高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題10數(shù)列求和(插入新數(shù)列混合求和)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 1題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 3題型三：插入新數(shù)混合 4二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 5一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差例題1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例題2．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)是不是數(shù)列的項(xiàng)？若是，它是的第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和其前n項(xiàng)和滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入m個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為，求滿足的正整數(shù)m的最小值.例題4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；例題5．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中抽取部分項(xiàng)（按原來(lái)的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為（

）A．30 B．91 C．273 D．820例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于.例題3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，在a，b之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，，…，，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則有結(jié)論成立．若，在a，b之間插入個(gè)正數(shù)，，…，，使得這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則有相應(yīng)的結(jié)論成立．例題4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）回答下面兩個(gè)問(wèn)題(1)在等差數(shù)列中，已知，，求a1與Sn．(2)在2與64中間插入4個(gè)數(shù)使它們成等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式．例題5．（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.(1)計(jì)算，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型三：插入新數(shù)混合例題1．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，．其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求的前100項(xiàng)和．例題2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（，）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(3)當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求.例題4．（2023·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值.例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前40項(xiàng)和.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列滿足，在和之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前18項(xiàng)的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．762．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的，在數(shù)列的與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81923．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）習(xí)近平總書記在黨的二十大報(bào)告中提出：堅(jiān)持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學(xué)學(xué)生會(huì)為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教．原計(jì)劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時(shí)決定改變派遣計(jì)劃，具體規(guī)則為：把原計(jì)劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與（，2，）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．3904．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）通過(guò)以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108二、多選題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的．明萬(wàn)歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學(xué)新說(shuō)》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為，則依此規(guī)則，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．插入的第8個(gè)數(shù)為B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的倍C．D．三、填空題6．（2023春·高二校考課時(shí)練習(xí)）在1和17之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這n個(gè)數(shù)中第一個(gè)為a，第n個(gè)為b，當(dāng)取最小值時(shí)，.7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)4，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為．四、解答題8．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；11．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前和為，，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;(2)若對(duì)數(shù)列，，在與之間插入個(gè)2（），組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和.12．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)2，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前110項(xiàng)的和.

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 1題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 5題型三：插入新數(shù)混合 7二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 11一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差例題1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由①得時(shí)②①-②得，①中令得，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，（2）假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)成等比數(shù)列，為遞增數(shù)列，不妨設(shè)，則則，成等差數(shù)列，，，由，得，所以，與題設(shè)矛盾不存在這樣的三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.例題2．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)是不是數(shù)列的項(xiàng)？若是，它是的第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是數(shù)列的第8項(xiàng)．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為．由題意可知，，，于是．因?yàn)?，所以，所以．所以．所以?shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）數(shù)列的各項(xiàng)依次是數(shù)列的第1，5，9，13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，則．令，解得．所以是數(shù)列的第8項(xiàng)．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和其前n項(xiàng)和滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入m個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為，求滿足的正整數(shù)m的最小值.【答案】(1)(2)6【詳解】（1）依題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），因?yàn)?，所以，即，解得或（舍去），所以；?）由題意可得，，則，故數(shù)列單調(diào)遞增，不難發(fā)現(xiàn)，故滿足題意的m的最小值為6.例題4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時(shí)，有，則①，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，整理得，可知，代入①可得，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由已知在與之間插入n個(gè)數(shù)，組成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以則，設(shè)，則是遞增數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，即，所以；當(dāng)n為奇函數(shù)時(shí)，恒成立，即，所以；綜上所述，的取值范圍是．例題5．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，，(2)【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，整理，得，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，.（2）由（1）可得，，，在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，則有，∴，∴，∴，，兩式相減得，∴.題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中抽取部分項(xiàng)（按原來(lái)的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為（

）A．30 B．91 C．273 D．820【答案】C【詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以，則由，得，即數(shù)列中前6項(xiàng)分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列的項(xiàng)，3、27、243不是數(shù)列的項(xiàng)，且，所以數(shù)列中第7項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為.故選：D.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于.【答案】27【詳解】依題意，，所以，所以或（舍去），所以.故答案為：例題3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，在a，b之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，，…，，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則有結(jié)論成立．若，在a，b之間插入個(gè)正數(shù)，，…，，使得這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則有相應(yīng)的結(jié)論成立．【答案】【詳解】因?yàn)?，，，…，，成等比?shù)列，則，則則，即.故答案為：.例題4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）回答下面兩個(gè)問(wèn)題(1)在等差數(shù)列中，已知，，求a1與Sn．(2)在2與64中間插入4個(gè)數(shù)使它們成等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），，，解得．；（2）設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，∴，解得：．例題5．（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.(1)計(jì)算，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，，證明見(jiàn)解析(2)不存在，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，，在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，∴，即，即，即.∴，猜想.下面我們證明.∵，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴對(duì)任意正整數(shù)，均有，∴，∴，∴，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由題意及（1）得，在數(shù)列中，，∴.假設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得，∵成等差數(shù)列，∴，∴，化簡(jiǎn)得，又，∴，即，∴，∴，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，∴在數(shù)列中不存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.題型三：插入新數(shù)混合例題1．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，．其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求的前100項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，遞推得，∴，，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，又∵，∴數(shù)列為等差數(shù)列，故．（2）設(shè)和插入的個(gè)數(shù)構(gòu)成一組數(shù)，則前組共有個(gè)數(shù)，令，又，解得：；當(dāng)時(shí)，，∴的前100項(xiàng)中包含前12組數(shù)和第13組數(shù)的前10個(gè)，∴．例題2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），由得時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)椋?，所以是等差?shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，所以；（2）由于，因此數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，所求和為.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（，）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(3)當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求.【答案】(1)(2)(3)2226【詳解】（1）由題意，可得，所以，解得或（舍），則，又，所以.（2）由，得，所以，，，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，由（常數(shù)）知此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列.（3）因?yàn)?，所以與之間插入個(gè)2，，所以與之間插入個(gè)2，，所以與之間插入個(gè)2，……則的前項(xiàng)，由個(gè)，構(gòu)成，所以.例題4．（2023·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，又，所以?shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，又也滿足該關(guān)系，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）數(shù)列中在之前共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前40項(xiàng)和.【答案】(1)(2)1809【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時(shí)，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，也滿足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來(lái)自.故.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列滿足，在和之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前18項(xiàng)的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．76【答案】C【詳解】在，之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，所以共有個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于，所以．故選：D.2．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的，在數(shù)列的與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【答案】C【詳解】插入組共個(gè)，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個(gè)．，∵，∴，又?jǐn)?shù)列的前13項(xiàng)和為，故選：D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）習(xí)近平總書記在黨的二十大報(bào)告中提出：堅(jiān)持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學(xué)學(xué)生會(huì)為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教．原計(jì)劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時(shí)決定改變派遣計(jì)劃，具體規(guī)則為：把原計(jì)劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與（，2，）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．390【答案】A【詳解】∵數(shù)列滿足，∴，，，，，，∵在任意相鄰兩項(xiàng)與（，2，）之間插入個(gè)3，∴其中，之間插入2個(gè)3，，之間插入4個(gè)3，，之間插入8個(gè)3，，之間插入16個(gè)3，，之間插入32個(gè)3，，之間插入64個(gè)3，又，，∴數(shù)列的前70項(xiàng)含有前6項(xiàng)和64個(gè)3，故．故選：A.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）通過(guò)以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【詳解】解：設(shè)數(shù)列經(jīng)過(guò)第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，則經(jīng)過(guò)第次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為，所以，即，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，是以，所以，則經(jīng)過(guò)11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，所以經(jīng)過(guò)11次拓展后6所在的位置為第，所以.故選：A.二、多選題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的．明萬(wàn)歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學(xué)新說(shuō)》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為，則依此規(guī)則，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．插入的第8個(gè)數(shù)為B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的倍C．D．【答案】BC【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為，公比為，則，，故，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔅正確；，要證，即證，即證，即證，即證，而，故C正確；而，因，所以，，所以即,所以，D錯(cuò)誤.故選：BC．三、填空題6．（2023春·高二校考課時(shí)練習(xí)）在1和17之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這n個(gè)數(shù)中第一個(gè)為a，第n個(gè)為b，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】7【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，所以所以，因此，可得．故答案為：77．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)4，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為．【答案】370【詳解】因?yàn)榕c之間插入個(gè)4，，，，，，其中，之間插入2個(gè)4，，之間插入4個(gè)4，，之間插入8個(gè)4，，之間插入16個(gè)4，，之間插入32個(gè)4，由于，，故數(shù)列的前60項(xiàng)含有的前5項(xiàng)和55個(gè)4，故.故答案為：370.四、解答題8．（2023春·