2025屆湖南省長沙市一中、湖南師大附中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆湖南省長沙市一中、湖南師大附中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，則的圖像大致是（）A. B.C. D.2．符號(hào)函數(shù)是一個(gè)很有用的函數(shù)，符號(hào)函數(shù)能夠把函數(shù)的符號(hào)析離出來，其表達(dá)式為若定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的圖象是（）A. B.C. D.3．若角滿足條件，且，則在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖A'B'C'D'（如圖所示），其中A'D'=2，B'C'=4，A'B'=1，則直角梯形DC邊的長度是A.5 B.2C.25 D.5．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則使得的的取值范圍是（）A. B.C. D.6．函數(shù)與的圖象可能是（）A. B.C. D.7．已知直線，平面滿足，則直線與直線的位置關(guān)系是A.平行 B.相交或異面C.異面 D.平行或異面8．若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.9．已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.10．已知一幾何體的三視圖，則它的體積為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.12．下列四個(gè)命題中：①若奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，則它在上單調(diào)遞增②若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則它在上單調(diào)遞增；③若函數(shù)為奇函數(shù)，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；④若函數(shù)為偶函數(shù)，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱；正確的命題的序號(hào)是___________.13．設(shè)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為________14．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15．已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為__________16．函數(shù)的最大值為（）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝，(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間18．已知.（1）若在第二象限，求的值；（2）已知，且，求值.19．參加勞動(dòng)是學(xué)生成長的必要途徑，每個(gè)孩子都要抓住日常生活中的勞動(dòng)實(shí)踐機(jī)會(huì)，自覺參與、自己動(dòng)手，堅(jiān)持不懈進(jìn)行勞動(dòng)，掌握必要的勞動(dòng)技能．在勞動(dòng)中接受鍛煉、磨煉意志，培養(yǎng)正確的勞動(dòng)價(jià)值觀和良好的勞動(dòng)品質(zhì)．大家知道，用清水洗衣服，其上殘留的污漬用水越多，洗掉的污漬量也越多，但是還有污漬殘留在衣服上，在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上現(xiàn)作如下假定：用單位的水清洗1次后，衣服上殘留的污漬與本次清洗前殘留的污漬之比為函數(shù)（1）①試解釋與的實(shí)際意義；②寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件或具有的性質(zhì)（寫出至少2條，不需要證明）；（2）現(xiàn)有單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次．哪種方案清洗后衣服上殘留的污漬比較少？請(qǐng)說明理由20．已知函數(shù)滿足下列3個(gè)條件：①函數(shù)的周期為；②是函數(shù)的對(duì)稱軸；③.（1）請(qǐng)任選其中二個(gè)條件，并求出此時(shí)函數(shù)的解析式；（2）若，求函數(shù)的最值.21．為適應(yīng)市場需求，某公司決定從甲、乙兩種類型工業(yè)設(shè)備中選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)，根據(jù)公司自身生產(chǎn)經(jīng)營能力和市場調(diào)研，得出生產(chǎn)經(jīng)營這兩種工業(yè)設(shè)備的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：類別年固定成本每臺(tái)產(chǎn)品原料費(fèi)每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)年最多可生產(chǎn)甲設(shè)備100萬元m萬元50萬元200臺(tái)乙設(shè)備200萬元40萬元90萬元120臺(tái)假定生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)滿足下列條件：①年固定成本與年生產(chǎn)的設(shè)備臺(tái)數(shù)無關(guān)；②m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)甲種設(shè)備的原料價(jià)格決定，且m∈[30，40]；③生產(chǎn)甲種設(shè)備不需要支付環(huán)保、專利等其它費(fèi)用，而生產(chǎn)x臺(tái)乙種設(shè)備還需支付環(huán)保，專利等其它費(fèi)用0.25x2萬元；④生產(chǎn)出來的設(shè)備都能在當(dāng)年全部銷售出去（Ⅰ）若該公司選擇投資生產(chǎn)甲設(shè)備，則至少需要年生產(chǎn)a臺(tái)設(shè)備，才能保證對(duì)任意m∈[30，40]，公司投資生產(chǎn)都不會(huì)賠本，求a的值；（Ⅱ）公司要獲得最大年利潤，應(yīng)該從甲、乙兩種工業(yè)設(shè)備中選擇哪種設(shè)備投資生產(chǎn)？請(qǐng)你為該公司作出投資選擇和生產(chǎn)安排

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】判斷函數(shù)的奇偶性，再利用時(shí)，函數(shù)值的符號(hào)即可求解.【詳解】由，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B、D.當(dāng)，則，所以，，所以，排除A.故選：C2、C【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性畫出的圖象，結(jié)合的知識(shí)確定正確答案.【詳解】依題意，是定義在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，結(jié)合的奇偶性，作出的大致圖象如下圖所示，根據(jù)的定義可知，選項(xiàng)C符合題意.故選：C3、B【解析】因?yàn)椋栽诘诙虻谒南笙?，且，所以在第二象限考點(diǎn)：三角函數(shù)的符號(hào)4、B【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法，原來的高變成了45°方向的線段，且長度是原高的一半，∴原高為AB=2而橫向長度不變，且梯形ABCD是直角梯形，∴DC=故選B5、C【解析】先求解出時(shí)的解集，再根據(jù)偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，寫出時(shí)的解集，即得整個(gè)函數(shù)的解集.【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以，由題意，當(dāng)時(shí)，，則；又因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，則，所以的解集為.故選：C.6、D【解析】注意到兩函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，由排除法可得.【詳解】令，得或，則函數(shù)過原點(diǎn)，排除A；令，得，故函數(shù)，都過點(diǎn)，排除BC.故選：D7、D【解析】∵a∥α，∴a與α沒有公共點(diǎn)，b?α，∴a、b沒有公共點(diǎn)，∴a、b平行或異面．故選D8、C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，且，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，又，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C9、A【解析】利用三角函數(shù)的定義得出和的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義得，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】所求體積，故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】令，分析出函數(shù)為上的減函數(shù)且為奇函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】令，對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋瑒t，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，由于函數(shù)和在上均為減函數(shù)，故函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，則在上為減函數(shù)，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案為：或.12、②③【解析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷①②，結(jié)合平移變換可判斷③④.【詳解】奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，故①錯(cuò)誤，②正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的圖象可以由的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故③正確；函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③13、4【解析】根據(jù)三視圖確定該幾何體為三棱錐，由題中數(shù)據(jù)，以及棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可得：該幾何體為三棱錐，由題中數(shù)據(jù)可得：該三棱錐的底面是以為底邊長，以為高的三角形，三棱錐的高為，因此該三棱錐的體積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求體積的問題，熟記棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及棱錐的體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】先確定函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性化簡不等式，最后解一元二次不等式得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且在R上單調(diào)遞增因此由得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.15、2【解析】依題意，故，即元素個(gè)數(shù)為個(gè).16、【解析】利用可求最大值.【詳解】因?yàn)椋?，，取到最小值；所以函?shù)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的最值問題，借助正弦函數(shù)的值域能方便求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)φ＝－π;(2)單調(diào)增區(qū)間為.【解析】(1)∵x＝是函數(shù)y＝f(x)的圖象的對(duì)稱軸，∴sin(2×＋φ)＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.(2)y＝sin(2x－)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函數(shù)y＝sin(2x－)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ＋，kπ＋]，k∈Z18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合半角公式得，故，，再根據(jù)二倍角公式計(jì)算即可.（2）由題知，再結(jié)合正切的和角公式求解即可.【小問1詳解】解：，∴∵在第二象限，∴，，∴【小問2詳解】解：∴，19、（1）表示沒有用水清洗時(shí)，衣服上的污漬不變；表示用1個(gè)單位的水清洗時(shí)，可清除衣服上殘留的污漬的；定義域?yàn)?，值域?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩種清洗方法效果相同；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)把單位的水平均分成份后，清洗兩次，殘留的污漬較少；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)用單位的水清洗一次后殘留的污漬較少.【解析】（1）①根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義說明即可；②由實(shí)際意義可得出函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性.（2）求出兩種清洗方法污漬的殘留量，并進(jìn)行比較即可.【小問1詳解】①表示沒有用水清洗時(shí)，衣服上的污漬不變；表示用1個(gè)單位的水清洗時(shí)，可清除衣服上污漬的.②函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.【小問2詳解】設(shè)清洗前衣服上的污漬為1，用單位的水，清洗一次后殘留的污漬為，則；用單位的水清洗1次，則殘留的污漬為，然后再用單位的水清洗1次，則殘留的污漬為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)兩種清洗方法效果相同；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)把單位的水平均分成份后，清洗兩次，殘留的污漬較少；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)用單位的水清洗一次后殘留的污漬較少.20、（1）答案見解析，；（2）最大值；最小值.【解析】(1)由①知，由②知，由③知，結(jié)合即可求出的解析式.(2)由可得，進(jìn)而可求出函數(shù)最值.【詳解】解：（1）選①②，則，解得，因?yàn)椋?，即；選①③，，由得，因，所以，即；選②③，，由得，因?yàn)椋?，?（2）由題意得，因?yàn)?，所?所以當(dāng)即時(shí)，有最大值，所以當(dāng)即時(shí)，有最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，考查了三角函數(shù)的對(duì)稱軸，考查了三角函數(shù)的值域，考查了三角函數(shù)表達(dá)式的求解，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.21、（Ⅰ）10（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）由年銷售量為a臺(tái)，按利潤的計(jì)算公式求得利潤，再由利潤大于等于0，分離參數(shù)a求解；（Ⅱ）分別寫出投資生產(chǎn)甲、乙兩種工業(yè)設(shè)備的利潤函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值，然后作出比較得答案【詳解】（Ⅰ）由年銷售a臺(tái)甲設(shè)備，公司年獲利y1=50a-100-am，由y1=50a-100-am≥0（30≤m≤40），得a≥（30≤m≤40），函數(shù)f（m）=在[30，40]上為增函數(shù)，則f（m）max=10，∴a≥10則對(duì)任意m∈[30，40]，公司投資生產(chǎn)都不會(huì)賠本，a的值為10臺(tái)；（Ⅱ）由年銷售量為x臺(tái)，按利潤的計(jì)算公式，有生產(chǎn)甲、乙兩設(shè)備的年利潤y1，y2分別為：y1=50x-（100+mx）=（50-m）x-100，0≤x≤200且x∈Ny2=90x-（200+40x）-0.25x2=-0.25x2+50x-200=-0.25（x-100）2+2300，0≤x≤120，x∈N∵30≤m≤40，∴50-m＞0，∴y1=（50-m）x-100為增函數(shù)，又∵0≤x≤200，x∈N，∴x=200時(shí)，生產(chǎn)甲設(shè)備的最大年利潤為（50-m）×200-100=9900-200m（萬元）又y2=-0.25（x-100）2+2300，0≤x≤120，x∈N