2024-2025學(xué)年課時(shí)作業(yè)人教A版數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)53-1

課時(shí)作業(yè)53習(xí)題課誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)強(qiáng)化1.已知α為銳角，sin(π－α)＝eq\f(2,3)，則cosα＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(2,3)C．eq\f(\r(5),3)D．－eq\f(\r(5),3)2．在△ABC中，若cosB＝sin(90°－C)＝eq\f(1,2)，則△ABC是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos(eq\f(π,2)－θ)＝()A．±eq\f(\r(5),5)B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5)D．±eq\f(2\r(5),5)4．若sin(－110°)＝a，則tan70°＝()A．eq\f(a,\r(1－a2))B．－eq\f(a,\r(1－a2))C．eq\f(a,\r(1＋a2))D．－eq\f(a,\r(1＋a2))5．(多選)下列各式的值等于1的有()A．sin2(－x－1)＋cos2(x＋1)B．sin(－eq\f(5π,2))C．cos(－5π)D．eq\f(cos（\f(π,2)＋α）,sin（－3π＋α）)6．(多選)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P(－eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，以下說(shuō)法正確的是()A．tanα＝－eq\f(4,3)B．sinα＝－eq\f(4,5)C．sin(α－eq\f(π,2))＝－eq\f(3,5)D．cos(α＋eq\f(3π,2))·cos(π－α)＝－eq\f(12,25)7．在△ABC中，cos(B＋C)＝eq\f(2,3)，則sinA＝________．8．已知函數(shù)f(x)＝tanx－ksinx＋2(k∈R)，若f(eq\f(π,3))＝－1，f(－eq\f(π,3))＝________．9．已知α為第三象限角，且sinα＝－eq\f(3,5).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cos（π－α）＋sinα)的值．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊在第二象限且與單位圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5).(1)求sinα＋cosα和tanα的值；(2)若將射線OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)，得到角β，求eq\f(sin（β＋3π）tan（π＋α）,cos（π－β）＋sin（α＋\f(π,2)）).能力提升11.已知sin(π－α)＋sin(α－eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)，則eq\f(cos（\f(3π,2)＋α）,1＋tan（－α）)的值為()A．－eq\f(3,4)B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,16)D．eq\f(3,16)12．在△ABC中，sin(eq\f(π,2)＋A)＋sin(2π＋A)＝eq\f(7,13)，則tanA＝()A．－eq\f(12,5)B．eq\f(12,5)C．－eq\f(5,12)D．eq\f(5,12)13．定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝eq\f(π,2)，則稱θ與φ“廣義互余”．已知sinα＝eq\f(1,4)，下列角β中，可能與角α“廣義互余”的是()A.sinβ＝eq\f(\r(15),4)B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\f(\r(15),5)D．tanβ＝eq\f(\r(15),15)14．(多選)質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的⊙O上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)．P的角速度大小為2rad/s，起點(diǎn)為⊙O與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為5rad/s，起點(diǎn)為點(diǎn)(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)).則當(dāng)Q與P重合時(shí)，Q的坐標(biāo)可以為()A．(coseq\f(2π,9)，sineq\f(2π,9))B．(－coseq\f(5π,9)，－sineq\f(5π,9))C．(coseq\f(π,9)，－sineq\f(π,9))D．(－coseq\f(π,9)，sineq\f(π,9))15.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．16．已知f(α)＝eq\f(sin（2π＋α）cos（π－α）cos（\f(π,2)－α）,cos（π＋α）cos（\f(3π,2)＋α）)＋cos(2π－α).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(\r(10),5)，求eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,cosα)的值．課時(shí)作業(yè)531．解析：因?yàn)閟in(π－α)＝eq\f(2,3)，所以sinα＝eq\f(2,3)，又α為銳角，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3).故選C.答案：C2．解析：因?yàn)樵凇鰽BC中，cosB＝sin(90°－C)＝eq\f(1,2)，也即cosB＝cosC＝eq\f(1,2)，因?yàn)锽∈(0，π)，C∈(0，π)，所以B＝C＝eq\f(π,3)，則△ABC為等邊三角形．故選B.答案：B3．解析：角θ終邊在直線y＝2x上，則角θ為第一象限角或者第三象限角，tanθ＝2，根據(jù)tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝±eq\f(2\r(5),5)，cos(eq\f(π,2)－θ)＝sinθ＝±eq\f(2\r(5),5).故選D.答案：D4．解析：∵sin(－110°)＝－sin110°＝－sin(180°－70°)＝－sin70°＝a，∴sin70°＝－a，∴cos70°＝eq\r(1－（－a）2)＝eq\r(1－a2)，∴tan70°＝eq\f(sin70°,cos70°)＝－eq\f(a,\r(1－a2)).故選B.答案：B5．解析：對(duì)于A，sin2(－x－1)＋cos2(x＋1)＝sin2(x＋1)＋cos2(x＋1)＝1，故A正確，對(duì)于B，sin(－eq\f(5π,2))＝sin(－eq\f(5π,2)＋2π)＝sin(－eq\f(π,2))＝－sin(eq\f(π,2))＝－1，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，cos(－5π)＝cos5π＝cosπ＝－1，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，eq\f(cos（\f(π,2)＋α）,sin（－3π＋α）)＝eq\f(－sinα,sin（π＋α）)＝eq\f(－sinα,－sinα)＝1，故D正確．故選AD.答案：AD6．解析：因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn)P(－eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3)，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，sin(α－eq\f(π,2))＝－cosα＝eq\f(3,5)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，cos(α＋eq\f(3π,2))·cos(π－α)＝sinα·(－cosα)＝－eq\f(12,25)，故D正確．故選BD.答案：BD7．解析：在△ABC中，cos(B＋C)＝cos(π－A)＝eq\f(2,3)，所以cosA＝－eq\f(2,3)，則sinA＝eq\f(\r(5),3).答案：eq\f(\r(5),3)8．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝tanx－ksinx＋2(k∈R)，所以f(eq\f(π,3))＝taneq\f(π,3)－ksineq\f(π,3)＋2＝－1，即taneq\f(π,3)－ksineq\f(π,3)＝－3，所以f(－eq\f(π,3))＝tan(－eq\f(π,3))－ksin(－eq\f(π,3))＋2＝－taneq\f(π,3)＋ksineq\f(π,3)＋2＝5.答案：59．解析：(1)因?yàn)棣翞榈谌笙藿牵襰inα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)；tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).(2)eq\f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cos（π－α）＋sinα)＝eq\f(sinα＋cosα,－cosα＋sinα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)，由(1)得tanα＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cos（π－α）＋sinα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝－7.10．解析：(1)由三角函數(shù)的定義可得sinα＝eq\f(4,5)，又因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，則cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5)，所以sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).(2)由題知β＝α＋eq\f(π,2)，則sinβ＝sin(α＋eq\f(π,2))＝cosα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝cos(α＋eq\f(π,2))＝－sinα＝－eq\f(4,5)，則eq\f(sin（β＋3π）tan（π＋α）,cos（π－β）＋sin（α＋\f(π,2)）)＝eq\f(（－sinβ）tanα,－cosβ＋cosα)＝eq\f(\f(3,5)×（－\f(4,3)）,\f(4,5)－\f(3,5))＝－4．11．解析：由已知得sinα－cosα＝eq\f(1,2)，兩邊平方得1－2sinαcosα＝eq\f(1,4)，解得sinαcosα＝eq\f(3,8)，則原式＝eq\f(sinα,1－tanα)＝eq\f(sinα,1－\f(sinα,cosα))＝eq\f(sinαcosα,cosα－sinα)＝－eq\f(3,4)．故選A.答案：A12．解析：在△ABC中，sin(eq\f(π,2)＋A)＋sin(2π＋A)＝sinA＋cosA＝eq\f(7,13)，平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(49,169)，2sinAcosA＝－eq\f(120,169)，因?yàn)锳為三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以sinA>0，cosA<0，所以sinA－cosA>0，(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝eq\f(289,169)，所以sinA－cosA＝eq\f(17,13)，結(jié)合sinA＋cosA＝eq\f(7,13)，可得sinA＝eq\f(12,13)，cosA＝－eq\f(5,13)，所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝－eq\f(12,5).故選A.答案：A13．解析：若α＋β＝eq\f(π,2)，則β＝eq\f(π,2)－α，所以sinβ＝sin(eq\f(π,2)－α)＝cosα＝±eq\f(\r(15),4)，故選項(xiàng)A符合條件；cos(π＋β)＝－cos(eq\f(π,2)－α)＝－sinα＝－eq\f(1,4)，故選項(xiàng)B不符合條件；tanβ＝eq\f(\r(15),5)，即sinβ＝eq\f(\r(15),5)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±eq\f(\r(6),4)，故選項(xiàng)C不符合條件；tanβ＝eq\f(\r(15),15)，即eq\r(15)sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±eq\f(1,4)，故選項(xiàng)D不符合條件．故選A.答案：A14．解析：點(diǎn)Q的初始位置Q1的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))，銳角∠Q1Ox＝eq\f(π,3)，設(shè)t時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則5t－2t＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈N)，即t＝eq\f(π,9)＋eq\f(2kπ,3)(k∈N)，此時(shí)點(diǎn)Q(cos(－eq\f(π,3)＋5t)，sin(－eq\f(π,3)＋5t))，即Q(cos(eq\f(2π,9)＋eq\f(10kπ,3))，sin(eq\f(2π,9)＋eq\f(10kπ,3)))(k∈N)，當(dāng)k＝0時(shí)，Q(coseq\f(2π,9)，sineq\f(2π,9))，故A正確；當(dāng)k＝1時(shí)，Q(coseq\f(32π,9)，sineq\f(32π,9))，即Q(－coseq\f(5π,9)，－sineq\f(5π,9))，故B正確；