【題型梳理練】有理數(shù)中的規(guī)律探究（解析版）

2/2【題型梳理練】有理數(shù)中的規(guī)律探究TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)字類規(guī)律探究】 1【題型2四則運(yùn)算中的規(guī)律探究】 3【題型3乘方中的規(guī)律探究】 7【題型4周期中的規(guī)律探究】 10【題型5遞進(jìn)中的規(guī)律探究】 12【題型6表格中的規(guī)律探究】 15【題型7圖形中的規(guī)律探究】 18【題型8新定義中的規(guī)律探究】 22【題型1數(shù)字類規(guī)律探究】【例1】（23-24七年級(jí)·黑龍江綏化·階段練習(xí)）觀察一組按規(guī)律排列的數(shù)：1，2，4，8，16，…，則第2024個(gè)數(shù)是（

）．A．22024 B．22024-1 C．【答案】C【分析】根據(jù)1，2，4，8，16，…，得出第n個(gè)數(shù)為2n-1，把n=2024代入即可作答【詳解】解：觀察所給的數(shù)據(jù)，得第n個(gè)數(shù)為2n-1當(dāng)n=2024時(shí)，2n-1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵找出第n個(gè)數(shù)為2n-1，難度較小【變式1-1】（23-24七年級(jí)·陜西商洛·期末）觀察下面一列數(shù)：第1組第2組第3組第4組第5組……1,-12,43,-94,165,-25按照此規(guī)律第9組的兩數(shù)之和為．【答案】-72【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并靈活運(yùn)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．由條件歸納可得：每一組的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成連續(xù)的正整數(shù)，第二個(gè)數(shù)奇次項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶次項(xiàng)為正數(shù)，其絕對(duì)值是第一個(gè)的數(shù)的平方，從而可得答案．【詳解】解：由條件歸納可得：每一組的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成連續(xù)的正整數(shù)，第二個(gè)數(shù)奇次項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶次項(xiàng)為正數(shù)，其絕對(duì)值是第一個(gè)的數(shù)的平方，∴第9組數(shù)為9,-81，∴9+-81故答案為：-72．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·山東濱州·階段練習(xí)）一組按規(guī)律排列的數(shù)-14，39，-516，725，-【答案】-【分析】直接根據(jù)題意找出規(guī)律作答即可．【詳解】解：-139-5……，第n個(gè)數(shù)是-1n第9個(gè)數(shù)是-19故答案為：-17【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是得到第n個(gè)數(shù)是-1n【變式1-3】（23-24七年級(jí)·廣西崇左·期末）如圖，在各正方形中的四位數(shù)之間有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（

）.A．16,257 B．16,91 C．10,101 D．10,161【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)字規(guī)律分別得出c=16，a=10，再由運(yùn)算方法求解即可．【詳解】解：分析正方形中的四個(gè)數(shù)：四個(gè)大正方形中第一行從左往右第一個(gè)數(shù)分別為1，3，5，7；第二個(gè)數(shù)分別為：2，4=22，8=2∴c=16；第二行第一個(gè)數(shù)分別為：4，6，8，10，∴a=10，第二行第二個(gè)數(shù)分別為：9=2×4+1，25=4×6+1，65=8×8+1，b=ac+1=160+1=161，故選D．【點(diǎn)睛】題目主要考查數(shù)字規(guī)律探索及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，找出相應(yīng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．【題型2四則運(yùn)算中的規(guī)律探究】【例2】（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知：11×2=1-12，12×3=(1)用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；(2)按照上面算式的規(guī)律計(jì)算：21×2【答案】(1)1(2)2017【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律類問(wèn)題，探尋數(shù)列規(guī)律認(rèn)真計(jì)算觀察聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知的算式拆項(xiàng)計(jì)算，觀察規(guī)律即可得到答案；（2）先根據(jù)得出的規(guī)律拆項(xiàng)展開(kāi)，再合并，最后求出即可【詳解】（1）∵11×212×313×414×5……，∴第n個(gè)等式為：1n故答案為：1n（2）2＝2×（11×2＝2×（1-1＝2×（1﹣12018＝2×2017＝20171009【變式2-1】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）觀察以下等式：第1個(gè)等式：21-32=12；第2個(gè)等式32-56=2(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示）.【答案】(1)7(2)n+1【分析】（1）根據(jù)上述等式可知，減數(shù)的分母是被減數(shù)分母分子的乘積，分子是被減數(shù)分子分母的和，即可得到第六個(gè)等式；（2）根據(jù)上述等式的規(guī)律，求解等式的左邊等于等式的右邊，即可．【詳解】（1）∵第1個(gè)等式：21第2個(gè)等式32第3個(gè)等式43第4個(gè)等式54……∴第6個(gè)等式為：76故答案為：76（2）由（1）得，第n個(gè)等式：n+1n【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)和整式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是觀察等式，得到規(guī)律，進(jìn)行解答．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·寧夏銀川·期中）觀察下列各式：1-122=34=12(1)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫(xiě)下列式子的結(jié)果：1-1(2)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1-1【答案】(1)見(jiàn)解析(2)101200【分析】本題考查了有理數(shù)乘法的規(guī)律探究，關(guān)鍵找到規(guī)律寫(xiě)出分?jǐn)?shù)相乘的形式．（1）根據(jù)等式規(guī)律寫(xiě)出分?jǐn)?shù)相乘的形式計(jì)算結(jié)果．（2）按規(guī)律寫(xiě)出分?jǐn)?shù)相乘形式，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行約分求解．【詳解】（1）解：1-1（2）解：1-===101【變式2-3】（2024七年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1×3+1=4=2×4+1=9=3×5+1=16=4×6+1=25=…(1)請(qǐng)你找出規(guī)律并計(jì)算7×9+1==()(2)用含有n的式子表示上面的規(guī)律：．(3)用找到的規(guī)律解決下面的問(wèn)題：計(jì)算：(1+11×3【答案】(1)64,8(2)n(n+2)+1=(3)20【分析】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，數(shù)字規(guī)律問(wèn)題，對(duì)于（1）和（2），通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)一個(gè)正整數(shù)乘以比這個(gè)正整數(shù)大2的數(shù)再加1就等于這個(gè)正整數(shù)加1的平方，依此得到7×9+1=64=82；含有對(duì)于（3），由(1+1利用此規(guī)律計(jì)算．【詳解】（1）7×9+1=64=8故答案為：64，82（2）上述算式有規(guī)律，可以用n表示為：n(n+2)+1=n故答案為：n(n+2)+1=n（3）原式21故答案為：2011【題型3乘方中的規(guī)律探究】【例3】（23-24七年級(jí)·山東青島·階段練習(xí)）如圖，觀察由棱長(zhǎng)為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：如圖①中：共有1個(gè)小立方體，0個(gè)看不見(jiàn)；如圖②中：共有8個(gè)小立方體，1個(gè)看不見(jiàn)；如圖③中：共有27個(gè)小立方體，8個(gè)看不見(jiàn)；…，則第⑥個(gè)圖中看得見(jiàn)的有個(gè)．【答案】91【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，由題意可知，共有小立方體個(gè)數(shù)為序號(hào)數(shù)×序號(hào)數(shù)×序號(hào)數(shù)，看不見(jiàn)的小正方體的個(gè)數(shù)=序號(hào)數(shù)【詳解】解：第①時(shí)，共有小立方體的個(gè)數(shù)為1個(gè)，看不見(jiàn)的小立方體的個(gè)數(shù)為0個(gè)；第②時(shí)，共有小立方體的個(gè)數(shù)為2×2×2=8（個(gè)），看不見(jiàn)的小立方體的個(gè)數(shù)為2-1×2-1×第③時(shí)，共有小立方體的個(gè)數(shù)為3×3×3=27（個(gè)），看不見(jiàn)的小立方體的個(gè)數(shù)為3-1×3-1×……第⑥個(gè)圖時(shí)，共有小立方體的個(gè)數(shù)為：6×6×6=216（個(gè)），看不見(jiàn)的小立方體的個(gè)數(shù)為6-1×6-1×∴看得見(jiàn)的立方體數(shù)為：216-125=91（個(gè)）．故答案為：91．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·江蘇常州·期中）我們根據(jù)乘方運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如下表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：乘方運(yùn)算222…333…新運(yùn)算logloglog…logloglog…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫(xiě)出了三個(gè)式子：①log216=4，②log525=5，③【答案】①③/③①【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，根據(jù)題中的新定義法則判斷即可，解題的關(guān)鍵是理解題中的新定義，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則．【詳解】解：∵2∴l(xiāng)og216=4∵5∴l(xiāng)og525=2∵4∴1og464=3綜上所述，正確的有①③，故答案為：①③．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·河北秦皇島·階段練習(xí)）觀察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75A．0 B．1 C．6 D．8【答案】C【分析】觀察可知7n的個(gè)位數(shù)字分別是7，9，3，1【詳解】解：∵71=7，72=49，73=343，74∴7n的個(gè)位數(shù)字分別是7，9，3，1∵2020÷4=505，2022÷4=505…2，∴71+72+73∴71+72+故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·四川瀘州·期末）根據(jù)圖中數(shù)字的排列規(guī)律，在第⑩個(gè)圖中，a-b-c的值是（

）A．-512 B．-514 C．510 D．512【答案】B【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律．觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)各部分?jǐn)?shù)字變化的規(guī)律即可解決問(wèn)題．【詳解】解：觀察所給圖形可知，左上角的數(shù)字依次為：-2，4，-8，16，…，所以第n個(gè)圖形中左上角的數(shù)字可表示為：-2n右上角的數(shù)字比同一個(gè)圖形中左上角的數(shù)字大2，所以第n個(gè)圖形中右上角的數(shù)字可表示為：-2n下方的數(shù)字為同一個(gè)圖形中左上角數(shù)字的12所以第n個(gè)圖形中下方的數(shù)字可表示為：-2n當(dāng)n=10時(shí)，-2n-2n-2n所以a-b-c=1024-1026-512=-514．故選：B．【題型4周期中的規(guī)律探究】【例4】（2024·北京西城·七年級(jí)期末）將1，2，3，4，5，…，37這37個(gè)連續(xù)整數(shù)不重不漏地填入37個(gè)空格中．要求：從左至右，第1個(gè)數(shù)是第2個(gè)數(shù)的倍數(shù)，第1個(gè)數(shù)與第2個(gè)數(shù)之和是第3個(gè)數(shù)的倍數(shù)，第1，2，3個(gè)數(shù)之和是第4個(gè)數(shù)的倍數(shù)，…，前36個(gè)數(shù)的和是第37個(gè)數(shù)的倍數(shù)．若第1個(gè)空格填入37，則第2個(gè)空格所填入的數(shù)為，第37個(gè)空格所填入的數(shù)為．37【答案】119【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握四則運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)第1個(gè)數(shù)是第2個(gè)數(shù)的倍數(shù)可得第2個(gè)空格所填入的數(shù)；先得出這37個(gè)數(shù)的和也是第37個(gè)數(shù)的倍數(shù)，再求出這37個(gè)數(shù)的和，由此即可得．【詳解】解：∵第1個(gè)空格填入37，第1個(gè)數(shù)是第2個(gè)數(shù)的倍數(shù)，∴第2個(gè)空格所填入的數(shù)為1，∵前36個(gè)數(shù)的和是第37個(gè)數(shù)的倍數(shù)，∴這37個(gè)數(shù)的和也是第37個(gè)數(shù)的倍數(shù)，又∵1+2+3+?+37==38×18+19=703=37×19，∴第37個(gè)空格所填入的數(shù)為19，故答案為：1，19．【變式4-1】（23-24七年級(jí)·浙江·期中）從大拇指開(kāi)始，按照大拇指→食指→中指→無(wú)名指→小指→無(wú)名指→中指→食指→大拇指→食指……的順序，依次數(shù)整數(shù)1，2，3，4，5，6，7，……當(dāng)數(shù)到2022時(shí)，對(duì)應(yīng)的手指為；當(dāng)?shù)趎次數(shù)到食指時(shí)，數(shù)到的數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】無(wú)名指8(n-1)+2或8(n-1)+8【分析】先探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如題意可知，八次為一個(gè)循環(huán)體重復(fù)出現(xiàn)，2022÷8=252……6，當(dāng)數(shù)到2022時(shí)，對(duì)應(yīng)的手指與第6次對(duì)應(yīng)的一樣為：無(wú)名指；第一個(gè)循環(huán)體出現(xiàn)食指時(shí)，數(shù)到的數(shù)是：8(1-1)+2，8(1-1)+8；第二個(gè)循環(huán)體出現(xiàn)食指時(shí)，數(shù)到的數(shù)是：8(2-1)+2，8(2-1)+8；第三個(gè)循環(huán)體出現(xiàn)食指時(shí)，數(shù)到的數(shù)是：8(3-1)+2，8(3-1)+8；…當(dāng)?shù)趎次數(shù)到食指時(shí)，數(shù)到的數(shù)是8(n-1)+2，8(n-1)+8，故答案為：無(wú)名指，8(n-1)+2或8(n-1)+8．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型數(shù)字的變化類問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是從一般到特殊探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用規(guī)律解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·安徽黃山·期中）觀察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36【答案】7【分析】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．通過(guò)觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．從運(yùn)算的結(jié)果可以看出尾數(shù)以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字一循環(huán)，用2023除以4，余數(shù)是幾就和第幾個(gè)數(shù)字相同，由此解決問(wèn)題即可．【詳解】解：已知31=3，末位數(shù)字為32=9，末位數(shù)字為33=27，末位數(shù)字為34=81，末位數(shù)字為35=243，末位數(shù)字為36=729，末位數(shù)字為37=2187，末位數(shù)字為38=6561，末位數(shù)字為…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，又2023÷4=505?3，所以32023的末位數(shù)字與33的末位數(shù)字相同是故答案為：7．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·河南開(kāi)封·期中）如圖所示，在一個(gè)電子青蛙游戲程序中，電子青蛙只能在標(biāo)有五個(gè)數(shù)字點(diǎn)的圓周上跳動(dòng)，游戲規(guī)則：若電子青蛙，停在奇數(shù)點(diǎn)上，則它下次沿順時(shí)針?lè)较蛱鴥蓚€(gè)點(diǎn)；若電子青蛙停在偶數(shù)點(diǎn)上，則它下次沿逆時(shí)針?lè)较蛱粋€(gè)點(diǎn)．現(xiàn)在電子青蛙若從4這點(diǎn)開(kāi)始跳，則經(jīng)過(guò)2022次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為（）

A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】本題考查的是數(shù)字類規(guī)律探究，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵，本題先計(jì)算前5次跳動(dòng)后停時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，再總結(jié)規(guī)律可得答案．【詳解】解：由題知，因?yàn)榍嗤軓?這點(diǎn)開(kāi)始跳，所以經(jīng)過(guò)1次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為3；經(jīng)過(guò)2次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為5；經(jīng)過(guò)3次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為2；經(jīng)過(guò)4次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為1；經(jīng)過(guò)5次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為3；…，由此可見(jiàn)，青蛙停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字按3，5，2，1循環(huán)出現(xiàn)，又因?yàn)?022÷4=505???2，所以經(jīng)過(guò)2022次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為5；故選：D．【題型5遞進(jìn)中的規(guī)律探究】【例5】（23-24七年級(jí)·江西贛州·期末）如圖，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為3，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處，第2次從A1跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2O的中點(diǎn)A．32n-2 B．32n-1 C．【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．通過(guò)前三次的跳動(dòng)情況發(fā)現(xiàn)，第n次動(dòng)點(diǎn)P從An-1點(diǎn)跳動(dòng)到An-1O的中點(diǎn)A【詳解】解：由題意可知，OA=3，第1次動(dòng)點(diǎn)P跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處時(shí)，O第2次動(dòng)點(diǎn)P從A1跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A第3次動(dòng)點(diǎn)P從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2O的中點(diǎn)A……觀察可知，第n次動(dòng)點(diǎn)P從An-1點(diǎn)跳動(dòng)到An-1O的中點(diǎn)A故選：C【變式5-1】（2024·山西太原·二模）觀察圖中給出的四個(gè)點(diǎn)陣，按照?qǐng)D中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個(gè)點(diǎn)陣中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】2n-1【分析】根據(jù)圖形得到規(guī)律從第二個(gè)開(kāi)始逐漸增加2點(diǎn)即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，圖形從第二個(gè)開(kāi)始在前一個(gè)是增加2點(diǎn)，∴第n個(gè)圖形點(diǎn)數(shù)為：1+(n-1)×2=2n-1，故答案為：2n-1；【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律，解題的關(guān)鍵是看懂圖形中前后兩個(gè)圖形的變量與固定量．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖所示的點(diǎn)陣圖中，圖①中有3個(gè)點(diǎn)，圖②中有7個(gè)點(diǎn)，圖③中有13個(gè)點(diǎn)，圖④中有21個(gè)點(diǎn)，按此規(guī)律，圖⑩中有個(gè)點(diǎn)．【答案】111【分析】本題考查了數(shù)與形的規(guī)律，能總結(jié)出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．列出給出的幾幅圖的點(diǎn)數(shù)依次為3，7，13，21，?，分析這些數(shù)我們可以得到3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1，?據(jù)此總結(jié)規(guī)律求解即可．【詳解】觀察題圖可知：圖①中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3=1+2=1×2+1；圖②中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7=1+2+4=2×3+1；圖③中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為13=1+2+4+6=3×4+1；圖④中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為21=1+2+4+6+8=4×5+1；圖n中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+2+4+6+8+?+2n=nn+1當(dāng)n=10時(shí)，圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)有1+2+4+6+?+20=10×11+1=111（個(gè)）點(diǎn)，故答案為：111．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·寧夏銀川·期末）生物課題研究小組對(duì)附著在物體表面的三個(gè)微生物（課題組成員把他們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3）的生長(zhǎng)情況進(jìn)行觀察記錄，這三個(gè)微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微生物（依次被標(biāo)號(hào)為4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化，即每個(gè)微生物一分為二，形成新的微生物（課題組成員用如圖所示的圖形進(jìn)行形象的記錄），那么標(biāo)號(hào)為1000的微生物會(huì)出現(xiàn)在第（

）A．第7天 B．第8天 C．第9天 D．第10天【答案】B【分析】由圖和題意可知，第一天產(chǎn)生新的微生物有6個(gè)標(biāo)號(hào)，第二天產(chǎn)生新的微生物有12個(gè)標(biāo)號(hào)，以此類推，第三天、第四天、第五天產(chǎn)生新的微生物分別有24個(gè)，48個(gè)，96個(gè)，192個(gè)，384個(gè)，768個(gè)，…進(jìn)而求出答案．【詳解】解：第一天產(chǎn)生新的微生物有6個(gè)標(biāo)號(hào)，第二天產(chǎn)生新的微生物有12個(gè)標(biāo)號(hào)，以此類推，第三天、第四天、第五天…產(chǎn)生新的微生物分別有24個(gè)，48個(gè)，96個(gè)，192個(gè)，384個(gè)，768個(gè)，…前七天所有微生物的標(biāo)號(hào)共有3+6+12+24+48+96+192+384=765個(gè)，所以標(biāo)號(hào)為1000的微生物會(huì)出現(xiàn)在第8天．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字的變化規(guī)律和運(yùn)算方法，利用規(guī)律和方法解決問(wèn)題．【題型6表格中的規(guī)律探究】【例6】（23-24七年級(jí)·安徽蕪湖·期中）下列表格中的四個(gè)數(shù)都是按照規(guī)律填寫(xiě)的，則表中x的值是（）A．139 B．209 C．109 D．259【答案】B【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給表格，發(fā)現(xiàn)表格中四個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．觀察表格中四個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．【詳解】解：觀察所給表格可知，4÷2-1=1，6÷2-1=2，8÷2-1=3，10÷2-1=4，所以a=20÷2-1=9．又因?yàn)樽笙路降臄?shù)比左上方的數(shù)大1，則b=a+1=10又因?yàn)?×4+1=9，3×6+2=20，4×8+3=35，5×10+4=54，所以x=10×20+9=209．故選：B．【變式6-1】（23-24七年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期中）把1～9這9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)之和都等于15，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”，它源于我國(guó)古代的“洛書(shū)”(圖1)，“洛書(shū)”是世界上最早的“幻方”，圖2是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”，則其中m的值為(A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；根據(jù)任意一行，任意一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)之和都等于15，可得①，②，③表示的數(shù)，即可求出m的值．【詳解】解：如圖，∵任意一行，任意一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)之和都等于15，∴對(duì)角線上①處數(shù)字與5，2的和為15，∴①處的數(shù)字為：15-5-2=8，又中間一列②處數(shù)字與7，5的和為15，∴②處上的數(shù)字為：15-7-5=3最正面一行數(shù)字之和為15∴③處數(shù)字為15-8-3=4最后一列之和為15，∴m=15-2-4=9，故選：D．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）干支紀(jì)年法是中國(guó)歷法上自古以來(lái)就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱．干支紀(jì)年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環(huán)配合，每個(gè)組合代表一年，60年為一個(gè)循環(huán)．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號(hào)．天干的計(jì)算方法是：年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計(jì)算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)．以2022年為例：天干為：2022-3÷10=201??9；地支為：2022-3÷12=168??3；對(duì)照天干地支表得出，123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥請(qǐng)你依據(jù)上述規(guī)律推斷2024年為農(nóng)歷年．【答案】甲辰【分析】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意，列出算式進(jìn)行計(jì)算后，判斷即可．掌握天干，地支的確定方法，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得：天干為：2024-3÷10=202??1，地支為：2024-3∴2024年為農(nóng)歷甲辰年；故答案為：甲辰．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·湖北黃岡·期中）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．

圖形標(biāo)號(hào)①②③④⑤…火柴棒根數(shù)5913____________…(1)按圖示規(guī)律完成表格(2)按照這種方式搭下去，搭第n個(gè)圖形需要多少根火柴棒？(3)搭第2024個(gè)圖形需要多少根火柴棒？【答案】(1)17,21(2)4n+1(3)8097根火柴棒【分析】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類解答的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形分析出其規(guī)律；（1）根據(jù)所給的圖形進(jìn)行分析即可得出結(jié)果；（2）由（1）進(jìn)行總結(jié)即可；（3）根據(jù)（2）所得的式子進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）第1個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：5，第2個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：9=5+4=5+4×1，第3個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：13=5+4+4=5+4×2，第4個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：17=5+4+4+4=5+4×3，第5個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：21=5+4+4+4+4=5+4×4，故答案為：17,21；（2）由（1）得：搭第n個(gè)圖形需要火柴棒根數(shù)為：5+4(n-1)=4n+1．答：第n個(gè)圖形需要火柴棒根數(shù)為：4n+1；（3）當(dāng)n=2024時(shí)，4n+1=4×2024+1=8097，所以搭第2022個(gè)圖形需要8097根火柴棒．【題型7圖形中的規(guī)律探究】【例7】（23-24七年級(jí)·山東濰坊·期中）如圖，把面積為1的正方形進(jìn)行分割，觀察其規(guī)律，可得算式12+122A．125 B．126 C．【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、規(guī)律性，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)圖形可知1【詳解】解：由圖可知，12+12故選：D【變式7-1】（23-24七年級(jí)·山西臨汾·期中）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是．【答案】10【分析】列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：第1個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4，第2個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2=6，第3個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2×2=8，則：第4個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2×3=10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過(guò)列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律：每個(gè)圖形比上一個(gè)圖形多2個(gè)H是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24七年級(jí)·浙江金華·期末）用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形，則第10個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是……（

）A．110 B．330 C．440 D．572【答案】C【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化歸納出正方形個(gè)數(shù)與圖形序數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形的變化歸納正方形個(gè)數(shù)與圖形序數(shù)之間的關(guān)系即可．【詳解】解：由圖知，第1個(gè)圖形有2個(gè)正方形：2=1×2，第2個(gè)圖形有8個(gè)正方形：8=1×2+2×3，第3個(gè)圖形有20個(gè)正方形：20=1×2+2×3+3×4，第4個(gè)圖形有40個(gè)正方形：40=1×2+2×3+3×4+4×5，…，第10個(gè)圖形正方形個(gè)數(shù)為：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10+10×故選：C．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·山西晉中·期中）閱讀與探索：?jiǎn)栴}情境：通過(guò)學(xué)習(xí)“探索與表達(dá)規(guī)律”讓我們感受到：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的規(guī)律是一件十分有趣的事情．用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)變化規(guī)律應(yīng)該從簡(jiǎn)單入手，經(jīng)過(guò)熟悉、認(rèn)知、思考、總結(jié)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請(qǐng)你用自己學(xué)到的方法探索并表達(dá)下列規(guī)律：（1）如圖，搭1個(gè)小正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)小正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)小正方形需要10根火柴棒……，如果用n表示所搭正方形的個(gè)數(shù)，那么搭n個(gè)這樣的小正方形需要__________根火柴棒（用n的代數(shù)式表示）．類比探索：（2）如圖，是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第n個(gè)圖案需要__________根火柴棒（用n的代數(shù)式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小等邊三角形圍成1個(gè)小菱形，第②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形，．．．．．．．若按此規(guī)律拼下去，則第n個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為_(kāi)_________（用含n的式子表示）．

拓展應(yīng)用：（4）觀察并找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是__________個(gè)．

【答案】（1）3n+1；（2）4n+1；（3）6n+6；（4）3035【分析】（1）第一個(gè)圖形需要4根火柴棒，以后的每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多3根，據(jù)此找到規(guī)律列出代數(shù)式；（2）第一個(gè)圖形需要5根火柴棒，以后的每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多4根，據(jù)此找到規(guī)律列出代數(shù)式；（3）第①個(gè)圖形需要4個(gè)等邊三角形，共12根火柴棒，以后的每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多2個(gè)等邊三角形，多6根火柴棒，據(jù)此找到規(guī)律列出代數(shù)式；（4）根據(jù)前幾個(gè)圖形的規(guī)律，找到當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)和當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)需要的黑色正方形個(gè)數(shù)，繼而代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）搭1個(gè)小正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)小正方形需要4+3×1=7根火柴棒，搭3個(gè)小正方形需要4+3×2=10根火柴棒，…搭n個(gè)小正方形需要4+3×n-1（2）擺1個(gè)五邊形需要5根火柴棒，擺2個(gè)五邊形需要5+4×1=9根火柴棒，擺3個(gè)五邊形需要5+4×2=13根火柴棒，…擺n個(gè)五邊形需要5+4×n-1（3）第①個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12=3×4，第②個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：18=3×6，第③個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24=3×8，…，∴第n個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為：32n+2（4）第1個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是2個(gè)，第2個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是3個(gè)，第3個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是5個(gè)，第4個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是6個(gè)，第5個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是8個(gè)，…當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為n+12當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為n2∴第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是2023+12+2023=3035【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給圖形分析出圖形變化的規(guī)律．【題型8新定義中的規(guī)律探究】【例8】（23-24七年級(jí)·江蘇蘇州·期末）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“H”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5，（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k（其中k是正整數(shù)，且使得n2k為奇數(shù)）；并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：n=12時(shí)，第一次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是3，第二次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是14，第三次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是7，第四次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是26……．若n=58，則第2024次經(jīng)“HA．29 B．92 C．23 D．74【答案】B【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運(yùn)算得到數(shù)字的基本規(guī)律．根據(jù)題中所給新定義運(yùn)算進(jìn)行求解，即當(dāng)n=58時(shí)，則第一次“H”運(yùn)算的結(jié)果為29，第二次“H”運(yùn)算的結(jié)果為92，第三次“H”運(yùn)算的結(jié)果為23，第四次“H”運(yùn)算的結(jié)果為74，第五次“H”運(yùn)算的結(jié)果為37，第六次“H”運(yùn)算的結(jié)果為116，第七次“H”運(yùn)算的結(jié)果為29，….；由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律為“H”運(yùn)算的結(jié)果按照29、92、23、74、37、116循環(huán)，據(jù)此問(wèn)題可求解．【詳解】解：由題意得：當(dāng)n=58時(shí)，則第一次“H”運(yùn)算的結(jié)果為29，第二次“H”運(yùn)算的結(jié)果為92，第三次“H”運(yùn)算的結(jié)果為23，第四次“H”運(yùn)算的結(jié)果為74，第五次“H”運(yùn)算的結(jié)果為37，第六次“H”運(yùn)算的結(jié)果為116，第七次“H”運(yùn)算的結(jié)果為29，….；由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律為“H”運(yùn)算的結(jié)果按照29、92、23、74、37、116循環(huán)下去，∵2024÷6=337…..2∴第2024次“H”運(yùn)算的結(jié)果為92；故選：B．【變式8-1】（23-24七年級(jí)·廣西欽州·期末）已知C32=3×21×2=3，C53【答案】41【分析】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察分母是從1到b的b個(gè)數(shù)相乘，分子是從a開(kāi)始乘，依