《2 排列的計算》知識清單

《2排列的計算》知識清單一、排列的定義1、概念從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。這里要注意“不同元素”和“按照一定順序”這兩個關(guān)鍵。比如說，從1、2、3這三個數(shù)字中取兩個數(shù)字排列，12和21就是不同的排列，因?yàn)轫樞虿灰粯印?、排列數(shù)從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A??（這里用A??表示，n在下，m在上，實(shí)際書寫時是A的右下角寫n，右上角寫m）表示。排列數(shù)公式：A??＝n(n1)（n2)…（nm+1)。這個公式可以這樣理解，當(dāng)我們要從n個元素里選m個進(jìn)行排列的時候，第一個位置有n種選擇，第二個位置因?yàn)橐呀?jīng)選了一個元素，所以就有n1種選擇，以此類推，第m個位置就有n(m1)＝nm+1種選擇，然后把這些選擇的可能性相乘就是排列數(shù)了。例如，從5個元素中選3個元素的排列數(shù)A?3，就等于5×4×3=60。二、排列數(shù)的計算1、全排列當(dāng)m＝n時，排列稱為全排列，排列數(shù)A??=n(n1)（n2)…3×2×1，這個式子還可以寫成A??=n!，n!表示n的階乘，就是從1到n的所有正整數(shù)的乘積。比如，A??＝4×3×2×1＝24。2、排列數(shù)計算中的化簡與求值在計算排列數(shù)的時候，要注意先按照公式展開，然后再進(jìn)行計算。比如計算A??，根據(jù)公式A??＝7×6×5×4＝840。有時候可能會遇到含有排列數(shù)的方程或者不等式，這時候要把排列數(shù)公式代入，然后再求解。例如，已知A?3＝60，根據(jù)排列數(shù)公式A?3=n(n1)（n2)，我們可以得到n(n1)（n2)＝60，解這個方程，先嘗試一些小的整數(shù)，當(dāng)n＝5時，5×4×3＝60，所以n＝5。三、排列的應(yīng)用1、簡單的排列問題在解決一些簡單的實(shí)際問題時，要先確定是排列問題，也就是看元素的選取是否與順序有關(guān)。比如，從5名同學(xué)中選3名同學(xué)站成一排拍照，這就是一個排列問題，因?yàn)檎镜捻樞虿煌掌筒灰粯?。然后再根?jù)排列數(shù)公式計算，這里就是A?3＝5×4×3＝60種不同的站法。2、有條件限制的排列問題當(dāng)有特殊條件限制的時候，要先考慮特殊元素或者特殊位置。比如，用0、1、2、3、4這5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，因?yàn)榘傥徊荒転?，所以百位這個特殊位置有4種選擇（1、2、3、4），十位就有4種選擇（剩下的4個數(shù)字），個位有3種選擇（剩下的3個數(shù)字），根據(jù)乘法原理，一共有4×4×3＝48個不同的三位數(shù)。習(xí)題1、計算A?2＝＿_(dá)__________。2、已知A?2＝20，求n＝＿_(dá)__________。3、從6名男生和4名女生中選3人參加演講比賽，要求至少有1名女生，共有多少種不同的選法（先考慮用排列的方法來解決這個問題哦）？答案1、A?2＝6×（61)＝6×5＝30。2、根據(jù)A?2=n(n1)＝20，即n2n20＝0，分解因式得(n5)（n+4)＝0，解得n＝5或者n=－4（因?yàn)閚是元素個數(shù)，不能為負(fù)數(shù)，所以舍去），所以n＝5。3、方法一：可以用間接法，先算出從10個人中選3個人的總選法A??3＝10×9×8＝720種，然后算出沒有女生（全是男生）的選法A?3＝6×5×4＝120種，那么至少有1名女生的選法就是720120＝600種。方法二：直接法，分三種情況。有1名女生2名男生的選法：C?1×C?2（這里C?1表示從4個女生中選1個女生的組合數(shù)，C?2表示從6個男生中選2個男生的組合數(shù)，組合數(shù)后面會學(xué)到，這里先按照這個思路理解，C?1＝4，C?2=6×5÷2＝15，所以這種情況有4×15＝60種選法）；有2名女生1名男生的選法：C?2×C?