2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE2．1等式2．1.1等式的性質(zhì)與方程的解集內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.駕馭等式的性質(zhì)，并能進行應(yīng)用．邏輯推理數(shù)學(xué)運算2.理解常見恒等式及其變形的形式，能對一些式子進行化簡．3.能通過因式分解求方程的解集.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第19頁[教材提煉]學(xué)問點一等式的性質(zhì)1．等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等，用公式表示：假如a＝b，那么a±c＝b±c；這里的a，b，c可以是詳細的一個數(shù)，也可以是一個代數(shù)式．2．等式兩邊乘以同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，用公式表示：假如a＝b，那么ac＝bc，eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)(c≠0)．學(xué)問點二恒等式1．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)；(平方差公式)2．(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(兩數(shù)差的平方公式)3．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(兩數(shù)和的平方公式)4．a(chǎn)3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；(立方差公式)5．a(chǎn)3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．(立方和公式)學(xué)問點三方程的解集一般地，把一個方程全部解組成的集合稱為方程的解集．[自主檢測]1．一元二次方程x2－2x＝0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為()A．－2 B．1C．2 D．0答案：D2．分解因式：x2－1＝________.答案：(x＋1)(x－1)3．方程x2＋2x＋1＝0的解集為________．答案：{－1}4．多項式4a－a3答案：a(2－a)(2＋a)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第19頁探究一利用恒等式化簡[例1](1)分解因式：9－b2＝________；(2)分解因式：4a2－4[解析](1)利用平方差公式分解因式．(2)利用完全平方公式分解．[答案](1)(3＋b)(3－b)(2)(2a－1)利用恒等式化簡的步驟(1)先看各項有無公因式，有公因式的先提取公因式．(2)提公因式后看多項式的項數(shù)．①若多項式為兩項，則考慮用平方差公式因式分解．②若多項式為三項，則考慮用完全平方公式因式分解．③若多項式有四項或四項以上，就考慮綜合運用上面的方法．(3)若上述方法都不能分解，則考慮把多項式重新整理、變形，再按上面步驟進行．1．將多項式x－x3因式分解正確的是()A．x(x2－1) B．x(1－x2)C．x(x＋1)(x－1) D．x(1＋x)(1－x)解析：x－x3＝x(1－x2)＝x(1＋x)(1－x)．故選D.答案：D2．分解因式：a3b－ab3＝________.解析：a3b－ab3＝ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)．答案：ab(a＋b)(a－b)探究二十字相乘法[例2]分解因式：(1)x2＋6x－7；(2)2x2－7x＋6；(3)x2＋29xy＋100y2.[解析](1)法一：x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7＝(x＋3)2－16＝(x＋3＋4)(x＋3－4)＝(x＋7)(x－1)．法二：x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1)．(2)首先把二次項系數(shù)2分成1×2，常數(shù)項6分成(－2)×(－3)，寫成十字相乘，左邊兩個數(shù)的積為二次項系數(shù)．右邊兩個數(shù)相乘為常數(shù)項，交叉相乘的和為1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次項系數(shù)，從而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3)．(3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y)．1．對于首項系數(shù)是1的二次三項式的十字相乘法，重點是運用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)進行因式分解．2．對于二次三項式ax2＋bx＋c(a、b、c都是整數(shù)，且a≠0)來說，假如存在四個整數(shù)a1，c1，a2，c2滿意a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三項式ax2＋bx＋c即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解為(a1x＋c1分解因式：－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋7.解析：－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋7＝－eq\f(1,3)(x2－4x－21)＝－eq\f(1,3)(x－7)(x＋3)．探究三方程的解集[例3]求方程6x2－7x－5＝0的解集．[解析]因為6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)，所以(2x＋1)(3x－5)＝0，從而可知2x＋1＝0或3x－5＝0，即x＝－eq\f(1,2)或x＝eq\f(5,3)，因此方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(5,3))).一元二次方程解法的選擇(1)干脆開平方法適用狀況①當(dāng)方程缺少一次項時，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；②形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．(2)因式分解法適用狀況①缺少常數(shù)項，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；②一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積．(3)配方法適用狀況①二次項系數(shù)化為1后，一次項系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程；②各項的系數(shù)比較小且便于配方的狀況．求方程2x2－x－1＝0的解集．解析：因為2x2－x－1＝(2