第05講線段的垂直平分線（原卷版）

第05講線段的垂直平分線思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.線段的垂直平分線的性質(zhì)2.線段的垂直平分線的判定3.線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用4.尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線1.線段的垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.①如圖，直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3是l上的點(diǎn).試說明P1A=P1B.∵直線l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.又CA=CB，P1C=P1C，∴△P1CA≌△P1CB(SAS).∴P1A=P1B.幾何語(yǔ)言敘述：∵直線l垂直平分AB，P是直線l上任意一點(diǎn)，∴PA=PB.2.線段的垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.如圖，在△PAB中，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上？請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論？點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上作PC⊥AB，垂足為C，則∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分線，即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.幾何語(yǔ)言敘述：∵PA=PB;∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.3.尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；說明：作弧時(shí)的半徑必須大于的長(zhǎng)，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了；（2）作直線CD，CD即為所求直線；說明：線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.1.線段的垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.2.線段的垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、線段的垂直平分線的性質(zhì)例題：如圖，在中，，，垂直平分，的周長(zhǎng)為20，．(1)求的周長(zhǎng)．(2)求的度數(shù)．【解析】（1）∵垂直平分，∴，∵的周長(zhǎng)為20，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為；（2）∵在中，，，∴，∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為．【答案】【解析】是線段的垂直平分線，，，，，，故答案為：．2．如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于，交于，連接．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，且的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．【解析】（1）∵，∴，∵是邊的垂直平分線，∴，∴，∴；（2）∵，∴的周長(zhǎng)為，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴．考點(diǎn)二、線段的垂直平分線的判定例題：如圖，中，，連接是上一點(diǎn)且．(1)求證：垂直平分．(2)已知求的面積．【解析】（1），，∴點(diǎn)A在垂直平分線上，點(diǎn)E在垂直平分線上，垂直平分；（2）中，，，，，過點(diǎn)作于，，的面積．【變式訓(xùn)練】1.如圖，為等邊三角形，，，相交于點(diǎn)E．(1)求證：垂直平分；(2)求的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，則的最小值為______．（直接寫出結(jié)果）．【解析】（1）∵是等邊三角形，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴垂直平分；（2）∵，∴平分，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）連接交于點(diǎn)，連接，∵是的垂直平分線，的最小值為是的中點(diǎn)，故答案為：6．2.如圖，是等邊三角形，是中線，延長(zhǎng)至，使．(1)求證：；(2)過點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，DF交于，連接．①若，則．②求證：垂直平分．【解析】（1）是等邊三角形，是中線，，，又，，又，，，；（2）①∵是等邊三角形，是中線，∴，，根據(jù)解析（1）可知，，∴，∵，∴，根據(jù)（1）可知，，∴，∵，∴，解得；故答案為：8；②∵，，為的中線，∴∵，，，，，是等邊三角形，，，垂直平分．考點(diǎn)三、線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例題：如圖，地面上有三個(gè)洞口A、B、C，老鼠可以從任意一個(gè)洞口跑出，貓為能同時(shí)最省力地顧及到三個(gè)洞口（到A、B、C三個(gè)點(diǎn)的距離相等），盡快抓到老鼠，應(yīng)該蹲守在(

)A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高所在直線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【答案】A【解析】∵貓所在的位置到A、B、C三個(gè)點(diǎn)的距離相等，∴貓應(yīng)該蹲守在三邊垂直平分線的交點(diǎn)處；故選A．【變式訓(xùn)練】1．如圖，某一個(gè)城市在一塊空地新建了三個(gè)居民小區(qū)，它們分別為，且三個(gè)小區(qū)不在同一直線上，要想規(guī)劃一所中學(xué)，使這所中學(xué)到三個(gè)小區(qū)的距離相等．這所中學(xué)應(yīng)建在（

）A．的三條中線的交點(diǎn) B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】B【解析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．則學(xué)校應(yīng)建在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：B．考點(diǎn)四、尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線例題：如圖，已知在中，．

(1)用尺規(guī)作邊的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E，連接，若的周長(zhǎng)是10，求．【解析】（1）如圖，即為所求；；（2）∵是邊的垂直平分線，∴，∵，∴，∵的周長(zhǎng)是10，∴．∴．【變式訓(xùn)練】1．某公司招收職工的試卷中有道題：如圖，有三條兩兩相交的公路，為便于及時(shí)進(jìn)行監(jiān)控，防止違章，這個(gè)監(jiān)控儀器應(yīng)安裝在什么位置可以使離三個(gè)路口的交叉點(diǎn)的距離相等，你能找到這個(gè)監(jiān)控安裝的位置嗎？（尺規(guī)作圖，不寫過程，保留作圖痕跡）【解析】如圖，點(diǎn)P為這個(gè)監(jiān)控安裝的位置．2．如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)以及直線．(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線上求作一點(diǎn)，使．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）；(2)在（1）中所作的圖中，連接，若，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．求證：【解析】（1）點(diǎn)如圖所示，；（2）∵，，，∴，∵，∴，∴，，∴．過關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．如圖所示，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕妗皳尩首印庇螒颍笤谒麄冎虚g放一個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘模ǎ〢．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)3．如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，以下四個(gè)結(jié)論，正確的有（

）①；②；③平分；④四邊形的面積．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，已知∠AOB=30°，P是∠AOB內(nèi)部的一點(diǎn)，且OP=4，點(diǎn)M，N分別是射線OB和射線OA上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題5．如圖，在中，已知，，為的垂直平分線，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且，則的長(zhǎng)為．

6．如圖，在中，，分別以，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線，與，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)，時(shí)，則的周長(zhǎng)是．7．如圖，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)分別是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，且連接分別交，于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)．8．如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，將沿（在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，則度數(shù)為．三、解答題9．已知：如圖，點(diǎn)A，B分別在線段上，分別為線段的垂直平分線．求的度數(shù)．10．如圖，在中，邊上的垂直平分線與、分別交于點(diǎn)D、E，且．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．11．如圖，已知為的角平分線．(1)按要求補(bǔ)充完圖形．用尺規(guī)作圖：作邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(2)若，求的度數(shù)．12．如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)，連接．(1)若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．13．如圖，在中，，分別垂直平分和，交于M