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文檔簡介
平面向量
一、單選題
1.設向量&=(攵,2),石=(1,-1),若司必,則實數(shù)A的值是()
A.2B.-2C.1D.-1
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)共線向量的坐標表示得出關于實數(shù)%的等式,解出即可.
【詳解】
?.響量£=(女,2),力=(1,—1),且)〃力,.?.一人=2,解得左=一2.
故選:B.
【點睛】
本題考查利用共線向量的坐標運算求參數(shù)的值,考查運算求解能力,屬于基礎題.
2.已知A(7,l),3(l,4),直線y=與線段AB交于點C,且就=2在,則實數(shù)
。的值為()
45
A.2B.1C.-D.-
53
【答案】A
【解析】
【分析】
假設然后利用向量相等,可得坐標之間的關系,計算可得結果.
【詳解】
設C(玉),%),則為=ggr
。—
AC=(xl,—cuc0—1^,CB=(1—x(),4_
%-7—2(1—x0),
,?*AC=2CB>11.JA1)
-ax-0-l=2^4--ax0
J/=3,
a=2.
故選:A
【點睛】
本題考查向量相等的坐標表示,屬基礎題.
3.已知向量£與向量才滿足1=2,1^1=2^,\a+b\-\a-b\=4y[5,則向量£與
向量B的夾角為()
兀-3兀九一5471
A.一或——B.Z或不D.—
44c小2
【答案】A
【解析】
【分析】
設向量£,B的夾角為8,貝iJ|Z+B/=12+80cose,|£—B|2=12-8&COS6?,即
可求出cos?6,從而得到向量的夾角;
【詳解】
解:設向量Z,3的夾角為8,|£+3|2=|2|2+府+2|£|㈤cose=4+8+80cos。
=12+8&cos。,
|£-M=|£F+|B|2-2|£||I|cos6=4+8-8>/Icose=12-80cose,所以
\a+b\1-|a-&|2=144-128cos2^=(4A/5)2=80,.,.cos2^=1,因為6e[0,;r),
故。=工或」故選:A.
44
【點睛】
本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律,及夾角的計算,屬于中檔題.
4.在正方形中,點E為CD邊的中點,則
一一1一一一1一
A.AE=AB+-ADB.AE=AB——AD
22
一1——一1一一
C.AE=-AB+ADD.AE=——AB+AD
22
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量加法、數(shù)乘運算直接求解.
【詳解】
因為點E為C。邊的中點,
所以通=赤+詼=瓦5+4而
2
故選C.
【點睛】
本題主要考查了向量的加法運算及數(shù)乘運算,屬于基礎題.
5.在AABC中,內角的對邊分別為是AABC外接圓的圓心,若
0acosB=J^c—。,且竺0通+^^而=機正,則加的值是()
sinCsinB
A.—B.—C.V2D.2V2
42
【答案】C
22i2
【解析】因為拒acosB=J5c-匕,由余弦定理得伍?巴+土一=4ic-b,整理
2ac
^b2+c2-a2=y/2bc,所以cosA=貴±亡@=變,即4=生,因為。是A4BC
2hc24
的外心,則對于平面內任意點P,均有:
右右cosA—cosB-cosC人”4壬人萬/日
PO=----------PA+----------PB+----------PC,令尸與A重合,及TL44=—得
2sinBsinC2sinAsinC2sinAsinB4
布=鉀-通+等5就=交(辿而+B正而]???
V2sinCV2sinB21sinCsinB)
空通+空衣=加荷,.?.機=0.故選C.
sinCsinB
點睛:三角形的四心與向量關系:
(2)。是MBC重心=。/+0月+。6=6,
P是平面4BC內任一點,尸6=3(尸可+「月+尸3)06是八43。重心.
(2)。是AABC垂心0宓。9+0反滅:+^04,
若。是AABC垂心,則tarL4OZ+tan3Q^+tanCOC=。.
(3)0是MBC外心o|礪卜|而1=1萬]
若。是AABC外心,則sin2AQ4+sin26O與+sin2coe=0.
若。是\ABC外心,則對于平面內任意點產,均有:
cosA—cosfi-cosC-
PO==----------PA++
2sinBsinC2sinAsinC2sinAsinB
(4)0是AABC內心
。是AABC內心礪+力而+。反=0,
O是AABC內心<=>sinAOA+sinBOB+sinCOC=0.
6.正方形A3CO的邊長為2,對角線AC,8。相交于點。,動點P滿足|詼卜日,
若衣=加而+〃而,其中加,〃eR,則§〈的最大值是()
2H+2
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
【分析】
先以。為坐標原點,平行于邊AO為工軸,轉化條件可得加=上里,n=—,再把
22
產1轉化為點P與點(-3,-2)連線的斜率利用圓的切線性質即可得解.
【詳解】
如圖建系:
?.?正方形ABC。的邊長為2,.?.通=(0,2),通=(2,0),
設點P(x,y),AP=(x+l,y+l),
又AP=mAB+nAD>
y+1x+12m+1y+2
,m=-----,n=------,--------=------
222〃+2x+3
又動點P滿足|而卜孝,』+y2=;,
—
取點2(3,—2),kPQ=..
則直線PQ:y+2=%(x+3),
1I3
當直線P。與圓/+丁=:相切時%S滿足L
\
7
解得L=1或一,
K17
2加+1
-——-的最大值為1.
故選:A.
【點睛】
本題綜合考查了向量的線性運算、直線的斜率、圓的方程以及直線與圓相切,考查了轉
化化歸和數(shù)形結合的思想,屬于中檔題.
7.設。為AABC所在平面內一點,若配=30,則下列關系中正確的是()
—1一4—一1—4一
A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC
3333
一4一1
C.AD=-AB+-ACD.AD^-AB——AC
3333
【答案】A
【解析】
【分析】
【詳解】
"-'BC=3CD
____uuur____
?"-AC-AB=^AD-AC)^
uuur4-vx1
/.AO=_ACAB.
33
故選A.
8.設Z,"均為單位向量,當£,2的夾角為寧時,3在2方向上的投影為()
11nV3
A.--B.----C.一D.—
2222
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量投影計算公式,計算出所求的投影.
【詳解】
£在"上的投影為Mcos<a,e>=cos^=-;,
故選:B.
【點睛】
本小題主要考查向量投影的概念和運算,考查單位向量,屬于基礎題.
9.已知a=(2,1),1=(九-1),a!/b,則加=()
I1
A.—B?----C.2D?-2
22
【答案】D
【解析】
試題分析:根據(jù)向量共線的坐標表示,要使Z/歷,只需2x(-l)=lx/〃即可,解得
m--2.
考點:向量共線的坐標表示.
10.已知。為坐標原點,平面向量函=(1,3),礪=(3,5),麗=(1,2),且
OC=kOP(攵為實數(shù)).當跳函=-2時,點C的坐標是()
A.(—2,—4)B.(2,4)C.(—1,—2)D.(3,6)
【答案】B
【解析】
能=%罰□人為實數(shù))
二反=(左,2%)
又;而=礪-反□礪=(1,3)
:.CA=(l-k,3-2k)
同理麗=(3-左,5-2左)
:.C4-CB=(1-k)(3-k)+(3-2k)(5-2k)=5A:2-20A:+18=5(A:-2)2-2
uuuu
二當女=2時DCA-CB有最小值一2
此時點C的坐標是(2,4)
故選B
jr
11.在AABC中A=g,0+c=4,E、/為邊BC的三等分點,則荏.衣的最小值為
()
98826
A.—B.-C.—D.3
239
【答案】C
【解析】
次衣=(小+押)(押+廣卜來加+到+源近
|1+⑹+汐xg=|9+c)2」2|("c)2令b=c
時等號成立),即麗?恁的最小值為秘,故選C.
【易錯點晴】本題主要考查平面向量的基本運算以及利用基本不等式求最值,
屬于難題.利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,
三相等”的內涵:一正是,首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是,其次要看和
或積是否為定值(和定積最大口積定和最小);三相等是,最后一定要驗證等
號能否成立(主要注意兩點,一是相等時參數(shù)否在定義域內,二是多次用之或
w時等號能否同時成立).
12.如果向量5=(0,1),b=(-2,1)>那么|a+2行|=()
A.6B.5C.4D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出Z+2行的坐標,再由模的坐標表示計算.
【詳解】
由已知Z+2^=(—4,3),所以|£+2切=’(-4尸+32=5,
故選:B.
【點睛】
本題考查平面向量模的坐標運算,掌握向量模的坐標表示是解題關鍵,本題屬于基礎題.
二、填空題
13.已知向量向石夾角為45。,且同=1,忸+同=而;則忸卜.
【答案】72
【解析】
【分析】
把已知式子兩邊平方,結合數(shù)量積的定義可得關于忖的一元二次方程,解方程可得.
【詳解】
□同=1儂+.=屈口
□(2?+^)2=4?2+45-^+P=10n
代入數(shù)據(jù)可得4*l+4xlx|5卜曰+|BF=10
化簡可得|5『+2/河口6=0口
解得同=0,或-30(負數(shù)舍去)
故答案為J5
【點睛】
本題考查向量模長的求解,涉及數(shù)量積和向量的夾角,屬基礎題.
14.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則忖等于.
【答案】亞
【解析】
試題分析:因為3=(—152),「+3=(13),所以£=QJ),所以同=、5.
考點:平面向量數(shù)量積的運算:向量的模.
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握平面向量的加法運算,以及向量的求模公式的應
用,此題屬于基礎題主要細心的運算即可得到全分.
15.已知£與五的夾角為45。,且問=1,網(wǎng)=及,則歸-叫=;
【答案】亞
【解析】
【分析】
運用平面向量模長的運算可得結果.
【詳解】
解:根據(jù)題意得,
(“一2可=a-4a-b+4h=12-4xlxV2x^-+4x^V2^=5
/.|a-2^l=V5
故答案為:、后.
【點睛】
本題考查平面向量模長的計算,屬于基礎題。
16.已知點。是AA8C的重心,內角A、B、C所對的邊長分別為。、。、c,且
2a?況+力礪+冬叵c?元=6,則角C的大小是
3
【答案】-
3
【解析】
試題分析:口點。是EIABC的重心,口五彳+礪+詼=6
又口2。?礪+力赤+氈c?3=0,二2a=b=^c=it(k>0)
33
從而a=3,b=£c=gk,由余弦定理得:
k2
+e--k2.
a+Z?2-c
COS(J=-----------=---4_1
lab2?上*k3
2
JT
又“口(0,71),nc=—
3
JT
口角c的大小是A;
jr
故答案為父
考點:向量數(shù)乘的運算及其幾何意義.
三、解答題
17.在平行四邊形ABCO中,E,尸分別是8,AB的中點,如圖所示.
(1)寫出與向量定共線的向量;
(2)求證:BE=FD-
【答案】(DCF,AE-麗;(2)見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)條件,結合圖形即可寫出所有與向量網(wǎng)共線的向量;
(2)根據(jù)題意可得出四邊形8尸DE是平行四邊形,從而得到BE=FD且BE//FD,從
而得出BE=FD-
【詳解】
(1)根據(jù)題意,與向量網(wǎng)共線的向量為:CF,AE,EA.
(2)???/8CD是平行四邊形,AB//CD,AB=CD,且E,產分別為邊。,AB的
中點,
:.BF=ED,且BF〃ED,.,.四邊形瓦是平行四邊形,:.BE=FD,nBE//FD,:.
BE=FD-
【點睛】
本題考查了共線向量的定義,相等向量的定義,考查了推理能力,屬于基礎題.
18.已知平行四邊形A5Q9中,AC與8。相交于點。,E為線段8的中點,AE的
延長線與CD相交于點F,若詼=々,〃=5,試用大5表示向量器.
12-
【答案】一彳互+彳。
33
【解析】
【分析】
利用三角形相似得出。用口,$表示出而,AO,即可利用三角形法則得
出標?
【詳解】
■:XAEBS/\FED'
.DFDE
I
:?DF=—AB,
3
——--1—1—.11_
AB=OB-OA=-DB+-AC=-a+-b,
2222
AD=AO+Ob^-AC--DB^-b--a,
2222
-2,-
:.AF^AD+DF=AD+-AB^-b--a+-a+-b^--6Z—b.
3226633
二
AB
【點睛】
本題考查了平面向量的幾何運算,三角形法則,屬于中檔題.
19.在直角梯形ABC。中,ZA=90°,ZB=30°,AB=2^,BC=2,點E在線
段C。上.若冠=而+/1而,求實數(shù)X的取值范圍.
【答案】0,;
【解析】
【分析】
DE
根據(jù)梯形的幾何性質和向量的線性運算可得丸=r,可求得實數(shù)X的取值范圍.
AB
【詳解】
由圖分析知DC=AB-BCcos30°=百.
DE
AE=AD+AAB,^AE-AD=AAB<即反=X而,,4==
AB
uin]
又OVOE45AB—2>/3,J0W4W—.
2
綜上,實數(shù)X的取值范圍是。4.
【點睛】
本題考查向量的線性運算,關鍵在于運用梯形的幾何性質得出向量間的線性關系,屬于
基礎題.
20.設2L4BC的內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且2必。=3,0<AB?AC<6,函數(shù)
/(。)=2sin2c+0)-V3cos20.
(1)求角4的取值范圍;
(2)求f(4)的值域.
【答案】⑴4€[盟]⑵f(A)e[2,3]
【解析】
試題分析:(1)先由向量數(shù)量積得0<bccosA<6,再由三角形面積公式得:bcsinA=3,
因此tan/>1,或cos4=0,根據(jù)三角形內角范圍得Ae《勺(2)先根據(jù)二倍角公式、
誘導公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)y=1+2sin(2A-9,再根據(jù)Aeg,自得
邑芻,結合正弦函數(shù)性質得sin(24-勺eR1],即得f(4)6[2,3]
試題解析:(1)nSAABC=3,^bcsinA=3.□
□0<AB?^4C<6,DO<bccosA<6,□
由□□可得:0式汕式1,BPtan/1>1,OAG
s】nAL42J
(2)/(A)=2sin2(^+A)-V3cos24=1-cos(^+24)-75cos24
=1+sin24-6cos24=1+2sin(24-
A吒串口24一4碌,爭.
□sin(24-geg,l],□/(7!)G[2,3],
考點:向量數(shù)量積,三角形面積公式,二倍角公式、誘導公式、配角公式
【思路點睛】三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學的兩個重要分支,內容繁雜,且平面向量
與三角函數(shù)交匯點較多,向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進
行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題,都會出現(xiàn)交匯問題中的難點,對
于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”,再
利用三角函數(shù)的相關知識進行求解.
21.已知〃1),b——.
(1)計算。力及同、忖;
(2)設3=歹+(九-3)5,d=-ya+xb,冗聲0,若"J_Z,試求此時V和工滿足的
函數(shù)關系式y(tǒng)=g(x),并求g(x)的最小值.
【答案】⑴£4=0,同=2,忖=1;⑵8(力=《言,8⑸而廣一青
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)數(shù)量積和模的坐標運算計算;
(2)由32=0可得出y=g(x),然后由二次函數(shù)性質求得最小值.
【詳解】
(1)由題意及汽=J(百產+(-1)2=2,同理欠=1,
=V3x—+(-l)x—=0?
22
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