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文檔簡介
安徽省安慶二中、天成中學2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.以下四個命題中,正確的是()A.若,則三點共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個基底,則構成空間的另一個基底2.已知圓C的方程為,點P在圓C上,O是坐標原點,則的最小值為()A.3 B.C. D.3.設是定義在R上的可導函數(shù),若(為常數(shù)),則()A. B.C. D.4.若,則n的值為()A.7 B.8C.9 D.105.《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題:“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(即百分比)為“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁分別分得,,,,遞減的比例為,那么“衰分比”就等于,今共有糧石,按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”,已知乙分得石,甲、丙所得之和為石,則“衰分比”為()A. B.C. D.6.橢圓的焦點坐標為()A.和 B.和C.和 D.和7.已知兩圓相交于兩點,,兩圓圓心都在直線上,則值為()A. B.C. D.8.數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱為三角形的歐拉線已知的頂點,則的歐拉線方程為()A. B.C. D.9.已知是空間的一個基底,若,,若,則()A B.C.3 D.10.函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.11.在的展開式中,只有第4項的二項式系數(shù)最大,且所有項的系數(shù)和為0,則含的項的系數(shù)為()A.-20 B.-15C.-6 D.1512.已知橢圓的左右焦點分別為,,過C上的P作y軸的垂線,垂足為Q,若四邊形是菱形,則C的離心率為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上單調遞減,則的取值范圍是______.14.若分別是平面的法向量,且,,,則的值為________.15.設,是雙曲線的兩個焦點,P是雙曲線上任意一點,過作平分線的垂線,垂足為M,則點M到直線的距離的最小值是___16.已知函數(shù)(1)若時函數(shù)有三個互不相同的零點,求實數(shù)的取值范圍;(2)若對任意的,不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0交點,且與直線x+y﹣2=0垂直(1)求直線l的方程;(2)若圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l被該圓所截得的弦長為,求圓C的標準方程18.(12分)【2018年新課標I卷文】已知函數(shù)(1)設是的極值點.求,并求的單調區(qū)間;(2)證明:當時,19.(12分)已知點,,設動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為,記動點P的軌跡為曲線E(1)求曲線E的方程;(2)若動直線l經(jīng)過點,且與曲線E交于C,D(不同于A,B)兩點,問:直線AC與BD的斜率之比是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x=時,y=f(x)有極值(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在區(qū)間[-3,1]上最大值和最小值21.(12分)已知橢圓C:()的離心率為,并且經(jīng)過點,(1)求橢圓C的方程;(2)設點關于坐標原點的對稱點為,點為橢圓C上任意一點,直線的斜率分別為,,求證:為定值22.(10分)如圖,正三棱柱中,D是的中點,.(1)求點C到平面的距離;(2)試判斷與平面的位置關系,并證明你的結論.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A,利用數(shù)量積的定義可判斷B,利用充要條件的概念可判斷C,利用基底的概念可判斷D.【詳解】對于A,若,,所以三點不共線,故A錯誤;對于B,因為,故B錯誤;對于C,由可推出為直角三角形,由為直角三角形,推不出,所以為直角三角形的充分不必要條件是,故C錯誤;對于D,若為空間的一個基底,則不共面,若不能構成空間的一個基底,設,整理可得,即共面,與不共面矛盾,所以能構成空間的另一個基底,故D正確.故選:D.2、B【解析】化簡判斷圓心和半徑,利用圓的性質判斷連接線段OC,交圓于點P時最小,再計算求值即得結果.【詳解】化簡得圓C的標準方程為,故圓心是,半徑,則連接線段OC,交圓于點P時最小,因為原點到圓心的距離,故此時.故選:B.3、C【解析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選:C.4、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質計算作答【詳解】因為,則由組合數(shù)性質有,即,所以n的值為10.故選:D5、A【解析】根據(jù)題意,設衰分比為,甲分到石,,然后可得和,解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意,設衰分比為,甲分到石,,又由今共有糧食石,按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”,已知乙分得90石,甲、丙所得之和為164石,則,,解得:,,故選:A6、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓,求出c,即可求得焦點坐標.【詳解】,可得焦點坐標為和.故選:D7、A【解析】由相交弦的性質,可得與直線垂直,且的中點在這條直線上;由與直線垂直,可得,解可得的值,即可得的坐標,進而可得中點的坐標,代入直線方程可得;進而將、相加可得答案【詳解】根據(jù)題意,由相交弦的性質,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點在這條直線上;由與直線垂直,可得,解可得,則,故中點為,且其在直線上,代入直線方程可得,1,可得;故;故選:A【點睛】方法點睛:解答圓和圓的位置關系時,要注意利用平面幾何圓的知識來分析解答.8、D【解析】根據(jù)題意得出的歐拉線即為線段的垂直平分線,然后求出線段的垂直平分線的方程即可.【詳解】因為,所以線段的中點的坐標,線段所在直線的斜率,則線段的垂直平分線的方程為,即,因為,所以的外心、重心、垂心都在線段的垂直平分線上,所以的歐拉線方程為.故選:D【點睛】本題主要考走查直線的方程,解題的關鍵是準確找出歐拉線,屬于中檔題.9、C【解析】由,可得存在實數(shù),使,然后將代入化簡可求得結果【詳解】,,因為,所以存在實數(shù),使,所以,所以,所以,得,,所以,故選:C10、C【解析】利用導數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】,,,,在處的切線為:,即﹒故選:C﹒11、C【解析】先由只有第4項的二項式系數(shù)最大,求出n=6;再由展開式的所有項的系數(shù)和為0,用賦值法求出,用通項公式求出的項的系數(shù).【詳解】∵在的展開式中,只有第4項的二項式系數(shù)最大,∴在的展開式有7項,即n=6;而展開式的所有項的系數(shù)和為0,令x=1,代入,即,所以.∴是展開式的通項公式為:,要求含的項,只需,解得,所以系數(shù)為.故選:C12、C【解析】根據(jù)題意求出P點坐標,代入橢圓方程中,可整理得到關于a,c的等式,進一步整理為關于e的方程,解得答案.【詳解】如圖示:由題意可知,因為四邊形是菱形,所以,則,所以P點坐標為,將P點坐標為代入得:,整理得,故,由于,解得,所以,故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先求導,求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間,由即可求解.【詳解】,令,得,即的單調遞減區(qū)間是,又在上單調遞減,可得,即.故答案為:.14、-1或-2【解析】由題可得,即求.【詳解】依題意,,解得或.故答案為:或.15、1【解析】構造全等三角形,結合雙曲線定義,求得點的軌跡方程,再根據(jù)直線與圓的位置關系,即可求得點到直線距離的最小值.【詳解】延長交的延長線于點,如下所示:因為平分,且,故△△,則,又,則,又在△中,分別為的中點,故可得;設點的坐標為,則,即點在圓心為,半徑的圓上,圓心到直線的距離,故點到直線距離的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的定義,以及直線與圓的位置關系,解決問題的關鍵在于通過幾何關系求得點的軌跡方程,屬中檔題.16、(1)(2)【解析】(1)將函數(shù)有三個互不相同的零點轉化為有三個互不相等的實數(shù)根,令,求導確定單調性求出極值即可求解;(2)求導確定單調性,結合以及得,由得,結合二次函數(shù)單調性求出最小值即可求解.【小問1詳解】當時,.函數(shù)有三個互不相同的零點,即有三個互不相等的實數(shù)根令,則,令得或,在和上均減函數(shù),在上為增函數(shù),極小值為,極大值為,的取值范圍是;【小問2詳解】,且,當或時,;當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和,單調遞減區(qū)間為當時,,又,,又,又在上恒成立,即,即當時,恒成立在上單減,故最小值為,的取值范圍是三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)先求得直線和直線的交點坐標,再用點斜式求得直線的方程.(2)設圓的標準方程為,根據(jù)已知條件列方程組,求得,由此求得圓的標準方程.【小問1詳解】.直線的斜率為,所以直線的斜率為,所以直線的方程為.【小問2詳解】設圓的標準方程為,則,所以圓的標準方程為.18、(1)a=;f(x)在(0,2)單調遞減,在(2,+∞)單調遞增.(2)證明見解析.【解析】分析:(1)先確定函數(shù)的定義域,對函數(shù)求導,利用f′(2)=0,求得a=,從而確定出函數(shù)的解析式,之后觀察導函數(shù)的解析式,結合極值點的位置,從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;(2)結合指數(shù)函數(shù)的值域,可以確定當a≥時,f(x)≥,之后構造新函數(shù)g(x)=,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,從而求得g(x)≥g(1)=0,利用不等式的傳遞性,證得結果.詳解:(1)f(x)的定義域為,f′(x)=aex–由題設知,f′(2)=0,所以a=從而f(x)=,f′(x)=當0<x<2時,f′(x)<0;當x>2時,f′(x)>0所以f(x)在(0,2)單調遞減,在(2,+∞)單調遞增(2)當a≥時,f(x)≥設g(x)=,則當0<x<1時,g′(x)<0;當x>1時,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點故當x>0時,g(x)≥g(1)=0因此,當時,點睛:該題考查的是有關導數(shù)的應用問題,涉及到的知識點有導數(shù)與極值、導數(shù)與最值、導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系以及證明不等式問題,在解題的過程中,首先要保證函數(shù)的生存權,先確定函數(shù)的定義域,之后根據(jù)導數(shù)與極值的關系求得參數(shù)值,之后利用極值的特點,確定出函數(shù)的單調區(qū)間,第二問在求解的時候構造新函數(shù),應用不等式的傳遞性證得結果.19、(1);(2)直線AC和BD的斜率之比為定值【解析】(1)設,依據(jù)兩點的斜率公式可求得曲線E的方程(2)設直線l:,,,聯(lián)立方程得,得出根與系數(shù)的關系,表示直線AC的斜率,直線BD的斜率,并代入計算,可得其定值.【詳解】解:(1)設,依題意可得,所以,所以曲線E的方程為(2)依題意,可設直線l:,,,由,可得,則,,因為直線AC的斜率,直線BD的斜率,因為,所以,所以直線AC和BD的斜率之比為定值20、(1);(2)最大值為,最小值為.【解析】(1)求導,結合導數(shù)的幾何意義列方程組,即可得解;(2)求導,確定函數(shù)的單調性和極值,再和端點值比較即可得解.【詳解】(1)由題意,,因為曲線y=f(x)在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0,所以,,又當時,y=f(x)有極值,所以,所以;(2)由(1)得,,所以當時,,函數(shù)單調遞增;當時,,函數(shù)單調遞減;又,,,,所以在[-3,1]上的最大值為,最小值為.21、(1)(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意可列出關于的三個方程,解出即可得到橢圓C的方程;(2)根據(jù)對稱可得點坐標,再根據(jù)斜率公式可得,然后由點為橢圓C上的點得,代入化簡即可求出為定值【小問1詳解】由題意解得,.所以橢圓C的方程為.【小問2詳
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