北京市朝陽(yáng)區(qū)第八十中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

北京市朝陽(yáng)區(qū)第八十中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，則（）A. B.C. D.2．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或73．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）A. B.2C. D.4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.5．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”6．某公司要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無(wú)蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每1m2造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.1C. D.28．已知橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則a的值為（）A. B.3C. D.9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.3 B.5C.6 D.1010．已知數(shù)列滿足且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列11．點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.112．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書(shū)中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長(zhǎng)的和是尺，芒種的日影子長(zhǎng)為尺，則冬至的日影子長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為_(kāi)_______.14．已知，，且，則的最小值為_(kāi)__________15．無(wú)窮數(shù)列滿足：只要必有，則稱(chēng)為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，已知為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，且前四項(xiàng)成等比數(shù)列，，，則__________，若數(shù)列前項(xiàng)和為，則__________.16．橢圓的右焦點(diǎn)是，兩點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若△是直角三角形，則橢圓的離心率是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值19．（12分）已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.20．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).21．（12分）已知雙曲線：的兩條漸近線所成的銳角為且點(diǎn)是上一點(diǎn)（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)能否為線段的中點(diǎn)？并說(shuō)明理由22．（10分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點(diǎn)P，Q，求∠PFQ的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】首先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，確定的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.【詳解】，，因?yàn)辄c(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，所以，得故選：C2、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D3、A【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項(xiàng).【詳解】由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線，所以，則，又點(diǎn)在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意雙曲線定義的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量4、B【解析】求出函數(shù)的定義域，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，可?因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.5、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A6、D【解析】設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長(zhǎng)為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價(jià)為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價(jià)【詳解】設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長(zhǎng)為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價(jià)為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時(shí)，f（x）取最小值816元故選：D7、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為，拋物線的焦點(diǎn)為F，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因此，令，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，此時(shí).故選：B8、A【解析】先聯(lián)立直線和橢圓的方程，結(jié)合中點(diǎn)公式及點(diǎn)可求a的值.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，得，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，即，解得，因?yàn)椋?故選：A.9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，由，可得，，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】由，化簡(jiǎn)得，結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，，所以不是等差數(shù)列；不等于常數(shù)，所以不是等比數(shù)列.故選：D.11、C【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.12、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).【詳解】設(shè)冬至的日影長(zhǎng)為，雨水的日影長(zhǎng)為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長(zhǎng)為，，解得：，，所以冬至的日影長(zhǎng)為尺.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.14、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為25，故答案為：2515、①.2②.7578【解析】根據(jù)前四項(xiàng)成等比數(shù)列及定義可求得，根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，，又，為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，，，，，…，數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，故答案為：2，757816、【解析】由題設(shè)易知，應(yīng)用斜率的兩點(diǎn)式及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而求橢圓離心率.【詳解】由題設(shè)，，，，又△是直角三角形，顯然，所以，可得，則，解得，又，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，令，得出變化情況表，即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，根據(jù)與恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)即可得出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則令，得，，當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表:1+00+↗極大值↘極小值↗∴在上單調(diào)遞減（2）依題意，即．則令，則當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減，且∴函數(shù)在處取得最大值故要使與恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.18、（1）（2）【解析】（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線，作于由拋物線的定義，可得，從而當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小，得出答案.（2）設(shè)，，設(shè)：與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程分別與直線的方程聯(lián)立得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到，的表達(dá)式，由條件可得答案.【小問(wèn)1詳解】的準(zhǔn)線為：，作于，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，解得，所以的方程為【小問(wèn)2詳解】由題意可知的斜率一定存在，且不為0，設(shè)：（），聯(lián)立消去得，由，即，得，結(jié)合，知記，，則直線的方程為由得易知，所以同理可得由，可得，即，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，解得19、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）要證，只要證，由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】，，即證：，即證：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增綜上所述：，即20、（1）（2）【解析】（1）由已知直接可得；（2）聯(lián)立方程組求出A，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式可得.【小問(wèn)1詳解】∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，，，，故橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，聯(lián)立解得和，，∴弦長(zhǎng).21、（1）；（2）點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由漸近線夾角求得一個(gè)斜率，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)直線方程為（斜率不存在時(shí)另說(shuō)明），與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，然后難驗(yàn)證直線與雙曲線是否相交即可得【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線的漸近線的傾斜角為30°或60°，即或當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，無(wú)解當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）不能是線段的中點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，將代入判別式，所以滿足題意的直線也不存在所以點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)22、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證，即∠PFQ＝90°．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利