)論：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，故答案為：90，40；（2）結(jié)論：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．證明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．故答案為：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）結(jié)論：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，理由是：設(shè)AB交PC于O，如圖2：∵∠AOC＝∠POB，∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，故答案為：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．17．（東?？h期末）如圖1．△ABC的外角平分線BF、CF交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝50°．則∠F的度數(shù)為65°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N．若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與a+β滿足的數(shù)量關(guān)系是α+β?12∠A（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系．【解題思路】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠F的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠BFC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系；②分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【解答過(guò)程】解：（1）如圖1，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠DBC﹣∠ECB＝360°﹣130°＝230°，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECD）∴△BCF中∠F＝180°﹣115°＝65°，故答案為65°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECB）=12×（180°+∠A∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°?1又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°?12∠即α+β?12∠故答案為：α+β?12∠（3）①α+β?12∠如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°?12∠∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°?12∠即α+β?12∠②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系不成立，分兩種情況：如圖4，當(dāng)M在線段AB上，N在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°?12∠∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°?12∠A﹣α+即β﹣α?12∠如圖5，當(dāng)M在AB的延長(zhǎng)線上，N在線段AC上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°?12∠∴∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°?12∠A﹣β+即α﹣β?12∠綜上所述，∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系為β﹣α?12∠A＝90°或α﹣β?118．（寬城區(qū)期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如圖1，點(diǎn)P在斜邊AB上運(yùn)動(dòng)．①若∠α＝70°，則∠1+∠2＝160度．②寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，點(diǎn)P在斜邊AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)（CE＜CD），BE、PD交于點(diǎn)F，試說(shuō)明∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）如圖3，點(diǎn)P在△ABC外運(yùn)動(dòng)（只需研究圖③的情形），直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系．【解題思路】（1）①求出∠CEP+∠CDP，可得結(jié)論．②結(jié)論：∠1+∠2＝90°+∠α．連接PC，利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）利用三角形的外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明即可．（3）利用基本結(jié)論∠C+∠3＝∠P+∠4，構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）①∵∠C＝90°，α＝70°，∴∠CEP+∠CDP＝360°﹣（90°+70°）＝200°，∴∠1+∠2＝360°﹣200°＝160°，故答案為：160．②結(jié)論：∠1+∠2＝90°+∠α．理由：如圖1中，連結(jié)CP．∵∠1＝∠DCP+∠CPD，∠2＝∠ECP+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠DCP+∠CPD+∠ECP+∠CPE，∵∠DCP+∠ECP＝∠ACB＝90°，∠CPD+∠CPE＝∠DPE＝∠α，∴∠1+∠2＝90°+∠α．（2）如圖2中，∵∠1＝∠ACB+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠ACB+∠2+∠α．∵∠ACB＝90°，∴∠1＝90°+∠2+∠α．∴∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）結(jié)論：∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．理由：如圖3中，∵∠C+∠3＝∠P+∠4，∠C＝90°，∠P＝α，∴90°+（180°﹣∠2）＝α+（180°﹣∠1），∴∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．19．（延慶區(qū)期末）在三角形ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，ED∥BC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AB上（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，E，B重合），連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥FD交射線CB于點(diǎn)G．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段BE上，用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點(diǎn)F在線段BE上，求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上時(shí)，依題意，在圖3中補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，不需證明．【解題思路】（1）結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．如圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于點(diǎn)H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于點(diǎn)H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．（3）作出圖形，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【解答過(guò)程】（1）解：結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于點(diǎn)H．∵ED∥BC，∴ED∥FH．∴∠EDF＝∠1．∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．（2）證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于點(diǎn)H．∴∠ABC＝∠AFH．∴∠ABC＝∠1+∠3．∴∠3＝∠ABC﹣∠1．∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠BFG+∠3＝90°．∴∠3＝90°﹣∠BFG．∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF．∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°．（3）解：結(jié)論：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：設(shè)DE交FG于J．∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DEJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°20．（中山市期末）同學(xué)們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，提出了很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：（1）如圖1，∠α和∠β具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，∠DFC的平分線與∠EGC的平分線相交于點(diǎn)Q，求∠FQG的大??；（3）如圖3，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），連接PF、PG，∠DFP+∠FPG∠EGP【解題思路】（1）如圖1，延長(zhǎng)AM交EG于M．由題意知：DF∥EG，∠ACB＝90°，故∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．進(jìn)而推斷出∠β+∠α＝90°．（2）如圖2，延長(zhǎng)AC交EG于N．由題意知：DF∥EN，∠ACB＝90°，得∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°，故∠1+∠CGN＝90°．因?yàn)椤螪FC的平分線與∠EGC的平分線相交于點(diǎn)Q，所以∠QFC=12∠DFC=12(180°?∠1)=90°?12∠1，∠GQC＝90°?（3）由題意知：DF∥EG，得∠FOG＝∠EGO，故∠DFP+∠FPG∠EGP【解答過(guò)程】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)AM交EG于M．∠β+∠α＝90°，理由如下：由題意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．∵∠EGB和∠CGM是對(duì)頂角，∴∠β＝∠CGM．∴∠β+∠α＝90°．（2）如圖2，延長(zhǎng)AC交EG于N．由題意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．∴∠1+∠CGN＝90°．∵QF平分∠DFC，∴∠QFC=1同理可得：∠GQC＝90°?1∵四邊形QFCG的內(nèi)角和等于360°．∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝360°﹣（90°?12∠1∴∠FQG＝135°．（3）如圖3，由題意知：DF∥EG．∴∠FOG＝∠EGO．∴∠DFP+∠FPG∠EGP∴∠DFP+∠FPG∠EGP21．（禪城區(qū)期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2（∠B＜∠C），試說(shuō)明∠DAE與∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展：如圖3，四邊形ABDC中，AE是∠BAC的角平分線，DA是∠BDC的角平分線，猜想：∠DAE與∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系是否改變．說(shuō)明理由．【解題思路】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分線的定義可得∠CAD的度數(shù)，利用三角形的高線可求∠CAE得度數(shù)，進(jìn)而求解即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）連接BC交AD于F，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BC于N，根據(jù)角平分線的定義得到∠EAM=12（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠CBD），求得∠【解答過(guò)程】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD=12∠∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD=12∠∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE=12∠BAC﹣（90°﹣∠C）=12（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C=12即∠DAE=12∠C?1（3）不變，理由：連接BC交AD于F，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BC于N，∵AE是∠BAC的角平分線，AM是高，∴∠EAM=12（∠ACB﹣∠同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，∴∠MAD＝∠ADN，∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN=12（∠ACB﹣∠ABC）+12（∠BCD﹣∠CBD）=122．（侯馬市期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說(shuō)明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是∠P＝90°+12（∠B+∠D（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是∠P＝180°?12（∠B+∠D【解題思路】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得證；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出整理即可得解；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出等式并整理即可得解；（4）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）∵AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的結(jié)論得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P＝26°．（3）∵直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+12（∠B+∠故答案為：∠P＝90°+12（∠B+∠（4）∵直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，在四邊形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，在四邊形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°?12（∠B+∠故答案為：∠P＝180°?12（∠B+∠23．（西城區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點(diǎn)M，MN⊥BC于點(diǎn)N．將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2，∠CMN記為∠3．（1）如圖1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，則∠2＝20°，∠3﹣∠1＝55°；（2）如圖2，猜想∠3﹣∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代數(shù)式表示∠3﹣∠1的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）解：（2）∠3﹣∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系是：∠3﹣∠1=12∠A（3）∠3﹣∠1＝α+β3?【解題思路】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACE＝∠BEC﹣∠A，再根據(jù)角平分線的定義可得∠2＝∠ACE；根據(jù)角平分線的定義求出∠ACB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠3，然后相減即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出∠3，然后表示出∠3﹣∠1＝90°?12∠ACB?12∠（3）在△BCE和△BCD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義用∠A表示出∠1+∠2，然后根據(jù)∠3﹣∠1=12∠【解答過(guò)程】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A＝130°﹣110°＝20°，∵CE平分∠ACE，∴∠2＝∠ACE＝20°，∴∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=12∠ABC∵M(jìn)N⊥BC，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，故答案為：20，55；（2）∠3﹣∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系是：∠3﹣∠1=12∠證明：在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∵M(jìn)N⊥BC于點(diǎn)N，∴∠MNC＝90°，在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，＝90°?12∠ACB?1＝90°?12（∠ACB+∠∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠3﹣∠1＝90°?12（180°﹣∠A）=1故答案為：∠3﹣∠1=12∠（3）∵BD，CE是△ABC的兩條角平分線，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β＝180°，∠2+2∠1+α＝180°，∴∠1+∠2＝120°?α+β∵∠1+∠2=12（∠ACB+∠ABC）=1∴120°?α+β3=整理得，12∠A=∴∠3﹣∠1=α+β故答案為：α+β324．（福山區(qū)期中）直線在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來(lái)探究一下這些奇妙的圖形吧！【問(wèn)題探究】（1）如圖1，請(qǐng)直接寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）將圖1變形為圖2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請(qǐng)寫出證明過(guò)程；（3）將圖1變形為圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請(qǐng)寫出證明過(guò)程．【變式拓展】（4）將圖3變形為圖4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是320°．【解題思路】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°即可求解．（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，即可證明此結(jié)論．（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，即可證明此結(jié)論；（4）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】（1）解：如圖1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，故答案為：180°；（2）證明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°∴將圖①變形成圖②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然為180°；（3）證明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∴將圖①變形成圖③，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E還為180°；（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F＝160°，∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，∴∠A+∠C+∠E＝160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，故答案為：320°．25．（蓬溪縣期末）某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝122°；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝119°，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，則∠R＝29°．【解題思路】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）由角平分線得出∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．由三角形外角的性質(zhì)知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根據(jù)∠EBD=12∠ABD=12（∠（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠QBC與∠QCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）結(jié)合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答過(guò)程】解：（1）∵PB、PC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°?12＝180°?12（180°﹣∠＝180°﹣90°+12＝90°+12＝90°+＝122°．故答案為：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分線，CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=12∠ACB，∠EBD=1∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB∴∠BEC=12∠A（3）結(jié)論：∠BQC＝90°?12∠理由如下：∵∠CBM與∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分別是∠ABC與∠ACB外角的平分線，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，＝180°?12（∠A+∠ACB）?12（∠＝180°?12∠A?12（∠A+∠＝180°?12∠＝90°?12∠（4）由（3）可知，∠BQC＝90°?12∠A＝90°由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°由（2）可知，∠R=12∠故答案為119，29．26．（鄂州期末）探究知：任何一個(gè)三角形都滿足三角形三內(nèi)角和等于180°，我們把這個(gè)結(jié)論稱之為三角形三內(nèi)角和定理．如圖1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，請(qǐng)根據(jù)題目條件，結(jié)合三角形三內(nèi)角和定理，探究下列問(wèn)題：（1）如圖2，在圖1基礎(chǔ)上作：∠BEF=12∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF與DF交于點(diǎn)F，求∠（2）如圖3，在圖1基礎(chǔ)上作：過(guò)B作BG⊥AB，交CD于點(diǎn)F，且∠CDG=34∠CDE，求【解題思路】（1）設(shè)∠BEF＝α，∠CDF＝β，根據(jù)角之間的比例關(guān)系可得∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，進(jìn)而可得∠DEF+∠EDF＝80°，所以可得答案；（2）根據(jù)垂直可得∠CDG＝90°﹣∠G，再根據(jù)∠E+∠CDE＝120°經(jīng)過(guò)整理得3∠E＝4∠G，進(jìn)而可得答案．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠BEF=1∴∠DEF＝2∠BEF，又∵∠CDE＝3∠CDF，∴設(shè)∠BEF＝α，∠CDF＝β，∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，∵∠BED+∠CDE＝120°，∴3α+3β＝120°，∴α+β＝40°，∴2α+2β＝80°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，答：∠EFD的度數(shù)為100°；（2）∵BF⊥AB，∴∠ABG＝90°，∵AB∥CD，∴∠ABG+∠BFC＝180°，∴∠BFC＝∠GFD＝90°，在△GFD中，∠GFD+∠CDG+∠G＝180°，∴∠CDG＝90°﹣∠G，∵∠E+∠CDE＝120°，∠CDG=3∴∠E+43∠CDG=120°，∠E+整理得：3∠E＝4∠G，∴∠G∠E27．（南昌期中）【問(wèn)題探究】將三角形ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的邊CD上時(shí)，直接寫出∠A與∠1之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部時(shí)，求證：∠1+∠2＝2∠A；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部時(shí)，探索∠1，∠2，∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；【拓展延伸】（4）如圖4，若把四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部點(diǎn)A′、D′的位置，請(qǐng)你探索此時(shí)∠1，∠2，∠A，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）運(yùn)用折疊原理及三角形的外角性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）運(yùn)用折疊原理及四邊形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；（3）運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（4）根據(jù)三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）如圖1，∠1＝2∠A．理由如下：由折疊知識(shí)可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如圖2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折疊知識(shí)可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如圖3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠1+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣3