河南省六市高三第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)（理）試題

河南省六市2018屆高三第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】,,所以,選C.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A.0B.1C.D.2【答案】B3.現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票（其中3張為中獎(jiǎng)票）的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：將張獎(jiǎng)票不放回地依次取出共有種不同的取法，若獲恰好在第四次抽獎(jiǎng)結(jié)束，則前三次共抽到張中獎(jiǎng)票，第四次抽的最后一張獎(jiǎng)票，共有種取法，所以概率為，故選C.考點(diǎn)：古典概型及其概率的計(jì)算.4.汽車以作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1s至2s之間的1s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,選D.5.為考察兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，分別得到如下等高條形圖：根據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說(shuō)法最佳的一項(xiàng)是（）A.藥物的預(yù)防效果優(yōu)于藥物的預(yù)防效果B.藥物的預(yù)防效果優(yōu)于藥物的預(yù)防效果C.藥物、對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果D.藥物、對(duì)該疾病均沒(méi)有預(yù)防效果【答案】B【解析】由A、B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，分別得到的等高條形圖，知：

藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果．

故選B．6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的各個(gè)表面中，最大面的面積為（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】幾何體如圖，，所以最大面ＳＡＢ的面積為，選Ｂ．7.已知數(shù)列滿足：，則其前100項(xiàng)和為（）A.250B.200C.150D.100【答案】D【解析】因?yàn)?所以選D.8.已知銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)闉殇J角三角形,所以,選D.9.設(shè)是數(shù)列的一個(gè)排列，觀察如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A.2015B.2016C.2017D.2018【答案】D【解析】試題分析：此題的程序框圖的功能就是先求這個(gè)數(shù)的最大值，然后進(jìn)行計(jì)算,，因?yàn)椋裕蔬xD．考點(diǎn)：程序框圖.【方法點(diǎn)睛】本題考查的是程序框圖.對(duì)于算法與流程圖的考查，一般會(huì)側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).10.在三棱錐中，，，，，，且三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球半徑是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】取SC中點(diǎn)O，則OA=OB=OC=OS,即O為三棱錐的外接球球心，設(shè)半徑為r,則選C.點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.11.橢圓與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，若函數(shù)的圖象在處的切線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)因此，所以，,,選B.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.12.若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且，其中，，則的值為（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】令，則方程化為有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，選A.點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，，則______.【答案】5【解析】14.已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是_______（用數(shù)字作答）.【答案】10【解析】試題分析：由題意可得：，所以，令，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是10.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.15.已知是雙曲線：右支上一點(diǎn)，直線是雙曲線的一條漸近線，在上的射影為，是雙曲線的左焦點(diǎn)，則的最小值是_______.【答案】【解析】16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則的最小值是_______.【答案】【解析】因此可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中,所以點(diǎn)睛：線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)的和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出的通項(xiàng)公式，利用放縮法進(jìn)行證明不等式.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，從而構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.6分（2）由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，從而.考點(diǎn)：1.裂項(xiàng)求和；2.放縮法；3.推理能力.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是裂項(xiàng)求和，放縮法，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力，推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題，首先根據(jù)可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，（2）問(wèn)中根據(jù)（1）中條件進(jìn)行裂項(xiàng)求和，可發(fā)現(xiàn)中間部分項(xiàng)被消掉，因此可適當(dāng)利用放縮的方法對(duì)前項(xiàng)和進(jìn)行放大或縮小，即可證明結(jié)論，因此根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.18.我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬(wàn)，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬(wàn)，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本分布制作成如下圖表：（1）若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？（2）估算該市80歲及以上長(zhǎng)者占全市戶籍人口的百分比；（3）據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無(wú)固定收入，政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：①80歲及以上長(zhǎng)者每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元；②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元；③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100元.利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.（單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】（1）3，5（2）（3）2.22【解析】試題分析：（Ⅰ）從圖表中求出不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為．

（Ⅱ）求出在600人中80歲及以上長(zhǎng)者在老人中占比，用樣本估計(jì)總體，能求出80歲及以上長(zhǎng)者占戶籍人口的百分比．

（Ⅲ）用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元，則Xr可能取值為0，120，200，220，300，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列、EX，從而能估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算．試題解析：(1)數(shù)據(jù)整理如下表：從圖表中知不能自理的歲及以上長(zhǎng)者比為：故抽取人中不能自理的歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為歲以下長(zhǎng)者人數(shù)為人(2)在人中歲及以上長(zhǎng)者在老人中占比為：用樣本估計(jì)總體，歲及以上長(zhǎng)者共有萬(wàn)，歲及以上長(zhǎng)者占戶籍人口的百分比為％=％，(3)用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為元，則隨機(jī)變量的分布列為：全市老人的總預(yù)算為元，政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為億元.求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式（常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概率公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積，以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，為與的交點(diǎn)，為上任意一點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若平面，并且二面角的大小為，求的值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析：（1）解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，空間想象能力是非常重要的，但新舊知識(shí)的遷移融合也很重要，在平面幾何的基礎(chǔ)上，把某些空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，有時(shí)很方便；（2）證明兩個(gè)平面垂直，首先考慮直線與平面垂直，也可以簡(jiǎn)單記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法與空間中的平行關(guān)系的證明類似，掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類題的關(guān)鍵；（3）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化．同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備．試題解析：（1）因?yàn)?，，又是菱形，，故平面平面平?分（2）連結(jié)，因?yàn)槠矫?，所以，所以平面又是的中點(diǎn)，故此時(shí)為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．．6分設(shè)則，向量為平面的一個(gè)法向量．8分設(shè)平面的一個(gè)法向量，則且，即，取，則，則12分解得故14分考點(diǎn)：1、平面與平面垂直的判定；2、平面與平面所成角余弦值的應(yīng)用．20.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角是時(shí)，的中垂線交軸于點(diǎn).（1）求的值；（2）以為直徑的圓交軸于點(diǎn)，記劣弧的長(zhǎng)度為，當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）設(shè)出直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)，推出中垂線方程，結(jié)合的中垂線交軸于點(diǎn)，求出即可；（2）設(shè)方程為，代入，求出的距離以及中點(diǎn)為，令，求出的表達(dá)式，推出關(guān)系式，利用到軸的距離，求出，分離常數(shù)即可求得的最大值.試題解析：（1）當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，的方程為設(shè)得得中點(diǎn)為中垂線為代入得（2）設(shè)的方程為，代入得中點(diǎn)為令到軸的距離當(dāng)時(shí)取最小值的最大值為故的最大值為.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析.....................試題解析：（1），所以（1）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增（2）當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)即時(shí)，恒成立，即恒成立所以在上單調(diào)遞增當(dāng)，即時(shí)，，兩根所以，，,故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知時(shí)，上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值當(dāng)時(shí)，由得，設(shè)兩根，則，其中在上遞增，在上遞減，在上遞增令，所以在上單調(diào)遞減，且故.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與圓的執(zhí)直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與直線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的值.【答案】（1），（2）【解析】試題分析：（１）根據(jù)加減消元法將直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，（２）先化直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式，代入圓的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得，再根據(jù)韋達(dá)定理求值.試題解析：解：（1）直線的普通方程為，，所以所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）點(diǎn)在直線上，且在圓內(nèi)，由已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）代入，得，設(shè)兩個(gè)實(shí)根為，則，即異號(hào)所以.點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1