第二章直線和圓的方程（滿分練）-2020-2021學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)制勝寶典（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第二章直線和圓的方程（滿分練）-2020-2021學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)制勝寶典（人教A版2019選擇性必修第一冊）1．直線l：（）與圓C：交于兩點P?Q，則弦長的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過直線轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點，說明直線被圓截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線垂直，由勾股定理即可得到最短弦長．【解答】解：由直線得：，令解得故恒過定點．因為，則點在圓的內(nèi)部，直線與圓相交．圓心，半徑為，，當(dāng)截得的弦長最小時，，最短的弦長是．因為直線l：的斜率存在，故不能取到最小值，再由經(jīng)過圓心時弦長最長為，則．故選：．【點評】本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識的運用，考查計算能力，屬于中檔題．2．過點與點(7,0)的直線l1，過點(2,1)與點(3，k＋1)的直線l2與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形內(nèi)接于一個圓，則實數(shù)k為()A．－3 B．3C．－6 D．6【答案】B【分析】根據(jù)四點共圓的條件可知，四邊形的2個對角之和是180°，即l1與l2是相互垂直的，利用兩條直線斜率的乘積為-1，即可得到結(jié)論．【解答】.由已知得l1⊥l2，∴×k＝－1，∴k＝3．【點評】本題主要考查直線垂直與直線斜率之間的關(guān)系，利用四點共圓得到直線垂直是解決本題的關(guān)鍵．3．若直線被圓截得的弦長為，則的最小值為（）A． B． C．5 D．7【答案】B【分析】由題意結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得直線經(jīng)過圓心即，再由基本不等式即可得解.【解答】由題得圓的方程可以化為，所以圓心為，半徑為，因為直線被圓截得的弦長為，所以直線經(jīng)過圓心，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故選：B.【點評】本題考查了直線與圓位置關(guān)系、基本不等式求最值的應(yīng)用，考查了運算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.4．已知圓的圓心為原點，且與直線相切.點在直線上，過點引圓的兩條切線，，切點分別為，，如圖所示，則直線恒過定點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓的圓心為原點且與直線相切即得圓的方程，又，是它的切線，可知，一定在以為直徑為圓心的圓上，即為兩圓的公共弦，即可求出直線的方程，進而找到定點【解答】依題意知，圓的半徑且圓心為∴圓的方程為∵，是圓的兩條切線∴，，即，在以為直徑的圓上若設(shè)點的坐標(biāo)為，，則線段的中點坐標(biāo)為∴以為直徑的圓的方程為，，化簡得，∵為兩圓的公共弦∴直線的方程為，，即∴直線恒過定點故選：A【點評】本題考查了圓的切點弦過定點問題，首先根據(jù)已知條件求出兩圓方程，由兩圓過相同的兩點，即有公共直線求出切點弦的直線方程，進而確定定點5．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線已知的頂點，則的歐拉線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出的歐拉線即為線段的垂直平分線，然后求出線段的垂直平分線的方程即可.【解答】因為，所以線段的中點的坐標(biāo)，線段所在直線的斜率，則線段的垂直平分線的方程為，即，因為，所以的外心、重心、垂心都在線段的垂直平分線上，所以的歐拉線方程為.故選：D【點評】本題主要考走查直線的方程，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出歐拉線，屬于中檔題.6．阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題:平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線軸，建立直角坐標(biāo)系，得出點、的坐標(biāo)，設(shè)點，利用兩點間的距離公式結(jié)合條件得出點的軌跡方程，然后利用坐標(biāo)法計算出的表達式，再利用數(shù)形結(jié)合思想可求出的最小值.【解答】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線軸，建立直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)，，，兩邊平方并整理得，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則有，如下圖所示：當(dāng)點為圓與軸的交點（靠近原點）時，此時，取最小值，且，因此，，故選A.【點評】本題考查動點的軌跡方程的求法，考查坐標(biāo)法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用數(shù)形結(jié)合思想，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為距離求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及運算求解能力，屬于中等題.7．若直線被圓所截得的弦長為,則實數(shù)的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】利用垂徑定理，結(jié)合點到線的距離公式求解.【解答】由圓可知，圓心，半徑為：，若直線被圓所截得的弦長為，則由垂徑定理可知圓心到直線的距離：，故，解得或.故選：A.【點評】本題考查直線與圓相交時弦長的求解，考查點到線距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．若直線與圓有兩個不同的公共點，那么點與圓的位置關(guān)系是（）．A．點在圓外 B．點在圓內(nèi) C．點在圓上 D．不能確定【答案】A【分析】直線與圓有兩個公共點，可得，即為，由此可得點與圓的位置關(guān)系．【解答】解：因為直線與圓有兩個公共點，所以有，即，因為點與的圓心的距離為，圓的半徑為2，所以點在圓外.故選:A．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法有：1.圓心到直線的距離與半徑做比較；2.聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)方程組根的個數(shù)進行判斷．9．在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，當(dāng)，變化時，的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由點到直線的距離表示出，利用輔助角公式和絕對值的三角不等式化簡得，即可求出的最大值.【解答】由題意，點到直線的距離為，則，其中，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最大值，即.故選：C【點評】本題主要考查點到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)、輔助角公式和絕對值的三角不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計算能力，屬于中檔題.10．已知點是直線上一動點、是圓的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結(jié)合點到直線的距離公式可求出的值.【解答】如下圖所示，由切線長定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線與直線垂直時，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【點評】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動點的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.11．已知圓，圓，分別為圓上的點，為軸上的動點，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【解答】如圖所示，圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為,，半徑為3，由圖象可知，當(dāng)三點共線時，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑之和，即，故選D．【點評】本題主要考查了圓的對稱圓的方程的求解，以及兩個圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理利用兩個圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．一條光線從點射出，經(jīng)直線反射后與圓相切，則反射光線所在直線的方程的斜率為（）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】先求得關(guān)于直線的對稱點，由此設(shè)出反射光線所在直線的方程，利用圓心到反射光線所在直線的距離等于半徑列方程，由此求得反射光線所在直線的斜率.【解答】設(shè)，，直線的斜率為，所以直線和直線垂直；的中點坐標(biāo)為即，在直線上，所以點關(guān)于直線的對稱點為，由題可知反射光線所在直線的斜率存在，點在反射光線所在直線上．設(shè)反射光線所在直線方程為，即．∵圓的方程可化為，圓心為，半徑為1，，解得，即．故選：C【點評】本小題主要考查點和直線的位置關(guān)系，考查直線和圓的位置關(guān)系.13．已知實數(shù)x，y滿足x＋y－3＝0，則的最小值是()A． B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】把問題化為“直線的上點與定點的距離”，即從“點向直線作垂線段”，由點到直線的距離公式可得結(jié)果.【解答】點滿足直線：x＋y－3＝0，則表示直線上的點P(x，y)與定點A(2，－1)的距離，其最小值是點A到直線：x＋y－3＝0作垂線段為最短，所以點A到直線的距離為d＝＝，即所求的最小值是，故選A．【點評】本題主要考查兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，意在考查對基本公式掌握的熟練程度，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.14．過點和點的直線與過點和點的直線的位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．平行或重合 D．相交或重合【答案】C【分析】利用兩點連線斜率公式求出兩條直線斜率，根據(jù)斜率關(guān)系以及是否有公共點可判斷出兩條直線位置關(guān)系.【解答】由題意知：，當(dāng)時，與沒有公共點當(dāng)時，與有公共點與重合與平行或重合本題正確選項：【點評】本題考查兩條直線位置關(guān)系的判斷，關(guān)鍵是利用兩點連線斜率公式求得斜率，易錯點是忽略兩條直線是否有公共點.15．已知直線與直線互相垂直，垂足為，則的值為（）A．20 B．－4 C．0 D．24【答案】B【分析】結(jié)合直線垂直關(guān)系，得到a的值，代入垂足坐標(biāo)，得到c的值，代入直線方程，得出b的值，計算，即可．【解答】直線的斜率為,直線的斜率為,兩直線垂直,可知，將垂足坐標(biāo)代入直線方程，得到，代入直線方程，得到，所以，故選B．【點評】考查了直線垂直滿足的條件，關(guān)鍵抓住直線垂直斜率之積為-1，計算，即可，難度中等．16．已知直線與圓交于A，B兩點，且與x軸，y軸分別交于C，D兩點，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離和半徑，可得，再求出，即可求出結(jié)果.【解答】依題意得，點C的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為，所以，故有.故選：A【點評】本題考查直線和圓相交的弦長問題，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題目.17．過點作直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，所圍成的三角形面積為2，則這樣的直線l有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．0條【答案】A【分析】設(shè)直線的截距式方程，根據(jù)直線過點，可得，根據(jù)面積公式，得，聯(lián)立方程組，求解后即可判斷.【解答】根據(jù)題意設(shè)方程，已知直線過過點，可得①，根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，可知②，聯(lián)立①②解得，即滿足條件的直線方程為故選A.【點評】本題考查了求直線的截距式方程，考查了直線方程形式的靈活應(yīng)用，當(dāng)題目中涉及直線與坐標(biāo)軸的兩個截距，求直線時，可選用截距式進行求解.18．在圓：中，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（）A．6 B．12 C．24 D．36【答案】B【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得到其圓心坐標(biāo)與半徑,再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得?的值,進而求出答案.【解答】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,其圓心為,半徑,過點最長的弦長是直徑,故,最短的弦是與垂直的弦,又,所以,即,所以四邊形的面積,故選:B.【點評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì),解題關(guān)鍵是明確和的位置關(guān)系,難度不大.19．到直線的距離為2的直線方程是（）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】設(shè)到直線3x﹣4y﹣1=0的距離為2的直線方程是3x﹣4y+c=0，由兩平行線間的距離公式得解方程求出c值，即得所求的直線的方程．【解答】設(shè)到直線3x﹣4y﹣1=0的距離為2的直線方程是3x﹣4y+c=0，由兩平行線間的距離公式得，c=﹣11，或c=9．∴到直線3x﹣4y﹣1=0的距離為2的直線方程是3x﹣4y﹣11=0，或3x﹣4y+9=0，故選B．【點評】本題考查用待定系數(shù)法求平行直線方程的方法，以及兩平行線間的距離公式的應(yīng)用．是基礎(chǔ)題.20．已知圓關(guān)于直線對稱，則圓C中以為中點的弦長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】圓關(guān)于直線對稱即說明直線過圓心，即可求出，即可由中點弦求出弦長.【解答】依題意可知直線過圓心，即，．故．圓方程配方得，與圓心距離為1，故弦長為．故選D．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用中點弦三角形解弦長，屬于基礎(chǔ)題。21．若直線被圓截得的弦長為，則________.【答案】2【分析】求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式列方程求解.【解答】圓心到直線的距離，因為直線被圓截得的弦長為，所以，所以.故答案為：2【點評】此題考查根據(jù)直線與圓形成的弦長關(guān)系求參數(shù)的值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出圓心到直線的距離，熟練掌握弦長公式.22．已知：，，，，，一束光線從點出發(fā)發(fā)射到上的點經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點）斜率的范圍為____________.【答案】【分析】先作出關(guān)于的對稱點，再作關(guān)于的對稱點，因為光線從點出發(fā)射到上的點經(jīng)反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過關(guān)于直線的對稱點點，又因為再經(jīng)反射，反射光線經(jīng)過關(guān)于直線的對稱點，所以只需連接交與點，連接分別交為點，則之間即為點的變動范圍．再求出直線的斜率即可．【解答】∵，∴直線方程為，直線方程為,如圖，作關(guān)于的對稱點，則，再作關(guān)于的對稱點，則,

連接交與點，則直線方程為,∴，連接分別交為點，

則直線方程為，直線方程為，

∴，連接，

則之間即為點

的變動范圍．

∵直線方程為，直線的斜率為

∴斜率的范圍為

故答案為：.【點評】本題主要考查入射光線與反射光線之間的關(guān)系，入射光線與反射光線都經(jīng)過物體所成的像，據(jù)此就可找到入射點的范圍，解決此類問題時，關(guān)鍵在于求出點關(guān)于直線的對稱點，屬于中檔題.23．若直線上存在點可作圓的兩條切線，切點為，且，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】試題分析：若，則，直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點，由圓心到直線的距離公式可得,解之可得.考點：點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運用.【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運用，涉及到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及學(xué)生的推理與運算能力，本題的解答中直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點是解答的關(guān)鍵．24．若過原點的動直線將圓分成的兩部分面積之差最大時，直線與圓的交點記為、；將圓分成的兩部分面積相等時，直線與圓的交點記為、；則四邊形的面積為_________．【答案】.【分析】直線將圓分成面積相等的兩部分即直線過圓心；直線將圓分成的兩部分面積之差最大，即過點的弦長最短時，據(jù)此求四邊形的面積即可.【解答】直線將圓分成面積相等的兩部分即直線過圓心，可得此時為直徑，，若直線將圓分成的兩部分面積之差最大，如下圖：，當(dāng)過原點的弦垂直于過此點直徑時，最大，此時，在中，，則，那么．故答案為:【點評】此題考查了直線和圓的位置關(guān)系，充分利用平面幾何中直線和圓性質(zhì)可以化簡問題，屬于中檔題.25．在平面直角坐標(biāo)系中，定點，動點滿足，，則的最小值為________.【答案】【分析】設(shè)點，由，求得，得到點,都在以為圓心，為半徑的圓上，點為圓內(nèi)一點，結(jié)合圓的弦長公式，即可求解.【解答】設(shè)點，由，可得，即，因為動點滿足，所以點,都在以為圓心，為半徑的圓上，點為圓內(nèi)一點，又因為，可得三點共線，由圓的性質(zhì)，可得當(dāng)時弦長度最小，最小值為.故答案為：.【點評】本題主要考查了圓的方程，以及直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中合理轉(zhuǎn)化，利用圓的弦長公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計算能力.26．已知，為正數(shù)，且直線與直線互相垂直，則的最小值為______.【答案】9【分析】由直線與直線互相垂直，可得，進而根據(jù)基本不等式可得的最小值．【解答】直線與直線互相垂直，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：9【點評】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.27．直線與曲線有且僅有一個公共點，則的取值范圍是______.【答案】或【分析】把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，進而畫出圖象來，要使直線與曲線有且只有一個交點，那么很容易從圖上看出其三個極端情況，分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線與和另一個點，以及與曲線交于點，分別求出，則的范圍可得.【解答】解：由曲線，可得，表示一個半圓.如下圖可知，，，，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，求得；當(dāng)直線經(jīng)過點，點時，，求得；當(dāng)直線和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得或（舍），故的取值范圍為或.故答案為：或.【點評】本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.28．已知直線x＋y－2＝0與圓O：x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B兩點，C為圓周上一點，線段OC的中點D在線段AB上，且，則r＝________．【答案】【分析】求出原點到直線的距離，令，由可得：，分別在Rt△ODE和Rt△OAE中列方程，解方程即可.【解答】如圖，過O作OE⊥AB于E，連接OA，則|OE|＝，易知|AE|＝|EB|，不妨令|AD|＝5m（m＞0），由可得：|BD|＝3m，|AB|＝8m，則|DE|＝4m－3m＝m，在Rt△ODE中，有①，在Rt△OAE中，有r2＝（）2＋（4m）2②，聯(lián)立①②，解得：r＝.故答案為：.【點評】本題主要考查平面向量的應(yīng)用、直線截圓所得弦長的計算以及直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題.29．已知曲線與直線交于,兩點,若直線,的傾斜角分別為、,則______．【答案】0【分析】由題意可以判斷出的度數(shù)與度數(shù)的關(guān)系,直線與曲線方程聯(lián)立,利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、平面向量夾角公式可以求出的大小.【解答】當(dāng)時,有；當(dāng)時,有,而,所以只要求當(dāng)時的大小就可以.設(shè),兩點坐標(biāo)為：,所以.直線與曲線方程聯(lián)立得：.因此有：故答案為：0【點評】本題考查直線與半圓的位置關(guān)系,考查了平面向量的夾角公式,考查了分類討論思想,考查了數(shù)學(xué)運算能力.30．已知兩點，直線過點且與線段相交，直線的斜率的取值范圍是______________.【答案】【分析】根據(jù)題意，畫出圖像，所求直線的斜率滿足,用直線的斜率公式分別求出的值，即可得出直線的斜率的取值范圍．【解答】如下圖，直線的斜率為，直線的斜率為.由圖可知直線的斜率的取值范圍是.【點評】本題主要考查過定點的直線斜率范圍問題．31．經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．【答案】（1）存在，；（2）存在；（3）不存在，【解析】試題分析：(1)根據(jù)直線上兩點坐標(biāo)求斜率，可得，結(jié)合，可得結(jié)果；(2)根據(jù)直線上兩點坐標(biāo)求斜率，可得，結(jié)合，可得結(jié)果；（3）根據(jù)直線上兩點橫坐標(biāo)相等可知直線的斜率不存在，傾斜角.試題解析：(1)存在．直線AB的斜率kAB＝＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.(2)存在．直線CD的斜率kCD＝＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝135°.(3)不存在．因為xP＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.32．某公園有A，B兩個景點，位于一條小路（直道）的同側(cè)，分別距小路和，且A，B景點間相距，今欲在該小路上設(shè)一觀景點，使兩景點在同時進入視線時有最佳觀賞和拍攝效果，則觀景點應(yīng)設(shè)在何處？【答案】觀景點應(yīng)設(shè)在B景點在小路的射影處.【分析】由平面幾何知識知，該點應(yīng)是過A，B兩點的圓與小路所在的直線相切時的切點，以小路所在直線為x軸，B點在y軸正半軸上，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)過A，B兩點且與x軸相切的圓的方程為，利用圓心在線段的垂直平分線上，且圓與軸相切，可求出，根據(jù)視角最大舍去一組解，可得圓的方程和切點坐標(biāo)，從而得解.【解答】所選觀景點應(yīng)該保證兩景點的視角最大.由平面幾何知識知，該點應(yīng)是過A，B兩點的圓與小路所在的直線相切時的切點.以小路所在直線為x軸，B點在y軸正半軸上，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.由題意，得，設(shè)過A，B兩點且與x軸相切的圓的方程為，因為圓心在線段的垂直平分線上，且易得線段的垂直平分線方程為.所以解得或又要求視角最大，所以，所以圓的方程為.令，可得切點坐標(biāo)為，所以觀景點應(yīng)設(shè)在B景點在小路的射影處.【點評】本題考查了圓的方程的應(yīng)用，考查了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.33．已知點，，圓是以的中點為圓心，為半徑的圓.（1）若圓的切線在軸和軸上截距相等，求切線方程；（2）若是圓外一點，從向圓引切線，為切點，為坐標(biāo)原點，，求使最小的點的坐標(biāo).【答案】（1），，；（2）.【解析】試題分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，依題意得，，，所以圓的方程為.下面分兩種情況討論，第一種情況，若截距均為，即圓的切線過原點，則可設(shè)該切線為，利用圓心到直線的距離等于半徑，可求得；第二種情況，若截距不為，可設(shè)切線為，同理利用圓心到直線的距離等于半徑求得或.綜上求得切線方程為，，；（2）題意，所以，即，整理得.而時，取得最小值.此時點的坐標(biāo)為.試題解析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，依題意得，，∴圓的方程為（?。┤艚鼐嗑鶠?，即圓的切線過原點，則可設(shè)該切線為，即，則有，解得此時切線方程為或.（ⅱ）若截距不為0，可設(shè)切線為即，依題意，解得或3此時切線方程為或.綜上：所求切線方程為，，.（2）∵，∴即，整理得而時，取得最小值.此時點的坐標(biāo)為.考點：直線與圓的位置關(guān)系．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程，二次函數(shù)求最值等知識.題目一開始給了圓的直徑上的兩個端點的坐標(biāo)，利用這兩個條件，先求圓心和半徑，這樣就求出了圓的方程.由于圓的切線在軸和軸上截距相等，截距相等有兩種情況，一種是截距都為零，另一種是截距不為零，分成兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑來求得切線方程.第二問則是利用條件，先求出的表達式，這個表達式是根號下含有二次函數(shù)的形式，故可以用配方法或代入對稱軸求得最小值.34．是否存在實數(shù)，使直線和點的距離等于6？【答案】不存在【分析】將此直線方程變形為.可求得直線恒過點，由圖可知點到直線距離的最大值為，即可得出結(jié)論.【解答】因為直線方程變形為.所以，直線恒過兩直線及的交點，計算可得交點.因為點到這些過點的直線的距離中，最大距離為，故這些直線中，與點距離為6的直線是0條，所以，不存在這樣的實數(shù)，使直線：和點的距離等于6.【點評】本題考查了直線恒過定點問題，考查了點與線的距離的最值問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.35．已知直線，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方．（1）求圓的方程．（2）設(shè)過點的直線被圓截得的弦長等于，求直線的方程．（3）若一條直線過點且與圓交于兩點（在軸上方，在軸下方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）存在，的坐標(biāo)為.【分析】（1）設(shè)出圓心，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于4，確定圓心坐標(biāo)，即可得圓的方程.（2）根據(jù)垂徑定理及勾股定理，由過點的直線被圓截得的弦長等于，分斜率存在與不存在兩種情況討論，即可求出直線的方程.（3）當(dāng)軸時，則軸平分，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出方程與圓的方程聯(lián)立，結(jié)合，即可求出點的坐標(biāo).【解答】（1）設(shè)圓心，則，解得或（舍）．故圓的方程為．（2）由題意可知圓心到直線的距離為．若直線的斜率不存在，則直線，此時圓心到直線的距離為1；若直線的斜率存在，設(shè)直線，即，則有，解得，此時直線．綜上，直線的方程為或．（3）當(dāng)直線軸時，對軸正半軸上任意一點軸平分；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得，若軸平分，則，即，即，即，即，解得．綜上，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，軸平分．【點評】本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，涉及知識有：垂徑定理、勾股定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點到直線的距離公式、以及斜率的計算，屬于中檔題.36．過點作直線??分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點.(1)當(dāng)△AOB面積最小時，求直線??的方程；(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時，求直線??的方程.【答案】（1）；（2）【分析】由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為，代點可得，（1）由基本不等式可得，由等號成立的條件可得和的值，由此得到直線方程，（2），由基本不等式等號成立的條件可得直線的方程．【解答】由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為，直線過點，，（1）由基本不等式可得，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，上式取等號，面積，則當(dāng)，時，面積最小，此時直線的方程為，即，（2）由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時取等號，所以當(dāng)，時，的值最小，此時直線的方程為，即．【點評】本題考查直線的截距式方程，涉及不等式求最值，屬于中檔題．37．已知實數(shù)，滿足方程.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為；（3）最大值為，最小值為.【分析】（1）設(shè)，即，當(dāng)直線與圓相切時，斜率取得最大值和最小值，解方程即得解；（2）設(shè)，當(dāng)與圓相切時，縱截距取得最大值和最小值，解方程即得解；（3）最大值和最小值分別為圓心到原點的距離與半徑的和與差的平方.【解答】（1）方程表示以點為圓心，為半徑的圓，設(shè)，即，當(dāng)直線與圓相切時，斜率取得最大值和最小值，此時，解得.故的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，即，當(dāng)與圓相切時，縱截距取得最大值和最小值，此時，即.故的最大值為，最小值為.（3）表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，它在過原點和圓心的直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為2，故，.【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查點到圓上的點的距離的最值的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.38．已知直線l：y＝－x＋1，試求：(1)點P(－2，－1)關(guān)于直線l的對稱點坐標(biāo)；(2)直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱的直線l2的方程；(3)直線l關(guān)于點A(1,1)對稱的直線方程．【答案】（1）（2）7x－y－14＝0（3）x＋2y－4＝0【分析】（1）設(shè)出對稱點的坐標(biāo)，利用中點在對稱軸上以及斜率乘積等于列方程組，解方程組求得對稱點的坐標(biāo).（2）設(shè)上一點的坐標(biāo)，以及該點對稱點的坐標(biāo)，利用（1）的方法求得兩個對稱點的坐標(biāo)的關(guān)系式，代入直線的方程，化簡后求得的方程.（3）設(shè)出對稱直線上任意一點的坐標(biāo)，和對稱點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式得到兩者的的坐標(biāo)關(guān)系，代入直線的方程求得對稱直線的方程.【解答】解:(1)設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P′(x0，y0)，則線段PP′的中點M在直線l上，且PP′⊥l.所以，解得，即.（2）直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱的直線為l2，則l2上任一點P1(x，y)關(guān)于l的對稱點P1′(x′，y′)一定在直線l1上，反之也成立．由得把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0.即直線l2的方程為7x－y－14＝0.(3)設(shè)直線l關(guān)于點A(1,1)的對稱直線為l′，直線l上任一點P2(x1，y1)關(guān)于點A的對稱點P2′(x，y)一定在直線l′上，反之也成立．由得，將(x1，y1)代入直線l的方程得：x＋2y－4＝0，∴直線l′的方程為x＋2y－4＝0.【點評】本小題主要考查點關(guān)于直線對稱點的求法，考查直線關(guān)于點的對稱直線的求法，考查直線關(guān)于直線對稱的直線的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.解題關(guān)鍵點在于利用對稱問題，中點和斜率的對應(yīng)關(guān)系來列方程組求解.39．根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：(1)經(jīng)過點A(－1,2)，B(4，－2)；(2)在y軸上的截距是2，且與x軸平行；【答案】（1）4x＋5y－6＝0（2）y＝2【分析】（1）根據(jù)直線方程兩點式，寫出直線方程并化為一般式.（2）根據(jù)直線的截距和與軸平行，寫出直線方程.【解答】解:(1)由兩點式方程，得，整理得.（2）由于直線和軸平行且縱截距為，所以直線方程為.【點評】本小題主要考查直線的兩點式方程，考查平行于軸的直線方程的表示，屬于基礎(chǔ)題.40．已知不交于同一點的三條直線：4x＋y－4＝0，：mx＋y＝0，：x－my－4＝0.(1)當(dāng)這三條直線不能圍成三角形時，求實數(shù)m的值；(2)當(dāng)與，都垂直時，求兩垂足間的距離．【答案】(1)m＝4或m＝－(2)【分析】（1）三條直線不能圍成三角形時，至少有兩條直線平行，分類討論可得；（2）當(dāng)與都垂直時可得m的值，兩垂足間的距離即為平行線和的距離，由平行線間的距離公式可得.【解答】(1)因為三條直線不交于同一點，所以三條直線不能圍成三角形時，至少有兩直線平行，當(dāng)直線和平行時，4－m＝0，解得m＝4；當(dāng)直線和平行時，－m2－1＝0，無解；當(dāng)直線和平行時，－4m－1＝0，解得m＝－；綜上可得m＝4或m＝－；(2)當(dāng)與，都垂直時，m＝4，兩垂足間的距離即為平行線和的距離，∴d＝.【點評】該題考查的是根據(jù)直線的位置關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的值的問題，涉及到的知識點有兩直線平行的條件，以及平行線間的距離公式，屬于簡單題目.41．求過點，且在軸上的截距是軸上的截距的2倍的直線的方程．【答案】或．【分析】當(dāng)縱截距為0時，設(shè)直線方程為y=kx，代入點(5,2)求得k的值，.當(dāng)縱截距不為0時，設(shè)直線的截距式方程，代入點(5,2)求解.【解答】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時，因為直線過點，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時，設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又直線過點，∴，解得，∴直線的方程為．綜上;直線的方程為或．【點評】本題主要考查直線的斜截式方程和截距式方程，屬于基礎(chǔ)題.42．已知圓和(1)求證：圓和圓相交；(2)求圓和圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】(1)本題可先通過圓和圓的方程得出它們的圓心和半徑長，再通過用圓心距和兩圓的半徑之和以及兩圓的半徑之差作對比，即可得出結(jié)果；(2)可先通過兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程，再通過圓心到公共弦的距離以及半徑利用勾股定理得出結(jié)果．【解答】(1)圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑兩圓圓心距所以，圓和相交；(2)圓和圓的方程相減，得，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為，圓心到直線的距離為：故公共弦長為【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及其判定、兩圓的公共弦所在直線的方程的求法以及公共弦長，屬中檔題．圓和圓的位置關(guān)系有：相交，相離，相切幾種關(guān)系，通過判斷圓心的距離和半徑的和與差的關(guān)系即可．43．已知圓：與軸相切，為坐標(biāo)原點，動點在圓外，過作圓的切線，切點為.（1）求圓的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）若點運動到處，求此時切線的方程；（3）求滿足條件的點的軌跡方程.【答案】（1）圓心，半徑為1；（2）或；（3）【分析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓與軸相切得，求得及半徑即可；（2）分別考慮切線斜率存在與不存在兩種情況，利用圓心到切線的距離等于半徑，即可求出切線方程；（3）設(shè)點，分別求出和的長度，利用求出點軌跡方程.【解答】（1）由題意，圓的方程可化為，因為圓與軸相切，所以，得，所以圓：，圓的圓心，半徑為1；（2）由題意，當(dāng)直線斜率不存在時，直線：，圓心到直線的距離，此時直線與圓相切；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線：，圓心到直線的距離，解得，所以直線：；綜上，切線的方程為或；（3）設(shè)點，，，由，得，所以，整理得，，即點的軌跡方程：【點評】本題主要考查圓的方程、圓切線方程的求法、切點弦長度的求法和軌跡方程的求法，注意求切線方程時考慮切線斜率存在和不存在兩種情況，屬于中檔題.44．已知方程表示的圖形是一個圓.（1）求的取值范圍；（2）求其中面積最大的圓的方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）把已知方程用配方法化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再由r2＞0求出t范圍；（2）當(dāng)半徑最大時圓的面積最大，由（1）知，，且，故當(dāng)t=時，半徑取得最大值，從而得面積最大時圓的方程.【解答】圓的方程可化為.（1）由題意知，，解得.（2）設(shè)圓的半徑為，則.因為，所以當(dāng)時，半徑取得最大值.當(dāng)圓的半徑最大時，圓的面積最大，此時所求圓的方程為.【點評】本題考查了二元二次方程表示圓的條件，考查了圓的面積與半徑的關(guān)系；可用配方法將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式后，利用r2＞0求出參數(shù)的范圍；求半徑的最大值時，需要注意t的取值范圍.45．已知以點C（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O和點A，與y軸交于點O和點B，其中O為原點．（1）求證：△OAB的面積為定值；（2）設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若OM＝ON，求圓C的方程．【答案】（1）證明見解析（2）圓C的方程為（x－2）2＋（y－1）2＝5【分析】（1）先求出圓C的方程（x－t）2＋＝t2＋，再求出|OA|,|0B|的長，即得△OAB的面積為定值；（2）根據(jù)t得到t＝2或t＝－2，再對t分類討論得到圓C的方程．【解答】（1）證明：因為圓C過原點O，所以O(shè)C2＝t2＋.設(shè)圓C的方程是（x－t）2＋＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4，即△OAB的面積為定值．（2）因為OM＝ON，CM＝CN，所以O(shè)C垂直平分線段MN.因為kMN＝－2，所以kOC＝.所以t，解得t＝2或t＝－2.當(dāng)t＝2時，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），OC＝，此時，圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝<，圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點．符合題意，此時，圓的方程為（x－2）2＋（y－1）2＝5.當(dāng)t＝－2時，圓心C的坐標(biāo)為（－2，－1），OC＝，此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝.圓C與直線y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合題意，舍去．所以圓C的方程為（x－2）2＋（y－1）2＝5.【點評】本題主要考查圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.46．已知圓C：x2＋y2－x＋2y＝0和直線l：x－y＋1＝0.(1)試判斷直線l與圓C之間的位置關(guān)系，并證明你的判斷；(2)求與圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程．【答案】（1）見解析；（2）【分析】(1)求出圓心與直線的距離與半徑比較，即可得出結(jié)論.(2)求出圓心C關(guān)于直線l對稱點，即可求得圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程.【解答】(1)直線l與圓C的位置關(guān)系是相離．證明如下：由整理，得，即圓C的圓心，半徑.圓心到直線l：x－y＋1＝0的距離，d＞r，即直線l與圓C相離．(2)設(shè)圓心C關(guān)于直線l的對稱點為C′(x，y)，則CC′的中點在直線l上，且CC′⊥l，∴解得即對稱圓的圓心為，對稱圓的半徑，方程為【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點關(guān)于直線對稱的應(yīng)用.47．設(shè)橢圓的方程為，點為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點在線段上，滿足，直線的斜率為.（1)求的離心率；（2)設(shè)點的坐標(biāo)為，為線段的中點，點關(guān)于直線的對稱點的縱坐標(biāo)為，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）因為，可以求出M點的坐標(biāo)，利用直線的斜率為可以推導(dǎo)出之間的關(guān)系