山東省東營(yíng)市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.22.函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為（）A. B.6 C. D.123.已知與不共線(xiàn)，若與共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值為（）A. B. C. D.4.下列不等式成立的是（）A. B. C. D.5.某同學(xué)站立在雨中水平撐傘，始終保持傘面的下邊緣距離地面，當(dāng)雨與地面成斜降下來(lái)時(shí)，要使腳恰好不被雨淋濕，腳與傘邊緣的水平距離（單位：m）為（）A. B. C. D.6.在中，角所對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形7.如圖，已知，則（）A. B.C D.8.已知，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A若，則B.若，則C.若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為D.若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為10.函數(shù)（，，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.BC.的解集為D.把函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到的圖象11.一個(gè)表面被涂滿(mǎn)紅色的棱長(zhǎng)是4的正方體，將其均勻分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，下列結(jié)論正確的是（）A.共得到64個(gè)小正方體B.由所有兩面是紅色的小正方體組成的長(zhǎng)方體，其表面積最大為98C.由所有三面是紅色的小正方體組成的長(zhǎng)方體，其外接球的體積最小為D.取其中一個(gè)三面是紅色的小正方體，以小正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，截去八個(gè)相同的正三棱錐，所得幾何體表面紅色部分面積的最小值為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.已知，則______．13.在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD的中點(diǎn).若,則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____.14.已知四邊形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)_____，此時(shí)該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足．（1）求；（2）若是方程的一個(gè)根，求的值．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱(chēng)軸；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若是的外接圓上一點(diǎn)（與位于直線(xiàn)異側(cè)），且，求四邊形的面積．18.如圖，在正六棱錐中，．（1）求棱錐的高和斜高；（2）求直線(xiàn)到平面的距離；（3）若球是正六棱錐的內(nèi)切球，以底面正六邊形的中心為圓心，以?xún)?nèi)切球半徑為半徑的圓面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱錐的內(nèi)接幾何體，求該幾何體的側(cè)面積．19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是三角形內(nèi)部與其三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)．對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．已知中，角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．（1）求角；（2）若，求的周長(zhǎng)；（3）若，求實(shí)數(shù)的值．2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】代入復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意可知，.故選：C2.函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為（）A. B.6 C. D.12【答案】B【解析】【分析】函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離即為最小正周期，求解即可.【詳解】由正切函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離即為最小正周期，又最小正周期為，所以函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.故選：B.3.已知與不共線(xiàn)，若與共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量共線(xiàn)即可列出方程組求解.【詳解】由題意設(shè)，而與不共線(xiàn)，所以，解得.故選：A.4.下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式逐一判斷即可.詳解】對(duì)于A，由知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由有，故D正確.故選：D.5.某同學(xué)站立在雨中水平撐傘，始終保持傘面的下邊緣距離地面，當(dāng)雨與地面成斜降下來(lái)時(shí)，要使腳恰好不被雨淋濕，腳與傘邊緣的水平距離（單位：m）為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的直角三角形，利用三角函數(shù)和和差公式即可求解.【詳解】如圖，腳的位置位于點(diǎn)處，傘的邊緣位于點(diǎn)處，則腳與傘邊緣的水平距離為.由題意得，在中，，則，則，，.故選：.6.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理邊化角以及三角公式變形整理即可.【詳解】由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形狀為直角三角形.故選：B.7.如圖，已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】題中有90°，因此建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，，解得，所以.故選：A.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將所給的三角函數(shù)式展開(kāi)變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為D.若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BD【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示可判斷A，利用向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)求解C，利用投影向量的坐標(biāo)表示求解D.【詳解】對(duì)于A，若，則，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即，故B正確；對(duì)于C，若與的夾角為鈍角，則，即，且與不反向，當(dāng)時(shí)，，，與反向，所以，所以的取值范圍為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，時(shí)，，在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：BD.10.函數(shù)（，，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.的解集為D.把函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到的圖象【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象直接可得，再根據(jù)函數(shù)圖象中的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可判斷A選項(xiàng)，再直接代入可判斷B選項(xiàng)，解不等式直接可判斷C選項(xiàng)，再根據(jù)函數(shù)的伸縮平移變換可判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由圖可知，且，即，解得，又，所以，所以，又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得，，又，所以，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，即，則，，解得，，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象，再將曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變可得的圖象，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.11.一個(gè)表面被涂滿(mǎn)紅色的棱長(zhǎng)是4的正方體，將其均勻分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，下列結(jié)論正確的是（）A.共得到64個(gè)小正方體B.由所有兩面是紅色的小正方體組成的長(zhǎng)方體，其表面積最大為98C.由所有三面是紅色的小正方體組成的長(zhǎng)方體，其外接球的體積最小為D.取其中一個(gè)三面是紅色的小正方體，以小正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，截去八個(gè)相同的正三棱錐，所得幾何體表面紅色部分面積的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】棱長(zhǎng)是的立方體體積，棱長(zhǎng)為的小正方體體積為，由此能求出共得到多少個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體，可判斷A；所有兩面是紅色的小正方體共有24個(gè)，組成長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體，可得其表面積，判斷B；三面涂色的小正方體有8個(gè)，組成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體，求其外接球的體積，可判斷C；找到以小正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，截去八個(gè)相同的側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐時(shí)，所剩涂色面積最小，判斷D.【詳解】棱長(zhǎng)是的立方體體積為：4×4×4＝64，棱長(zhǎng)為的小正方體體積為，所以共得到個(gè)小正方體，A正確；二面涂色的小正方體是位于棱長(zhǎng)是的立方體的各邊上的正方體，由立方體共有12條邊，每邊有2個(gè)正方體二面涂色，共有24個(gè)，它們組成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體，則表面積最大為，B正確；三面涂色的小正方體是位于棱長(zhǎng)是的立方體的頂點(diǎn)處的小正方體，由于立方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，所以三面涂色的小正方體有8個(gè)，組成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體，其外接球的半徑為，其體積為，C錯(cuò)誤；以小正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，截去八個(gè)相同的側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐，如圖，所剩紅色部分面積的最小為，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式及兩角差正弦公式直接化簡(jiǎn)可得.【詳解】由已，即，故答案為：.13.在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD中點(diǎn).若,則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】【解析】【詳解】設(shè)AB的長(zhǎng)為，因?yàn)?，，所?=+1+=1，解得，所以AB的長(zhǎng)為.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類(lèi)題目的關(guān)鍵.14.已知四邊形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)_____，此時(shí)該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】①.2②.【解析】【分析】在平面內(nèi)計(jì)算各個(gè)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，注意到三棱錐體積最大時(shí)，平面平面時(shí)，可知以為頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到的高，計(jì)算可得體積；利用球心到平面的距離、外接圓半徑和球的半徑滿(mǎn)足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.【詳解】已知四邊形中，，易知，將沿折起，連接，得到三棱錐，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，則三棱錐體積最大，即當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到的高，是等腰直角三角形，所以點(diǎn)到的高，則三棱錐體積的最大值為；設(shè)該三棱錐的外接球的球心為,到平面的距離為平面的外接圓的半徑為，正弦定理可得設(shè)求球的半徑為,則此時(shí)該三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求外接球表面積或體積問(wèn)題，關(guān)鍵是要根據(jù)題意確定球心位置，進(jìn)而求得球的半徑.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足．（1）求；（2）若是方程的一個(gè)根，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法得，再利用共軛復(fù)數(shù)概念即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)根的共軛關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理即可解出，則得到的值.【小問(wèn)1詳解】由得：，則；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，，解得：，．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱(chēng)軸；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，利用周期公式計(jì)算周期，令，解出即可得解；（2）直接列出不等式組求解即可；（2）只需求出在時(shí)的最小值，然后解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】，所以，令，解得，所以函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱(chēng)軸分別；【小問(wèn)2詳解】由得的單調(diào)遞增區(qū)間為：，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為：．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋?，所以，故，因?yàn)榇嬖?，使得，所以，解得，所以的取值范圍為?7.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若是的外接圓上一點(diǎn)（與位于直線(xiàn)異側(cè)），且，求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，結(jié)合已知得，再由余弦定理結(jié)合已知即可求解；（2）在中，運(yùn)用余弦定理有，在中，結(jié)合并運(yùn)用余弦定理可求得，進(jìn)一步結(jié)合三角形面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】在銳角中，因?yàn)?，所以，而，故，因?yàn)槭卿J角，所以，由余弦定理得，又因?yàn)?，所以，整理的，故．【小?wèn)2詳解】在中，因?yàn)椋?，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，即：，解得，所以四邊形的面積為.18.如圖，在正六棱錐中，．（1）求棱錐的高和斜高；（2）求直線(xiàn)到平面的距離；（3）若球是正六棱錐的內(nèi)切球，以底面正六邊形的中心為圓心，以?xún)?nèi)切球半徑為半徑的圓面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱錐的內(nèi)接幾何體，求該幾何體的側(cè)面積．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）首先作出錐體的高和斜高，再根據(jù)勾股定理，即可求解；（2）由平面，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，即可求解；（3）首先求內(nèi)切球的半徑，由題意可得，內(nèi)接幾何體為圓柱，再由內(nèi)接圓柱與六棱柱的關(guān)系，畫(huà)出軸