1617三角函數的應用（B卷能力拓展）-2021-2022學年九年級數學下冊分層練習（基礎鞏固＋能力拓展北師大版）

1.6—1.7三角函數的應用學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021·重慶八中九年級二模）如圖，一棵松樹AB挺立在斜坡CB的頂端，斜坡CB長為52米，坡度為i＝12：5，小張從與點C相距60米的點D處向上爬12米到達觀景臺DE的頂端點E，在此測得松樹頂端點A的仰角為39°，則松樹的高度AB約為（）（參考數據：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米【答案】B【分析】延長AB交DC的延長線于H，作EF⊥AH于F，根據矩形的性質得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根據坡度的概念分別求出CH、BH，根據正切的定義求出AF，結合圖形計算即可．【詳解】解：延長AB交DC的延長線于H，作EF⊥AH于F，則四邊形EDHF為矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度為t＝12：5，∴設BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，則BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，則EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，則AF＝EF?tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故選：B．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題、坡度坡角問題，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．2．（2021·重慶實驗外國語學校九年級開學考試）重慶實驗外國語學校坐落在美麗且有靈氣的華巖寺旁邊，特別是金燦燦的大佛讓身高1.6米的小王同學很感興趣，剛剛學過三角函數知識，他就想測一下大佛的高度，小王到點測得佛頂仰角為，接著向大佛走了10米來到處，再經過一段坡度，坡長為5米的斜坡到達處，此時與大佛的水平距離米（其中點、、、、在同一平面內，點、、在同一條直線上），請問大佛的高度為（）（參考數據：，，．A．15米 B．16米 C．17米 D．18米【答案】B【分析】過點作于點，過點作于點，設，，則由勾股定理可以求出x=1，再證明四邊形和四邊形是矩形，得到米，從求出米，最后解直角三角形即可．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，斜坡的坡度，米，設，，∵，解得，米，米，∵DH⊥EF，AB⊥EF，DM⊥AB，GA⊥AB，∴四邊形和四邊形是矩形，米，米，米，在中，，，米，米．故選B．【點睛】本題主要考查了坡比，勾股定理，解直角三角形，矩形的性質與判定等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．3．（2021·重慶一中九年級期中）如圖，小明為了測量照母山上“覽星塔”AB的高度，先從與塔底中心B在同一水平面上的點D出發(fā)，沿著坡度為1：0.75的斜坡DE行走10米至坡頂E處，再從E處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至點F處，在F點測得塔頂A的仰角為63°，塔底C的俯角為45°，B與C的水平距離為4米（圖中A、B、C、D、E、F在同一平面內，E、F和D、C、B分別在同一水平線上），根據小明的測量數據，計算出“覽星塔”AB的高度約為（計算結果精確到0.1米，參考數據：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）（）A．17.8米 B．23.7米 C．31.5米 D．37.4米【答案】C【分析】過F作FG⊥AB于G，過C作CH⊥FG于H，則PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，先由斜坡DE的坡度和勾股定理求出CH＝BG＝PE＝8，再證出△CFH是等腰直角三角形，得FH＝CH＝8，則FG＝FH＋GH＝12，然后由三角函數的定義求出AG的長，即可得出答案．【詳解】過F作FG⊥AB于G，過C作CH⊥FG于H，如圖所示：則PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，∵斜坡DE的坡度為1：0.75，∴＝＝，設PD＝3x，則PE＝4x，在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝5x，∴5x＝10，∴x＝2，∴CH＝BG＝PE＝8，∵∠CFH＝45°，∴△CFH是等腰直角三角形，∴FH＝CH＝8，∴FG＝FH+GH＝12，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴AG＝FG×tan63°≈12×1.96＝23.52，∴AB＝AG+BG＝23.52+8＝31.5（米），即“覽星塔”AB的高度約為31.5米，故選：C．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用?仰角俯角、坡度坡角問題，解題的關鍵是熟練掌握仰角俯角和坡度的概念以及三角函數的定義．4．（2021·重慶市南華中學校九年級月考）西南大學附中初2020級小李同學想利用學過的知識測量一棵樹的高度，假設樹是豎直生長的，用圖中線段AB表示，小李站在C點測得∠BCA=45°，小李從C點走4米到達了斜坡DE的底端D點，并測得∠CDE=150°，從D點上斜坡走了8米到達E點，測得∠AED=60°，B，C，D在同一水平線上，A、B、C、D、E在同一平面內，則大樹AB的高度約為（）米．（結果精確到0.1米，參考數據：，）A．24.3 B．24.4 C．20.3 D．20.4【答案】B【分析】過E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，則BG=EF，EG=BF，求得∠EDF=30°，根據直角三角形的性質得到EF=DE=4，DF=4，得到CF=CD+DF=4+4，根據三角函數的定義列方程即可得到結論．【詳解】解：過E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，則BG=EF，EG=BF，∵∠CDE=150°，∴∠EDF=30°，∵DE=8，∴EF=DE=4，DF=4，∴CF=CD+DF=4+4，∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴AB=BC，∴GE=BF=AB+4+4，AG=AB4，∵∠AED=60°，∠GED=∠EDF=30°，∴∠AEG=30°，∴，解得：AB=14+6≈24.4，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．二、填空題5．（2021·佛山市華英學校九年級一模）如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC，CD．測得BC=9m，CD=6m，斜坡CD的坡度i=1:，在D處哵得電線桿頂端A的仰角為30°，則電線桿AB的高度為______．（結果保留根號）【答案】6+3【分析】延長AD交BC的延長線于F，作DG⊥BF于G，根據直角三角形的性質和勾股定理求出DC、CG的長，根據正切的定義解答即可．【詳解】解：如圖，延長AD交BC的延長線于F，作DG⊥BF于G，∵∠ADE=30°，∴∠AFB=30°，∵CD=6m，斜坡CD的坡度i=1：，∴tan∠DCG=，∴∠DCG=30°，∴DG=3m，CG=3m，∴∠DFC=∠DCF=30°，∴DF=DC，∵DG⊥BF，∴FG=CG=3（m），∴FC=6m，∴FB=FC+BC=（6+9）m，∴AB=BF×tan∠AFB=（6+9）×=（6+3）m．故答案為：6+3．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，關鍵是本題要求學生借助仰角構造直角三角形，并結合三角函數解直角三角形．6．（2020·浙江溫州市九年級期末）如圖1是一盞可調節(jié)臺燈，圖2，圖3為示意圖，為固定底座，且于點O，為固定支撐桿，為可繞著點B旋轉的調節(jié)桿，燈體始終保持垂直為臺燈照射在桌面的區(qū)域，如圖2，旋轉調節(jié)桿使，已知此時，，點M恰好為的中點，此時______，如圖3，旋轉調節(jié)桿使，則此時______．【答案】【分析】如圖1：延長OA交BC于點G，延長CD交ON于點H，可得四邊形OHCG是矩形，從而得AG=4，BG=3，結合，點M恰好為的中點，即可求解；如圖2，延長過點B作BH⊥OE于點H，過點M作PF∥BC交BA的延長線于點P，交DN于點F，交CD的延長線于I，過點N作NJ⊥CD的延長線于點J，則∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，cos∠DMF=，設MI=x，則MP=7x，DM=，DI=3x，根據BP=CI，列出方程，求出x的值，從而求得MQ=，設NJ=y，根據，列出方程，求出y的值，從而得NQ=，進而即可求解．【詳解】解：如圖1：延長OA交BC于點G，延長CD交ON于點H，∵，，BC⊥CD，∴OG⊥BC，CH⊥OE，∴四邊形OHCG是矩形，∵在中，，又∵，∴AG=4，BG=3，∴OG=AO+AG=1+4=5，OH=CG=BCBG=73=4，∴CH=OG=5，∴DH=51=4，∵，點M恰好為的中點，∴MH=，∴MH=，∴MD=，∴；如圖2，延長過點B作BH⊥OE于點H，過點M作PF∥BC交BA的延長線于點P，交DN于點F，交CD的延長線于I，過點N作NJ⊥CD的延長線于點J，則∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，∴，即：，解得：AG=，∴OG=，由題意得：cos∠DMF=，DJ是∠MDN的平分線，設MI=x，則MP=7x，DM=，DI=3x，∴PG=，∵BP=CI，∴5++=1+3x，解得：x=，∴MI=IF=，DI=×3=，IQ=，MQ==，設NJ=y，則QJ=，NQ=，∵IF∥NJ，∴，即：，解得：，經檢驗：是原方程的根，且符合題意，∴NQ=，∴MN=+=．【點睛】本題主要考查解直角三角形的實際應用，添加輔助線，構造直角三角形，根據三角函數的定義，列方程，是解題的關鍵．7．（2021·浙江九年級期末）如圖1是某品牌自行車，圖2是其示意圖．已知，，，，，自行車坐墊，平行地面，垂直地面，自行車輪子半徑等于5dm，則A點到所在直線的距離為___dm，坐墊到地面的距離為___dm．（已知，結果保留根號）

【答案】【分析】通過作垂線，構造直角三角形，利用銳角三角函數求解即可【詳解】解：（1）過點A作AH垂直RB的延長線于H點，故AH即為所求A到BR所在直線距離∵，∴在中，即故過點D作DM⊥BR于點M，過點C作CN⊥DM于點N，過點K作KP⊥BR于P，延長CR交地面于點Q，故有MRNC為矩形所以，所求FG到地面距離為（KP+RQ），即KP+CQCR在和中∴∽∴∴又AB//CD∴∠∴∠又DM//CR∴∠在中，∴在中，∴∴∴∴即到底面的距離為（）dm．故答案為：；【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意構建直角三角形并熟練掌握三角函數的定義．8．一個長方體木箱沿斜面下滑，當木箱滑至如圖位置時，，已知木箱高，斜面坡角為，則木箱端點距地面的高度為_________．

【答案】3【分析】連接AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的長，利用三角函數即可求得，然后在Rt△AEF中，利用三角函數求得的長．【詳解】解：連接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，∴根據勾股定理得．

又∵，∴．在Rt△AEF中，，∴．故答案為：3．【點睛】本題考查了坡度、坡腳的知識點，勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，熟練運用三角函數求線段的長度.三、解答題9．（2021·重慶一中九年級月考）如圖，在建筑物的左邊有一個小山坡，坡底、同建筑底端在同一水平線上，斜坡的坡比為，小李從斜坡底端沿斜坡走了26米到達坡頂處，在坡頂處看建筑物的頂端D的仰角為35°，然后小李沿斜坡走了米到達底部點，已知建筑物上有一點，在處看建筑物點的仰角為18°，（點、、、、、在同一平面內）建筑物頂端到的距離長度為28.8米，（參考數據：，，，）（1）求小李從斜坡走到處高度上升了多少米．（2）求建筑物的高度．【答案】（1）10米；（2）40.8米【分析】（1）過作，根據比例設，，結合勾股定理求出，即可得到答案；（2）延長角的水平邊交于則，由勾股定理求出，設，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【詳解】解：（1）過作，∵的坡比，設，∴在中，∴，∴；答：小李從斜坡走到處高度上升了10米．（2）延長角的水平邊交于則，在中，設，在中，，∴∵四邊形是矩形，∴又∵，在中，，，；∴；答：建筑物的高度為40.8米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，也考查了勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．10．（2021·四川省宜賓市九年級一模）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，我省森林保護區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，發(fā)現(xiàn)古樹是直立于水平面，為測量古樹的高度，小明從古樹底端出發(fā)，沿水平方向行走了26米到達點，然后沿斜坡前進，到達坡頂點處，．在點處放置測角儀，測角儀支架高度為0.8米，在點處測得古樹頂端點的仰角為（點、、、在同一平面內），斜坡的坡度（或坡比）．（1）求斜坡的高；（2）求古樹的高？（已知，，）

【答案】（1）10米；（2）24.3米．【分析】（1）過點E作EM⊥AB與點M，根據斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可設DG＝x，則CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，進而即可求解；（2）由CG與DG的長，故可得出EG的長．由矩形的判定定理得出四邊形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由銳角三角函數的定義求出AM的長，進而可得出結論．【詳解】解：（1）過點E作EM⊥AB與點M，延長ED交BC于G，

∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝26米，∴設DG＝x，則CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2＋CG2＝DC2，即x2＋（2.4x）2＝262，解得x＝10，∴DG＝10米，即：斜坡的高為10米；（2）∵DG＝10米，∴CG＝24米，∴EG＝10＋0.8＝10.8米，BG＝26＋24＝50米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四邊形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝50米，BM＝EG＝10.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝15°，∴AM＝EM?tan15°≈50×0.27＝13.5米，∴AB＝AM＋BM＝13.5＋10.8≈24.3（米）．答：建筑物AB的高度約為24.3米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用?仰角俯角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．11．（2021·建昌縣九年級二模）如圖1是一種平板支架，由托板、支撐板和底座構成，放置在托板上，圖2是其側面結構示意圖．托板AB＝120mm，支撐板CD＝80mm，底座DE＝90mm．托板AB與支撐板頂端C連接，CB＝40mm，AB可繞點C轉動，CD可繞點D轉動．（結果保留小數點后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求點A到直線DE的距離；（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把AB繞點C逆時針旋轉10°后，再將CD繞點D順時針旋轉，使點B落在直線DE上即可，求CD旋轉的角度．（參考數據：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839；sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，）【答案】（1）；（2）33.4°【分析】（1）作AM⊥DE，交ED的延長線于點M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N，利用三角函數的比值關系分別求出和的長即可；（2）作出旋轉后圖形，利用利用三角函數的比值關系列式運算即可．【詳解】解：（1）如圖2，作AM⊥DE，交ED的延長線于點M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N得矩形CFMN，Rt△ACF，Rt△CDN，∠AFC＝∠CNM＝∠FCN＝90°由題意，可知AB＝120，CB＝40，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，∴AC＝80，在Rt△CDN中，CN＝CD?sin∠CDE＝＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝50°，∴∠ACF＝180°﹣90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC?sin40°≈80×0.643≈51.44，∴AM＝AF＋FM≈51.44＋≈120.7，答：點A到直線DE的距離約為120.7mm（2）旋轉后，如圖3所示，根據題意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D，∴∠D≈26.6°，因此旋轉的角度為：60°－26.6°≈33.4°，答：CD旋轉的角度約為33.4°．【點睛】本題主要考查了解三角函數的實際應用，根據題意作出圖形，掌握三角函數的比值關系是解題的關鍵．12．（2021·蘭州市九年級二模）有一種升降熨燙臺如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數來調整熨燙臺的高度，圖2是這種升降熨燙臺的平面示意圖，和是兩根相同長度的活動支撐桿，點O是它們的連接點，，，表示熨燙臺的高度．（1）如圖2，若，．①點O到的距離為_