浙江省越崎中學2025屆高二數學第一學期期末經典模擬試題含解析

浙江省越崎中學2025屆高二數學第一學期期末經典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設、分別是橢圓（）的左、右焦點，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且，則的長為（）A. B.1C. D.2．數列1，6，15，28，45，…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?，那么?1個六邊形數為（）A.153 B.190C.231 D.2763．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－194．若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°5．橢圓（）的右頂點是拋物線的焦點，且短軸長為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.6．在等差數列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.247．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.38．小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績如下表所示，設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環(huán)）910579小張得分（環(huán)）67557A. B.C. D.9．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)10．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.11．在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.12．現有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機投擲一枚均勻的硬幣兩次，則兩次都正面朝上的概率為______14．瑞士數學家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，，，則歐拉線的方程為______15．函數的圖象在點處的切線方程為____.16．記為等差數列{}的前n項和，若，，則=_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某港口船舶停靠的方案是先到先停，且每次只能?？恳凰掖?（1）若甲乙兩艘船同時到達港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從1，2，3，4，5中各隨機選一個數，若兩數之和為奇數，則甲先?？浚蝗魞蓴抵蜑榕紨?，則乙先?？浚@種方式對雙方是否公平？請說明理由；（2）若甲、乙兩船在一晝夜內到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，且，E為PD的中點（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）在側棱PC上是否存在點F，使得點F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由19．（12分）已知拋物線過點.（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側，且，求證：過定點.20．（12分）如圖，在空間直角坐標系中有長方體，且，，點E在棱AB上移動.（1）證明：；（2）當E為AB的中點時，求直線AC與平面所成角的正弦值.21．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.22．（10分）設P是拋物線上一個動點，F為拋物線的焦點.（1）若點P到直線距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由橢圓的定義得：，，結合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C2、C【解析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時聯系相關知識,如等差數列、等比數列等，結合圖形即可求解.【詳解】由題意知，數列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：C3、C【解析】將所求進行變形可得，根據二項式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C4、C【解析】直接由公式，計算兩直線的方向向量的夾角，進而得出直線與所成角的大小【詳解】因為，，所以，所以，所以直線與所成角的大小為故選：C5、A【解析】求得拋物線的焦點從而求得，再結合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，故可得；又短軸長為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.6、B【解析】根據等差數列通項公式相關計算求出公差，進而求出首項.【詳解】設公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B7、D【解析】根據空間向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】.故選：D.8、C【解析】根據圖表數據可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和.可知故選：C9、C【解析】求導得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據題意得，解得故選：C10、B【解析】分析：由雙曲線性質得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題11、B【解析】結合已知條件，利用對稱的概念即可求解.【詳解】不妨設點關于軸對稱的點的坐標為，則線段垂直于軸且的中點在軸，從而點關于軸對稱的點的坐標為.故選：B.12、D【解析】設該等差數列為，其公差為，根據題意和等差數列的性質可得，進而求出結果.【詳解】設該等差數列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】列舉出所有情況，利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】隨機投擲一枚均勻的硬幣兩次，共有：正正，正反，反正，反反共4種情況，兩次都是正面朝上的有：正正1種情況，所以兩次都正面朝上的概率為，故答案為：14、【解析】根據給定信息，利用三角形重心坐標公式求出的重心，再結合對稱性求出的外心，然后求出歐拉線的方程作答.【詳解】因的頂點，，，則的重心，顯然的外心在線段AC中垂線上，設，由得：，解得：，即點，直線，化簡整理得：，所以歐拉線的方程為.故答案：15、【解析】先求出導函數，進而根據導數的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程.【詳解】由題意，，，則切線方程為：.故答案為：.16、18【解析】根據等差數列通項和前n項和公式即可得到結果.【詳解】設等差數列的公差為，由，得，解得，所以故答案為：18三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）不公平，理由見解析.（2）【解析】（1）通過計算概率來進行判斷.（2）利用幾何概型計算出所求概率.【小問1詳解】兩數之和為奇數的概率為，兩數之和為偶數的概率為，兩個概率不相等，所以不公平.【小問2詳解】設甲到的時刻為，乙到的時刻為，則，若它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出，則或，畫出可行域如下圖陰影部分所示，所以所求的概率為：.18、（1）證明見解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出輔助線，證明線面垂直，進而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量求解二面角；（3）設出F點坐標，用空間向量的點到平面距離公式進行求解.【小問1詳解】證明：連接BD，設BD與AC交于點O，連接PO．因為，所以四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，則又，所以平面PBD，因為平面PBD，所以【小問2詳解】因為，所以，所以由（1）知平面ABCD，以O為原點，，，的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，設平面AEC的法向量，則，即，令，則平面ACD的法向量，，所以二面角為；【小問3詳解】存在點F到平面AEC的距離為，理由如下：由（2）得，，設，則，所以點F到平面AEC的距離，解得，，所以19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）運用代入法直接求解即可；（2）設出直線的方程與拋物線方程聯立，結合一元二次方程根與系數關系、平面向量數量積的坐標表示公式進行求解即可.【小問1詳解】由已知可得：；【小問2詳解】的斜率不為設，，∴OA→?因為直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側，所以，即過定點.【點睛】關鍵點睛：運用一元二次方程根與系數關系是解題的關鍵.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設，求出，，利用向量法能求出；（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：設，，，，；【小問2詳解】當為的中點時，，，設平面的法向量，則，取，得，設直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：21、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解題即可（2）利用分子分母同號為正，異號為負思想，注意討論分母不為0【小問1詳解】由題，即，解得或，即；【小問2詳解】由題，解得或，即22、（1）；（2）4.【解析】（1）利用拋物線的定義可知，將問題問題轉化為求的最小值，即求.（2）判斷點B在拋物線的內部，過B作垂直準線于點Q，交拋物線