四川省綿陽市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

四川省綿陽市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.2．從2，4中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.48 B.36C.24 D.183．在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（）A. B.C. D.4．若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則（）A.16 B.C.14 D.7．在四面體中，設(shè)，若F為BC的中點(diǎn)，P為EF的中點(diǎn)，則＝（）A. B.C. D.8．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知點(diǎn)在橢圓上，與關(guān)于原點(diǎn)對稱，，交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.11．已知正四面體的底面的中心為為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，點(diǎn)，.若點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機(jī)投擲一枚均勻的硬幣兩次，則兩次都正面朝上的概率為______14．已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為______15．若拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.16．已知春季里，甲地每天下雨的概率為，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙兩地下雨相互獨(dú)立，則春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：和圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切線長為.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓：，求證：圓和圓相交，并求出兩圓的公共弦長.18．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離19．（12分）已知，，分別是銳角內(nèi)角，，的對邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.20．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍21．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C：上，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，記P到直線的距離為d，且.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程.22．（10分）已知：圓是的外接圓，邊所在直線的方程為，中線所在直線的方程為，直線與圓相切于點(diǎn).（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求圓的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數(shù)列中的數(shù)從開始循環(huán),數(shù)列的周期是，所以.故選：A.2、B【解析】直接利用乘法分步原理分三步計(jì)算即得解.【詳解】從中選一個(gè)數(shù)字，有種方法；從中選兩個(gè)數(shù)字，有種方法；組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，有個(gè).故選：B3、C【解析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以有，因此，故選：C4、C【解析】根據(jù)極值點(diǎn)的意義,可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).結(jié)合零點(diǎn)存在定理,即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)則因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的意義,函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,屬于中檔題.5、B【解析】依題意，由遞推到時(shí)，不等式左邊為，與時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中，假設(shè)時(shí)不等式成立，左邊，則當(dāng)時(shí)，左邊，∴從到時(shí)，不等式的左邊增加了故選：B6、B【解析】由題意得到，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，化簡，即可求解.【詳解】由，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得則.故選：B.7、A【解析】作出圖示，根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】如圖示：連接OF,因?yàn)镻為EF中點(diǎn)，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則，故選：A8、A【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得：在區(qū)間上恒成立，而，所以.故選：A9、B【解析】由，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因?yàn)椋傻?，又由，兩式相減得，即，即，又因?yàn)?，所以，即又由，所以，解?故選：B.10、D【解析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進(jìn)而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.11、B【解析】連接，再取中點(diǎn)，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為VC，中點(diǎn)，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.12、A【解析】由在直線上，設(shè)，再利用向量垂直，可得，進(jìn)而可求E點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)樵谥本€上，故存在實(shí)數(shù)使得，.若，則，所以，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.【定睛】本題考查了空間向量的共線和數(shù)量積運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】列舉出所有情況，利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】隨機(jī)投擲一枚均勻的硬幣兩次，共有：正正，正反，反正，反反共4種情況，兩次都是正面朝上的有：正正1種情況，所以兩次都正面朝上的概率為，故答案為：14、【解析】根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標(biāo)加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，，因?yàn)?，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因?yàn)?，可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，對于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.故答案為：.15、【解析】先由拋物線的方程求出準(zhǔn)線的方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求，進(jìn)而可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.16、##0.5【解析】根據(jù)條件概率求概率的方法即可求得答案.【詳解】設(shè)A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率為p，則，因?yàn)榧滓覂傻叵掠晗嗷オ?dú)立，所以，于是在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，公共弦長為【解析】（1）根據(jù)切線長公式計(jì)算即可得到，然后代入可得圓的方程.（2）聯(lián)立兩圓的方程作差可得直線的方程為，然后利用圓的弦長公式計(jì)算即可.【小問1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑.由勾股定理可得，解得.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)?，，所以圓和圓相交.設(shè)兩圓相交于，兩點(diǎn)，則兩圓的方程相減得直線的方程為，圓心到直線的距離.所以，所以兩圓的公共弦長為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積和以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點(diǎn)，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為19、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根據(jù)題意得到，再由關(guān)于角的余弦定理和整理化簡得，再由的面積，即可求出的值.【小問1詳解】由及正弦定理可得.【小問2詳解】由銳角中得，根據(jù)余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.20、（1）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)（2）證明見解析（3）[1，＋∞)【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）可得，令，則可得，然后利用累加法可證得結(jié)論，（3）由，故，然后分和討論的最大值與比較可得結(jié)果【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，（），則，由，解得；由，解得，因此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)k＝1時(shí)，，故令，則，即，所以【小問3詳解】由，故當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因此恒成立，且的根至多一個(gè)，故在(0，1]上單調(diào)遞增，所以恒成立當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；于是，與恒成立相矛盾綜上，的取值范圍為[1，＋∞)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是利用（1）可得，從而得，然后令，得，最后累加可證得結(jié)論，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題21、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋訮到直線的距離等于，所以拋物線C的準(zhǔn)線為，所以，，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線l恰與拋物線C相切當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，得若，顯然不合題意；若，則，解得此時(shí)直線l的方程為綜上，直線l與拋物線C相切時(shí)，l的方程為或.22、（1）A（1,7）,（2）【解析】