云南省昆明市師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)測評月考（五）數(shù)學(xué)試題

2022級高二年級教學(xué)測評月考卷（五）數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷第1頁至第2頁，第Ⅱ卷第3頁至第4頁．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的值為（）A5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，求出和，然后利用通項(xiàng)公式即可求出.【詳解】設(shè)在等差數(shù)列的公差為，，解得，故，故選B．2.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義計算即可得出結(jié)果.【詳解】，則.故選：C．3.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，所以，則.故選:A．4.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求導(dǎo)函數(shù)結(jié)合定義域解分式不等式即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，解得.故選：D．5.已知，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的夾角運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算求解投影向量.【詳解】因?yàn)?，則向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量是.故選:C．6.過點(diǎn)作圓的切線，直線與直線平行，則直線與的距離為（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由點(diǎn)斜式求出直線l的方程，根據(jù)直線平行及兩平行直線間的距離公式可得結(jié)果.【詳解】由條件知點(diǎn)在圓上，所以直線的斜率為切線的斜率為，即直線方程為，整理得：直線與直線平行，直線方程為，則直線與的距離為，故選：A．7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可得在上恒成立，分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，又當(dāng)時，函數(shù)，在時取得最大值4，所以，所以的最小值為4.故選：D．8.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】利用是函數(shù)的極小值點(diǎn)，代入，則，即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑臉O小值點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以時，是的極小值點(diǎn)，故，故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】CD【解析】【分析】結(jié)合已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，即可求解.【詳解】若，則，故A錯誤；若，則，故B錯誤；若，則，故C正確；若，則，故D正確，故選：CD．10.已知數(shù)列滿足，設(shè)的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】若，則，兩式相減可得，可證得為周期2的周期數(shù)列，由數(shù)列的周期性可判斷A，B；若，可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式可判斷C，D.【詳解】對于A，B，若，則，兩式相減可得，為周期2的周期數(shù)列，，則，故A正確；，故B正確；對于C，D，若，則，可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，則，故C錯誤；，故D正確，故選：ABD．11.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則（）A. B.C.雙曲線的方程為 D.【答案】ABC【解析】【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)一一計算判定選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)過與一條漸近線垂直的直線為，則的方程為，與聯(lián)立可得，因?yàn)?，又，得，?lián)立得：，則，所以離心率為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由對稱性可得的另一個坐標(biāo)為，故選:ABC．12.已知，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為 B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極大值為 D.方程有1個不同的解【答案】CD【解析】【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，對于B，求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)小于零求解，對于C，求導(dǎo)后求極值，對于D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值，由函數(shù)與的交點(diǎn)個數(shù)判斷.【詳解】對于A，由，得，則，所以在處的切線方程為，故A錯誤；對于B，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B錯誤；對于C，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得極大值，故C正確；對于D，由C選項(xiàng)可知的最大值為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)與的交點(diǎn)個數(shù)為1，所以有1個解，故D正確.故選：CD．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知數(shù)列滿足，且，則_______．【答案】【解析】【分析】對兩邊同時取倒數(shù)，得到，求出通項(xiàng)公式.【詳解】對兩邊同時取倒數(shù)，所以，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，所以．故答案為：14.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足關(guān)系式，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，代入計算即可.【詳解】由進(jìn)行求導(dǎo)得：，可得：，解得．故答案為：15.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，且．若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；直線的斜率為_______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，由，結(jié)合拋物線定義求得，可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理求得.【詳解】如圖，拋物線的焦點(diǎn)，令，由，可得，又，則，則，此時拋物線，其焦點(diǎn)．由題意可得直線的斜率存在，且不等于0，則其方程可設(shè)為，由整理得，則，則，即，即，解得．故答案為：；.16.定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，若，則不等式的解集為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為即可得解.【詳解】，，，即的周期為4，，是定義在上的偶函數(shù)，．令，，即在R上單調(diào)遞減，，，不等式的解集為；故答案為：.四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，兩式相減由累乘法可求出的通項(xiàng)公式；（2）求出，由裂項(xiàng)相消法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)椋畹?，因?yàn)?，所以，兩式相減得，即．所以，所以，即，所以當(dāng)時，，又，所以．【小問2詳解】由（1）可得，所以.18.已知函數(shù)，且．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）極大值，極小值【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求極值即可.【小問1詳解】已知，函數(shù)定義域?yàn)?，可得，因?yàn)?，所以，解得，此時，易知，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值；當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值．19.給出以下三個條件：①；②成等比數(shù)列；③．請從這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個條件分別作答，以第一個作答計分．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，_______．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式計算即可；（2）先求，再利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】若選①，，，．若選②成等比數(shù)列，，又，，解得或1，又，．若選③，，又，，解得，．【小問2詳解】，，，，兩式相減得，20.已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】（1）（2）最大值為20，最小值為0【解析】【分析】（1）先求出，得出；再根據(jù)題目條件列出方程組，解出即可解答.（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出極小值和極大值；在計算端點(diǎn)處的函數(shù)值，，與極大值和極小值進(jìn)行比較即可解答.【小問1詳解】由可得：.所以在點(diǎn)處切線斜率為，因?yàn)樵邳c(diǎn)處切線方程為，所以切線的斜率為0，且，所以，即，解得，所以．【小問2詳解】由（Ⅰ）知，則.令得或3，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在處，取得極大值，在處取得極小值.又因?yàn)椋?，所以在上的最大值?0，最小值為0．21.橢圓的離心率，且橢圓的短軸長為2．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線過點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，又點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn)，當(dāng)面積最大時，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求出即可得結(jié)果，（2）根據(jù)直線與橢圓相交，由韋達(dá)定理及面積公式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.【小問1詳解】由題意得：，解得所以橢圓方程為．【小問2詳解】如圖，由（1）可知，，由題意可知直線斜率必存在，設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立，整理可得：，因?yàn)?，則，，，令，可得，，則，令，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即，即時，面積最大．此時直線．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，分和討論與大小，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）將題意轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)數(shù)根，令，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性與最值，即可得出答案.【小問1詳解】由，