專項11-角度計算的綜合大題-專題訓練（培優(yōu)+拔尖）30道

角度計算的綜合大題-專題訓練（培優(yōu)+拔尖）30道【培優(yōu)題】1．（平頂山期末）如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點D，AE⊥BC于點E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度數；（2）若∠B＝27°，當∠DAE＝度時，∠ADC＝∠C．2．（長春期末）如圖，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．解決問題：（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，則∠ACG＝；（直接寫出答案）（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度數．3．（興化市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于點F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度數；（2）求證：∠CEF＝∠CFE．4．（海陵區(qū)期末）如圖，CD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度數；（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度數．5．（寬城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點E是邊AC上一點，∠AEB＝∠ABC．（1）如圖1，作∠BAC的平分線交CB、BE于D、F兩點．求證：∠EFD＝∠ADC．（2）如圖2，作△ABC的外角∠BAG的平分線，交CB的延長線于點D，延長BE、DA交于點F，試探究（1）中的結論是否成立？請說明理由．6．（鎮(zhèn)江期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點A落在四邊形BCDE的外部A'的位置，且A'與點C在直線AB的異側，折痕為DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度數；（2）若保持△A′DE的一邊與BC平行，求∠ADE的度數．7．（常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，過點A作直線GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．（1）求△ABC的外角∠CAF的度數；（2）求∠DAE的度數．8．（紅橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，角平分線AE，BF相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大?。?．（涪城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）證明：∠BAC＝∠DEF；（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度數．10．（蘇州期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點F．（1）求證：∠AEF＝∠AFE；（2）G為BC上一點，當FE平分∠AFG且∠C＝30°時，求∠CGF的度數．11．（恩施市期末）已知：如圖，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）試說明：∠ABC＝∠BFD；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度數．12．（白銀期末）（1）探究：如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）應用：如圖2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數．13．（新蔡縣期末）如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數．14．（香坊區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分別為△ABC的角平分線，它們相交于點O．（1）求∠EOF的度數．（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°時，求∠DAE的度數．15．（海陵區(qū)校級月考）如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，AE⊥BC，垂足為E，CF∥AD．（1）如圖1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度數；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），則∠CFE＝；（用α、β表示）（3）如圖2，（2）中的結論還成立么？請說明理由．【拔尖題】16．（市北區(qū)期末）閱讀并填空將三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（點P在△ABC內），如圖1所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經過點B和點C．我們來探究：∠ABP與∠ACP是否存在某種數量關系．（1）特例探索：若∠A＝50°，則∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）類比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的關系是；（3）變式探索：如圖2所示，改變三角尺的位置，使點P在△ABC外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經過點B和點C，則∠ABP、∠ACP、∠A的關系是．17．（東?？h期末）如圖1．△ABC的外角平分線BF、CF交于點F．（1）若∠A＝50°．則∠F的度數為；（2）如圖2，過點F作直線MN∥BC，交AB，AC延長線于點M、N．若設∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與a+β滿足的數量關系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點F轉動．①如圖3，當直線MN與線段BC沒有交點時，試探索∠A與α，β之間滿足的數量關系，并說明理由；②當直線MN與線段BC有交點時，試問①中∠A與α，β之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出三者之間滿足的數量關系．18．（寬城區(qū)期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別是邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如圖1，點P在斜邊AB上運動．①若∠α＝70°，則∠1+∠2＝度．②寫出∠α、∠1、∠2之間的關系，并說明理由．（2）如圖2，點P在斜邊AB的延長線上運動（CE＜CD），BE、PD交于點F，試說明∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）如圖3，點P在△ABC外運動（只需研究圖③的情形），直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關系．19．（延慶區(qū)期末）在三角形ABC中，點D在線段AC上，ED∥BC交AB于點E，點F在線段AB上（點F不與點A，E，B重合），連接DF，過點F作FG⊥FD交射線CB于點G．（1）如圖1，點F在線段BE上，用等式表示∠EDF與∠BGF的數量關系，并證明；（2）如圖2，點F在線段BE上，求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（3）當點F在線段AE上時，依題意，在圖3中補全圖形，請直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數量關系，不需證明．20．（中山市期末）同學們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數學活動，提出了很多數學問題，請你解答：（1）如圖1，∠α和∠β具有怎樣的數量關系？請說明理由；（2）如圖2，∠DFC的平分線與∠EGC的平分線相交于點Q，求∠FQG的大小；（3）如圖3，點P是線段AD上的動點（不與A，D重合），連接PF、PG，∠DFP+∠FPG∠EGP21．（禪城區(qū)期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數；（2）如圖2（∠B＜∠C），試說明∠DAE與∠B、∠C的數量關系；（3）拓展：如圖3，四邊形ABDC中，AE是∠BAC的角平分線，DA是∠BDC的角平分線，猜想：∠DAE與∠B、∠C的數量關系是否改變．說明理由．22．（侯馬市期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數．（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數量關系是；（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數量關系是．23．（西城區(qū)校級期末）在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點M，MN⊥BC于點N．將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2，∠CMN記為∠3．（1）如圖1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，則∠2＝°，∠3﹣∠1＝°；（2）如圖2，猜想∠3﹣∠1與∠A的數量關系，并證明你的結論；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代數式表示∠3﹣∠1的度數．（直接寫出結果即可）24．（福山區(qū)期中）直線在同一平面內有平行和相交兩種位置關系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧！【問題探究】（1）如圖1，請直接寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）將圖1變形為圖2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的結果如何？請寫出證明過程；（3）將圖1變形為圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結果如何？請寫出證明過程．【變式拓展】（4）將圖3變形為圖4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數是．25．（蓬溪縣期末）某校七年級數學興趣小組對“三角形內角或外角平分線的夾角與第三個內角的數量關系”進行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，請你寫出∠BQC與∠A的數量關系，并說明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點P，則∠BPC＝°，延長BC至點E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點R，則∠R＝°．26．（鄂州期末）探究知：任何一個三角形都滿足三角形三內角和等于180°，我們把這個結論稱之為三角形三內角和定理．如圖1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，請根據題目條件，結合三角形三內角和定理，探究下列問題：（1）如圖2，在圖1基礎上作：∠BEF=12∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF與DF交于點F，求∠（2）如圖3，在圖1基礎上作：過B作BG⊥AB，交CD于點F，且∠CDG=34∠CDE，求27．（南昌期中）【問題探究】將三角形ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處（1）如圖1，當點A落在四邊形BCDE的邊CD上時，直接寫出∠A與∠1之間的數量關系；（2）如圖2，當點A落在四邊形BCDE的內部時，求證：∠1+∠2＝2∠A；（3）如圖3，當點A落在四邊形BCDE的外部時，探索∠1，∠2，∠A之間的數量關系，并加以證明；【拓展延伸】（4）如圖4，若把四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內部點A′、D′的位置，請你探索此時∠1，∠2，∠A，∠D之間的數量關系，寫出你發(fā)現的結論，并說明理由．28．（橋西區(qū)期末）請認真思考，完成下面的探究過程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分線，∠B＝60°，∠C＝40°．【解決問題】如圖1，若AD⊥BC于點D，求∠DAE的度數；【變式探究】如圖2，若F為AE上一個動點（F不與E重合），且FD⊥BC于點D時，則∠DFE＝°；【拓展延伸】如圖2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y°，（且∠B＞∠C），若F為線段AE上一個動點（F不與E重合），且FD⊥BC于點D時，試用x，y表示∠DFE的度數，并說明理由．29．（廬江縣期末）如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長線交∠BAE的平分線AF于點G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內角和等于180°）30．（崇川區(qū)期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分線，E為邊AC上一點，EF⊥BC，垂足為F，EG平分∠AEF交BC于點G．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，延長AB、EG交于點M，∠M＝α．①用含α的式子表示∠AEF為；②求證：BD∥ME；（2）如圖2，∠BAC＜90°，延長DB，EG交于點N，請用等式表示∠A與∠N的數量關系，并證明．

角度計算的綜合大題-專題訓練（培優(yōu)+拔尖）30道（解析版）【培優(yōu)題】1．（平頂山期末）如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點D，AE⊥BC于點E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度數；（2）若∠B＝27°，當∠DAE＝21度時，∠ADC＝∠C．【解題思路】（1）利用三角形的內角和求出∠BAC，再利用內角與外角的關系先求出∠ADC，再求出∠DAE；（2）利用三角形的內角和定理及推論，用含∠C的代數式表示出∠BAC、∠ADC，根據∠C＝∠ADC得到關于∠C的方程，先求出∠C，再求出∠DAE的度數．【解答過程】解：∵AD平分∠BAC交BC于點D，AE⊥BC于點E，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，∠（1）∵∠B＝44°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣72°＝64°．∴∠BAD=1∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝44°+32°＝76°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣76°＝24°．（2））∵∠B＝27°，∠C＝∠ADC，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣27°﹣∠C＝153°﹣∠C．∴∠BAD=12×＝76.5°?1∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝27°+76.5°?12＝103.5°?12∠∵∠ADC＝∠C，∴103.5°?12∠C＝∠∴∠ADC＝∠C＝69°．∴∠DAE＝∠AED﹣∠ADC＝90°﹣69°＝21°．故答案為：21．2．（長春期末）如圖，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．解決問題：（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，則∠ACG＝60°；（直接寫出答案）（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度數．【解題思路】（1）由角平分線的定義可求出∠CBA和∠CAB的度數，再根據三角形外角的性質求出∠ACG的度數即可；（2）先根據三角形內角和定理求出∠OBA+∠OAB的度數，然后再根據角平分線的定義求出∠CBA+∠CAB的度數，最后根據三角形外角的性質求出結果即可．【解答過程】解：（1）∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∵∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，∴∠CBA＝40°，∠CAB＝20°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°．故答案為：60°．（2）∵∠MON＝100°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣100°＝80°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝40°．3．（興化市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于點F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度數；（2）求證：∠CEF＝∠CFE．【解題思路】（1）根據直角三角形的性質得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，進而得到∠CAB＝∠DCB，根據角平分線的定義計算即可；（2）根據角平分線的定義得到∠BAE＝∠CAE，根據直角三角形的性質得到∠CEF＝∠AFD，根據對頂角相等證明結論．【解答過程】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠DCB＝50°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；（2）證明：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEF＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE．4．（海陵區(qū)期末）如圖，CD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度數；（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度數．【解題思路】（1）利用三角形內角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC，可得結論．（2）設∠A＝x，則∠ACD＝x﹣34°，根據∠EDB＝∠A+∠AED，構建方程求解即可．【解答過程】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝70°﹣45°＝25°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝25°，∵DE∥CB，∴∠EDC＝∠BCD＝25°，∴∠DEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°．（2）設∠A＝x，則∠ACD＝x﹣34°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2x﹣68°，∵DE∥CB，∴∠AED＝∠ACB＝2x+68°，∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴97°＝x+2x﹣68°，∴x＝55°，∴∠A＝55°．5．（寬城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點E是邊AC上一點，∠AEB＝∠ABC．（1）如圖1，作∠BAC的平分線交CB、BE于D、F兩點．求證：∠EFD＝∠ADC．（2）如圖2，作△ABC的外角∠BAG的平分線，交CB的延長線于點D，延長BE、DA交于點F，試探究（1）中的結論是否成立？請說明理由．【解題思路】（1）首先根據角平分線的性質可得∠BAD＝∠DAC，再根據內角與外角的性質可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，進而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根據角平分線的性質可得∠BAD＝∠DAG，再根據等量代換可得∠FAE＝∠BAD，然后再根據內角與外角的性質可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，進而得∠EFD＝∠ADC．【解答過程】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中結論仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠FAE＝∠GAD，∴∠FAE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．6．（鎮(zhèn)江期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點A落在四邊形BCDE的外部A'的位置，且A'與點C在直線AB的異側，折痕為DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度數；（2）若保持△A′DE的一邊與BC平行，求∠ADE的度數．【解題思路】（1）先求出∠B的度數，在根據四邊形內角和求出∠1+∠BFD的度數，由∠BFD＝∠A′FE和∠A’的度數可求出答案．（2）分EA'∥BC和DA'∥BC兩種情況討論．當DA'∥BC時，先求出∠A′DA＝90°，再根據折疊可得出∠ADE＝45°；當EA'∥BC時，根據平行線的性質求出∠2＝∠ABC＝60°，由（1）得出∠1＝120°，再根據折疊可求出∠ADE的度數．【解答過程】解：（1）由折疊可知，∠A′＝∠A＝30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE＝180°，∴∠2＝180°﹣∠A′﹣∠A′FE＝150°﹣∠A′FE，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，在四邊形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD＝360°，∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BFD＝210°﹣∠BFD，∵∠BFD＝∠A′FE，∴∠1﹣∠2＝210°﹣150°＝60°；（2）當DA'∥BC時，如圖，∠A′DA＝∠ACB＝90°，∵△ADE沿DE折疊到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠當EA'∥BC時，如圖，∠2＝∠ABC＝60°．由（1）知，∠1﹣∠2＝60°，∴∠1＝∠2+60°＝120°，∵△ADE沿DE折疊到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠綜上所述∠ADE的度數為：45°或30°．7．（常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，過點A作直線GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．（1）求△ABC的外角∠CAF的度數；（2）求∠DAE的度數．【解題思路】（1）根據平行線的性質、對頂角相等計算即可；（2）根據角平分線的定義得到∠BAE＝40°，根據平行線的性質求出∠GAD＝90°，結合圖形計算，得到答案．【解答過程】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，∴∠HAC＝∠C＝40°，∵∠FAH＝∠GAB＝60°，∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝100°；（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，∴∠BAC＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°，∵GH∥BC，AD⊥BC，∴∠GAD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．8．（紅橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，角平分線AE，BF相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大?。窘忸}思路】根據三角形高線可得∠ADC＝90°，利用三角形的內角和定理可求解∠DAC的度數；由三角形的內角和可求解∠B的度數，再根據角平分線的定義可求出∠BAO和∠ABO的度數，再利用三角形的內角和定理可求解．【解答過程】解：∵AD是△ABC的高線，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分別平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于點O，∴∠BAO=12∠BAC＝25°，∠ABO=1∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．9．（涪城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）證明：∠BAC＝∠DEF；（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度數．【解題思路】（1）利用三角形的外角的性質解決問題即可．（2）利用三角形的外角的性質解決問題即可．【解答過程】（1）證明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DEF．（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠ABC＝60°．10．（蘇州期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點F．（1）求證：∠AEF＝∠AFE；（2）G為BC上一點，當FE平分∠AFG且∠C＝30°時，求∠CGF的度數．【解題思路】（1）由角平分線定義得∠ABE＝∠CBE，再根據三角形的外角性質得∠AEF＝∠AFE；（2）由角平分線定義得∠AFE＝∠GFE，進而得∠AEF＝∠GFE，由平行線的判定得FG∥AC，再根據平行線的性質求得結果．【解答過程】解：（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．11．（恩施市期末）已知：如圖，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）試說明：∠ABC＝∠BFD；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度數．【解題思路】（1）根據三角形的外角性質即可得出結論；（2）根據三角形內角和和互余進行分析解答即可．【解答過程】解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，∵∠BAD＝∠EBC，∴∠ABC＝∠BFD；（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，∵EG∥AD，∴∠BEG＝∠BFD＝35°，∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．12．（白銀期末）（1）探究：如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）應用：如圖2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數．【解題思路】（1）作射線OA，由三角形外角的性質可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，兩式相加即可得出結論；（2）連接AD，由（1）的結論可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，兩式相加即可得出結論．【解答過程】解：（1）作射線OA，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）連接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．13．（新蔡縣期末）如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數．【解題思路】先利用三角形內角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根據角平分線定義可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度數；然后利用三角形外角性質，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性質，容易求出∠BOA．【解答過程】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．14．（香坊區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分別為△ABC的角平分線，它們相交于點O．（1）求∠EOF的度數．（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°時，求∠DAE的度數．【解題思路】（1）先根據三角形內角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度數，由角平分線的定義和三角形內角和定理可得結論；（2）先根據垂直的定義及三角形內角和可得到∠CAD的度數，再求出∠1的度數，最后根據三角形內角和即可求解．【解答過程】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分線，∴∠EAB=12∠BAC，∠FBA=1∴∠EAB+∠FBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）＝90°∴∠AOB＝180°﹣（90°?12∠C）＝90°+1∵∠C＝40°，∴∠AOB＝110°，∴∠EOF＝∠AOB＝110°．（2）∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD＝50°，∵∠AFB＝80°，∴∠1＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣50°﹣110°＝20°．15．（海陵區(qū)校級月考）如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，AE⊥BC，垂足為E，CF∥AD．（1）如圖1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度數；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），則∠CFE＝12β?12α；（用α（3）如圖2，（2）中的結論還成立么？請說明理由．【解題思路】（1）求∠CFE的度數，求出∠DAE的度數即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度數，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度數即可；（2）由（1）類推得出答案即可；（3）類比以上思路，把問題轉換為∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解決問題．【解答過程】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°∴∠BAE＝60°∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠CFE＝∠DAE＝20°；（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣∠∵CF∥AD，∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B?12（180°﹣∠B﹣∠BCA）=12（∠ACB﹣∠B）=故答案為：12β?1（3）（2）中的結論成立．∵∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC＝90°?12∵CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝90°?12α?∴∠BCF＝β+90°?12α?12β＝90°?∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+12α?∵AE⊥BC，∴∠FEC＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ECF=12β?【拔尖題】16．（市北區(qū)期末）閱讀并填空將三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（點P在△ABC內），如圖1所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經過點B和點C．我們來探究：∠ABP與∠ACP是否存在某種數量關系．（1）特例探索：若∠A＝50°，則∠PBC+∠PCB＝90度；∠ABP+∠ACP＝40度；（2）類比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的關系是∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）變式探索：如圖2所示，改變三角尺的位置，使點P在△ABC外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經過點B和點C，則∠ABP、∠ACP、∠A的關系是∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．【解題思路】（1）利用三角形內角和定理即可解決問題．（2）結論：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形內角和定理即可證明．（3）不成立；存在結論：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形內角和定理即可解決問題．【解答過程】解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，故答案為：90，40；（2）結論：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．證明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．故答案為：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）結論：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，理由是：設AB交PC于O，如圖2：∵∠AOC＝∠POB，∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，故答案為：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．17．（東?？h期末）如圖1．△ABC的外角平分線BF、CF交于點F．（1）若∠A＝50°．則∠F的度數為65°；（2）如圖2，過點F作直線MN∥BC，交AB，AC延長線于點M、N．若設∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與a+β滿足的數量關系是α+β?12∠A（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點F轉動．①如圖3，當直線MN與線段BC沒有交點時，試探索∠A與α，β之間滿足的數量關系，并說明理由；②當直線MN與線段BC有交點時，試問①中∠A與α，β之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出三者之間滿足的數量關系．【解題思路】（1）根據三角形內角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠F的度數；（2）根據三角形內角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠BFC的度數，再根據平行線的性質，即可得到∠A與α+β的數量關系；（3）①根據（2）中的結論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數量關系；②分兩種情況進行討論，根據（2）中的結論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數量關系．【解答過程】解：（1）如圖1，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠DBC﹣∠ECB＝360°﹣130°＝230°，又∵△ABC的外角平分線交于點F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECD）∴△BCF中∠F＝180°﹣115°＝65°，故答案為65°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線交于點F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECB）=12×（180°+∠A∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°?1又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°?12∠即α+β?12∠故答案為：α+β?12∠（3）①α+β?12∠如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°?12∠∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°?12∠即α+β?12∠②當直線MN與線段BC有交點時，①中∠A與α，β之間的數量關系不成立，分兩種情況：如圖4，當M在線段AB上，N在AC延長線上時，由（2）可得，∠BFC＝90°?12∠∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°?12∠A﹣α+即β﹣α?12∠如圖5，當M在AB的延長線上，N在線段AC上時，由（2）可得，∠BFC＝90°?12∠∴∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°?12∠A﹣β+即α﹣β?12∠綜上所述，∠A與α，β之間的數量關系為β﹣α?12∠A＝90°或α﹣β?118．（寬城區(qū)期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別是邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如圖1，點P在斜邊AB上運動．①若∠α＝70°，則∠1+∠2＝160度．②寫出∠α、∠1、∠2之間的關系，并說明理由．（2）如圖2，點P在斜邊AB的延長線上運動（CE＜CD），BE、PD交于點F，試說明∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）如圖3，點P在△ABC外運動（只需研究圖③的情形），直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關系．【解題思路】（1）①求出∠CEP+∠CDP，可得結論．②結論：∠1+∠2＝90°+∠α．連接PC，利用三角形的外角的性質解決問題即可．（2）利用三角形的外角的性質以及三角形內角和定理證明即可．（3）利用基本結論∠C+∠3＝∠P+∠4，構建關系式，可得結論．【解答過程】解：（1）①∵∠C＝90°，α＝70°，∴∠CEP+∠CDP＝360°﹣（90°+70°）＝200°，∴∠1+∠2＝360°﹣200°＝160°，故答案為：160．②結論：∠1+∠2＝90°+∠α．理由：如圖1中，連結CP．∵∠1＝∠DCP+∠CPD，∠2＝∠ECP+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠DCP+∠CPD+∠ECP+∠CPE，∵∠DCP+∠ECP＝∠ACB＝90°，∠CPD+∠CPE＝∠DPE＝∠α，∴∠1+∠2＝90°+∠α．（2）如圖2中，∵∠1＝∠ACB+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠ACB+∠2+∠α．∵∠ACB＝90°，∴∠1＝90°+∠2+∠α．∴∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）結論：∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．理由：如圖3中，∵∠C+∠3＝∠P+∠4，∠C＝90°，∠P＝α，∴90°+（180°﹣∠2）＝α+（180°﹣∠1），∴∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．19．（延慶區(qū)期末）在三角形ABC中，點D在線段AC上，ED∥BC交AB于點E，點F在線段AB上（點F不與點A，E，B重合），連接DF，過點F作FG⊥FD交射線CB于點G．（1）如圖1，點F在線段BE上，用等式表示∠EDF與∠BGF的數量關系，并證明；（2）如圖2，點F在線段BE上，求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（3）當點F在線段AE上時，依題意，在圖3中補全圖形，請直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數量關系，不需證明．【解題思路】（1）結論：∠EDF+∠BGF＝90°．如圖1中，過點F作FH∥BC交AC于點H．利用平行線的性質求解即可．（2）如圖2中，過點F作FH∥BC交AC于點H．利用平行線的性質求解即可．（3）作出圖形，利用平行線的性質求解即可．【解答過程】（1）解：結論：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如圖1中，過點F作FH∥BC交AC于點H．∵ED∥BC，∴ED∥FH．∴∠EDF＝∠1．∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．（2）證明：如圖2中，過點F作FH∥BC交AC于點H．∴∠ABC＝∠AFH．∴∠ABC＝∠1+∠3．∴∠3＝∠ABC﹣∠1．∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠BFG+∠3＝90°．∴∠3＝90°﹣∠BFG．∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF．∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°．（3）解：結論：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：設DE交FG于J．∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DEJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°20．（中山市期末）同學們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數學活動，提出了很多數學問題，請你解答：（1）如圖1，∠α和∠β具有怎樣的數量關系？請說明理由；（2）如圖2，∠DFC的平分線與∠EGC的平分線相交于點Q，求∠FQG的大小；（3）如圖3，點P是線段AD上的動點（不與A，D重合），連接PF、PG，∠DFP+∠FPG∠EGP【解題思路】（1）如圖1，延長AM交EG于M．由題意知：DF∥EG，∠ACB＝90°，故∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．進而推斷出∠β+∠α＝90°．（2）如圖2，延長AC交EG于N．由題意知：DF∥EN，∠ACB＝90°，得∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°，故∠1+∠CGN＝90°．因為∠DFC的平分線與∠EGC的平分線相交于點Q，所以∠QFC=12∠DFC=12(180°?∠1)=90°?12∠1，∠GQC＝90°?（3）由題意知：DF∥EG，得∠FOG＝∠EGO，故∠DFP+∠FPG∠EGP【解答過程】解：（1）如圖1，延長AM交EG于M．∠β+∠α＝90°，理由如下：由題意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．∵∠EGB和∠CGM是對頂角，∴∠β＝∠CGM．∴∠β+∠α＝90°．（2）如圖2，延長AC交EG于N．由題意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．∴∠1+∠CGN＝90°．∵QF平分∠DFC，∴∠QFC=1同理可得：∠GQC＝90°?1∵四邊形QFCG的內角和等于360°．∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝360°﹣（90°?12∠1∴∠FQG＝135°．（3）如圖3，由題意知：DF∥EG．∴∠FOG＝∠EGO．∴∠DFP+∠FPG∠EGP∴∠DFP+∠FPG∠EGP21．（禪城區(qū)期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數；（2）如圖2（∠B＜∠C），試說明∠DAE與∠B、∠C的數量關系；（3）拓展：如圖3，四邊形ABDC中，AE是∠BAC的角平分線，DA是∠BDC的角平分線，猜想：∠DAE與∠B、∠C的數量關系是否改變．說明理由．【解題思路】（1）根據三角形的內角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分線的定義可得∠CAD的度數，利用三角形的高線可求∠CAE得度數，進而求解即可得出結論；（2）根據（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的數量關系；（3）連接BC交AD于F，過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥BC于N，根據角平分線的定義得到∠EAM=12（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠CBD），求得∠【解答過程】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD=12∠∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD=12∠∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE=12∠BAC﹣（90°﹣∠C）=12（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C=12即∠DAE=12∠C?1（3）不變，理由：連接BC交AD于F，過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥BC于N，∵AE是∠BAC的角平分線，AM是高，∴∠EAM=12（∠ACB﹣∠同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，∴∠MAD＝∠ADN，∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN=12（∠ACB﹣∠ABC）+12（∠BCD﹣∠CBD）=122．（侯馬市期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數．（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數量關系是∠P＝90°+12（∠B+∠D（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數量關系是∠P＝180°?12（∠B+∠D【解題思路】（1）根據三角形的內角和等于180°列式整理即可得證；（2）根據角平分線的定義可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據（1）的結論列出整理即可得解；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根據（1）的結論列出等式并整理即可得解；（4）根據四邊形的內角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．【解答過程】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）∵AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的結論得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P＝26°．（3）∵直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+12（∠B+∠故答案為：∠P＝90°+12（∠B+∠（4）∵直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，在四邊形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，在四邊形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°?12（∠B+∠故答案為：∠P＝180°?12（∠B+∠23．（西城區(qū)校級期末）在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點M，MN⊥BC于點N．將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2，∠CMN記為∠3．（1）如圖1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，則∠2＝20°，∠3﹣∠1＝55°；（2）如圖2，猜想∠3﹣∠1與∠A的數量關系，并證明你的結論；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代數式表示∠3﹣∠1的度數．（直接寫出結果即可）解：（2）∠3﹣∠1與∠A的數量關系是：∠3﹣∠1=12∠A（3）∠3﹣∠1＝α+β3?【解題思路】（1）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACE＝∠BEC﹣∠A，再根據角平分線的定義可得∠2＝∠ACE；根據角平分線的定義求出∠ACB，再根據三角形的內角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根據直角三角形兩銳角互余求出∠3，然后相減即可得解；（2）根據角平分線的定義可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根據直角三角形兩銳角互余表示出∠3，然后表示出∠3﹣∠1＝90°?12∠ACB?12∠（3）在△BCE和△BCD中，根據三角形內角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根據三角形的內角和定理和角平分線的定義用∠A表示出∠1+∠2，然后根據∠3﹣∠1=12∠【解答過程】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A＝130°﹣110°＝20°，∵CE平分∠ACE，∴∠2＝∠ACE＝20°，∴∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=12∠ABC∵MN⊥BC，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，故答案為：20，55；（2）∠3﹣∠1與∠A的數量關系是：∠3﹣∠1=12∠證明：在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∵MN⊥BC于點N，∴∠MNC＝90°，在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，＝90°?12∠ACB?1＝90°?12（∠ACB+∠∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠3﹣∠1＝90°?12（180°﹣∠A）=1故答案為：∠3﹣∠1=12∠（3）∵BD，CE是△ABC的兩條角平分線，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β＝180°，∠2+2∠1+α＝180°，∴∠1+∠2＝120°?α+β∵∠1+∠2=12（∠ACB+∠ABC）=1∴120°?α+β3=整理得，12∠A=∴∠3﹣∠1=α+β故答案為：α+β324．（福山區(qū)期中）直線在同一平面內有平行和相交兩種位置關系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧！【問題探究】（1）如圖1，請直接寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）將圖1變形為圖2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的結果如何？請寫出證明過程；（3）將圖1變形為圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結果如何？請寫出證明過程．【變式拓展】（4）將圖3變形為圖4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數是320°．【解題思路】（1）根據三角形外角的性質，得到∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，根據三角形內角和等于180°即可求解．（2）根據三角形外角的性質，得到∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，即可證明此結論．（3）根據三角形外角的性質，得到∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，即可證明此結論；（4）根據三角形外角的性質，得到∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，即可得到結論．【解答過程】（1）解：如圖1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，故答案為：180°；（2）證明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°∴將圖①變形成圖②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然為180°；（3）證明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∴將圖①變形成圖③，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E還為180°；（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F＝160°，∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，∴∠A+∠C+∠E＝160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，故答案為：320°．25．（蓬溪縣期末）某校七年級數學興趣小組對“三角形內角或外角平分線的夾角與第三個內角的數量關系”進行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∠A＝64°，則∠BPC＝122°；（2）如圖2，△ABC的內角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，請你寫出∠BQC與∠A的數量關系，并說明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點P，則∠BPC＝119°，延長BC至點E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點R，則∠R＝29°．【解題思路】（1）根據三角形的內角和角平分線的定義；（2）由角平分線得出∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．由三角形外角的性質知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根據∠EBD=12∠ABD=12（∠（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠QBC與∠QCB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解；（4）結合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答過程】解：（1）∵PB、PC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°?12＝180°?12（180°﹣∠＝180°﹣90°+12＝90°+12＝90°+＝122°．故答案為：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分線，CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=12∠ACB，∠EBD=1∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB∴∠BEC=12∠A（3）結論：∠BQC＝90°?12∠理由如下：∵∠CBM與∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分別是∠ABC與∠ACB外角的平分線，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，＝180°?12（∠A+∠ACB）?12（∠＝180°?12∠A?12（∠A+∠＝180°?12∠＝90°?12∠（4）由（3）可知，∠BQC＝90°?12∠A＝90°由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°由（2）可知，∠R=12∠故答案為119，29．26．（鄂州期末）探究知：任何一個三角形都滿足三角形三內角和等于180°，我們把這個結論稱之為三角形三內角和定理．如圖1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，請根據題目條件，結合三角形三內角和定理，探究下列問題：（1）如圖2，在圖1基礎上作：∠BEF=12∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF與DF交于點F，求∠（2）如圖3，在圖1基礎上作：過B作BG⊥AB，交CD于點F，且∠CDG=34∠CDE，求【解題思路】（1）設∠BEF＝α，∠CDF＝β，根據角之間的比例關系可得∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，進而可得∠DEF+∠EDF＝80°，所以可得答案；（2）根據垂直可得∠CDG＝90°﹣∠G，再根據∠E+∠CDE＝120°經過整理得3∠E＝4∠G，進而可得答案．【解答過程】解：（1）∵∠BEF=1∴∠DEF＝2∠BEF，又∵∠CDE＝3∠CDF，∴設∠BEF＝α，∠CDF＝β，∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，∵∠BED+∠CDE＝120°，∴3α+3β＝120°，∴α+β＝40°，∴2α+2β＝80°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，答：∠EFD的度數為100°；（2）∵BF⊥AB，∴∠ABG＝90°，∵AB∥CD，∴∠ABG+∠BFC＝180°，∴∠BFC＝∠GFD＝90°，在△GFD中，∠GFD+∠CDG+∠G＝180°，∴∠CDG＝90°﹣∠G，∵∠E+∠CDE＝120°，∠CDG=3∴∠E+43∠CDG=120°，∠E+整理得：3∠E＝4∠G，∴∠G∠E27．（南昌期中）【問題探究】將三角形ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處（1）如圖1，當點A落在四邊形BCDE的邊CD上時，直接寫出∠A與∠1之間的數量關系；（2）如圖2，當點A落在四邊形BCDE的內部時，求證：∠1+∠2＝2∠A；（3）如圖3，當點A落在四邊形BCDE的外部時，探索∠1，∠2，∠A之間的數量關系，并加以證明；【拓展延伸】（4）如圖4，若把四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內部點A′、D′的位置，請你探索此時∠1，∠2，∠A，∠D之間的數量關系，寫出你發(fā)現的結論，并說明理由．【解題思路】（1）運用折疊原理及三角形的外角性質即可解決問題；（2）運用折疊原理及四邊形的內角和定理即可解決問題；（3）運用三角形的外角性質即可解決問題；（4）根據三角形的內角和和四邊形的內角和即可得到結論．【解答過程】解：（1）如圖1，∠1＝2∠A．理由如下：由折疊知識可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如圖2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折疊知識可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如圖3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠1+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣3