2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率計(jì)算公式2.2建立概率模型學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE2古典概型2．1古典概型的特征和概率計(jì)算公式2．2建立概率模型考綱定位重難突破1.通過(guò)實(shí)例理解古典概型的兩個(gè)特征及古典概型的定義.2.駕馭古典概型的概率計(jì)算公式.3.理解概率模型的特點(diǎn)及應(yīng)用.重點(diǎn)：古典概型的概念及其概率公式的應(yīng)用條件.難點(diǎn)：古典概型的概率的計(jì)算.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第43頁(yè)[自主梳理]1．古典概型2．古典概型的概率計(jì)算公式對(duì)于古典概型，通常試驗(yàn)中的某一事務(wù)A是由幾個(gè)基本領(lǐng)件組成的．假如試驗(yàn)的全部可能結(jié)果為n，隨機(jī)事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)為m，那么事務(wù)A的概率規(guī)定為P(A)＝eq\f(事務(wù)A包含的全部可能結(jié)果數(shù),試驗(yàn)的全部可能結(jié)果數(shù))＝eq\f(m,n).3．建立古典概率模型的要求(1)在建立概率模型時(shí)，假如每次試驗(yàn)有且只有一個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)．(2)基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是有限的．(3)并且它們的發(fā)生是等可能的．滿意上述三個(gè)條件的概率模型就是一個(gè)古典概型．4．古典概率模型的解決方案從不同的角度去考慮一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來(lái)解決，而所得到的古典概型的全部可能結(jié)果越少，問(wèn)題的解決就變得越簡(jiǎn)潔．[雙基自測(cè)]1．袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從里面隨意摸2個(gè)小球，下列事務(wù)不是基本領(lǐng)件的是()A．{正好2個(gè)紅球} B．{正好2個(gè)黑球}C．{正好2個(gè)白球} D．{至少1個(gè)紅球}解析：至少1個(gè)紅球包含：一紅一白或一紅一黑或2個(gè)紅球．答案：D2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，從集合A中選取不相同的兩個(gè)數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，視察點(diǎn)的位置，則事務(wù)“點(diǎn)落在x軸上”包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)共有()A．7個(gè) B．8個(gè)C．9個(gè) D．10個(gè)解析：符合要求的基本領(lǐng)件是(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)．答案：C3．下列概率模型：①在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的全部點(diǎn)中任取一點(diǎn)；②某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)；③某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講；④一只運(yùn)用中的燈泡的壽命長(zhǎng)短；⑤中秋節(jié)前夕，某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量，給該品牌月餅評(píng)“優(yōu)”或“差”．其中屬于古典概型的是________．解析：①不屬于，緣由是全部橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有無(wú)限多個(gè)，不滿意有限性；②不屬于，緣由是命中0環(huán)，1環(huán)，…，10環(huán)的概率不肯定相同，不滿意等可能性；③屬于，緣由是滿意有限性，且任選1人與學(xué)生的性別無(wú)關(guān)，是等可能的；④不屬于，緣由是燈泡的壽命是任何一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，有無(wú)限多種可能，不滿意有限性；⑤不屬于，緣由是該品牌月餅被評(píng)為“優(yōu)”或“差”的概率不肯定相同，不滿意等可能性．答案：③授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第44頁(yè)探究一基本領(lǐng)件的計(jì)數(shù)問(wèn)題[典例1]做投擲2顆骰子的試驗(yàn)，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫出：(1)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件；(2)事務(wù)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”[解析](1)這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件共有36個(gè)，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)事務(wù)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”基本領(lǐng)件的兩個(gè)探求方法：(1)列表法：將基本領(lǐng)件用表格的方式表示出來(lái)，通過(guò)表格可以清晰地看出基本領(lǐng)件的總數(shù)，以及要求的事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件數(shù)，列表法適合于較簡(jiǎn)潔的試驗(yàn)的題目，基本領(lǐng)件較多的試驗(yàn)不適合用列表法．(2)樹(shù)狀圖法：樹(shù)狀圖法是用樹(shù)狀的圖形把基本領(lǐng)件列舉出來(lái)的一種方法，樹(shù)狀圖法便于分析基本領(lǐng)件間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對(duì)于較困難的問(wèn)題，可以作為一種分析問(wèn)題的主要手段．樹(shù)狀圖法適合于較困難的試驗(yàn)的題目．1．連續(xù)擲3枚硬幣，視察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面：(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的全部基本領(lǐng)件；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件的總數(shù)；(3)記A＝“恰有兩枚正面對(duì)上”這一事務(wù)，則事務(wù)A包含哪幾個(gè)基本領(lǐng)件？解析：(1)作樹(shù)狀圖如圖．故全部基本領(lǐng)件為(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)基本領(lǐng)件的總數(shù)是8.(3)“恰有兩枚正面對(duì)上”包含以下3個(gè)基本領(lǐng)件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．探究二古典概型概率問(wèn)題的求法[典例2]袋中有6個(gè)球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中隨意取出兩球，求下列事務(wù)的概率：(1)事務(wù)A：取出的兩球都是白球；(2)事務(wù)B：取出的兩球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球．[解析]設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1，2，3，4，2個(gè)紅球的編號(hào)為5，6.從袋中的6個(gè)小球中任取2個(gè)球的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種．(1)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，所取的兩球全是白球的取法總數(shù)，即是從4個(gè)白球中任取兩個(gè)的取法總數(shù)，共有6種，為(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．所以取出的兩球都是白球的概率為P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，其中一個(gè)是紅球，而另一個(gè)是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)共8種．所以取出的兩個(gè)球一個(gè)是白球，一個(gè)是紅球的概率為P(B)＝eq\f(8,15).求古典概型概率的計(jì)算步驟：(1)求出基本領(lǐng)件的總個(gè)數(shù)n.(2)求出事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m.(3)求出事務(wù)A的概率P(A)＝eq\f(事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件數(shù),試驗(yàn)的基本領(lǐng)件總數(shù))＝eq\f(m,n).2．盒中有3只燈泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)從中取出1只，然后放回，再取出1只，求連續(xù)2只取出的都是正品的概率；(2)從中一次任取2只，求2只都是正品的概率．解析：(1)將燈泡中2只正品記為a1，a2，1只次品記為b1，畫出樹(shù)狀圖如圖．基本領(lǐng)件總數(shù)為9，連續(xù)2次取得正品的基本領(lǐng)件數(shù)是4，所以其概率是P＝eq\f(4,9).(2)“從中一次任取2只”得到的基本領(lǐng)件總數(shù)是3，即a1a2，a1b1，a2b1(a1a2表示一次取出正品a1，a2)，“2只都是正品”的基本領(lǐng)件數(shù)是1，所以其概率是P＝eq\f(1,3).探究三與古典概型有關(guān)的綜合問(wèn)題[典例3]設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．[解析]設(shè)事務(wù)A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的條件為a≥b.基本領(lǐng)件共12個(gè)：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，其次個(gè)數(shù)表示b的取值．事務(wù)A包含9個(gè)基本領(lǐng)件，為(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，故事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(1)留意放回與不放回的區(qū)分．(2)在古典概型下，當(dāng)基本領(lǐng)件總數(shù)為n時(shí)，每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的概率均為eq\f(1,n)，要求事務(wù)A的概率，關(guān)鍵是求出基本領(lǐng)件總數(shù)n和事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件數(shù)m，再由古典概型概率公式P(A)＝eq\f(m,n)求事務(wù)A的概率．3．編號(hào)分別為A1，A2，…，A16的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練競(jìng)賽中的得分記錄如下：運(yùn)動(dòng)員編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運(yùn)動(dòng)員編號(hào)A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格：區(qū)間10～2020～3030～40人數(shù)(2)從得分在20～30內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，①用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出全部可能的抽取結(jié)果；②求這2人得分之和大于50的概率．解析：(1)由得分記錄表，從左到右應(yīng)填4，6，6.(2)①得分在20～30內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為A3，A4，A5，A10，A11，A13.從中隨機(jī)抽取2人，全部可能的抽取結(jié)果有：(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A10)，(A3，A11)，(A3，A13)，(A4，A5)，(A4，A10)，(A4，A11)，(A4，A13)，(A5，A10)，(A5，A11)，(A5，A13)，(A10，A11)，(A10，A13)，(A11，A13)，共15種．②從得分在20～30內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，將“這2人得分之和大于50”記為事務(wù)B，則事務(wù)B的全部可能結(jié)果有：(A4，A5)，(A4，A10)，(A4，A11)，(A5，A10)，(A10，A11)，共5種，所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).樹(shù)形圖的應(yīng)用[典例]某盒子中有紅、黃、藍(lán)、黑色調(diào)筆各1支，這4支筆除顏色外完全相同，4個(gè)人按依次依次從盒中抽出1支，求基本領(lǐng)件總數(shù)．[解析]把這4支筆分別編號(hào)為1，2，3，4，則4個(gè)人按依次依次從盒中抽取1支彩筆的全部可能結(jié)果用樹(shù)狀圖直觀地表示如圖所示．由樹(shù)狀圖知共有24個(gè)基本領(lǐng)件．[感悟提高]利用樹(shù)形圖(表格)找尋基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)形象直觀且不易出錯(cuò).[隨堂訓(xùn)練]對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第45頁(yè)1．下列有關(guān)古典概型的四種說(shuō)法：①試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個(gè)；②每個(gè)事務(wù)出現(xiàn)的可能性相等；③每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等；④已知基本領(lǐng)件總數(shù)為n，若隨機(jī)事務(wù)A包含k個(gè)基本領(lǐng)件，則事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(k,n).其中全部正確說(shuō)法的序號(hào)是()A．①②④ B．①③C．③④ D．①③④解析：②中所說(shuō)的事務(wù)不肯定是基本領(lǐng)件，所以②不正確；依據(jù)古典概型的特點(diǎn)及計(jì)算公式可知①③④正確．故選D.答案：D2．從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1解析：列舉基本領(lǐng)件，從甲、乙、丙三人中任選兩名代表可能的結(jié)果是(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3種；甲被選中的可能結(jié)果是(甲，乙)，(甲，丙)，共2種，所以P(“甲被選中”)＝eq\f(2,3).答案：C3．從集合A＝{2，3，－4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為k，從集合B＝{－2，－3，4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b，則直線y＝kx＋b不經(jīng)過(guò)其次象限的概率為_(kāi)_______．解析：依題意k和b的全部可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2，4)，(3，－2)，(3，－3)，(3，4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4，4)，共9種，當(dāng)直線y＝kx＋b不經(jīng)過(guò)其次象限時(shí)，應(yīng)有k>0，b<0，滿意條件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－3)，共4種，所以所求概率為eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)4．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相等的1個(gè)白球和已有不同編號(hào)的3個(gè)黑球，從中隨意摸出2個(gè)球．(1)共有多少個(gè)不同的基本領(lǐng)件，這樣的基本領(lǐng)件是否為等可能的？該試驗(yàn)是古典概型嗎？(2)摸出的兩個(gè)球都是黑球記為事務(wù)A，問(wèn)事務(wù)A包含幾個(gè)