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文檔簡介

平面向量

一、單選題

1.設向量&=(攵,2),石=(1,-1),若司必,則實數(shù)A的值是()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)共線向量的坐標表示得出關于實數(shù)%的等式,解出即可.

【詳解】

?.響量£=(女,2),力=(1,—1),且)〃力,.?.一人=2,解得左=一2.

故選:B.

【點睛】

本題考查利用共線向量的坐標運算求參數(shù)的值,考查運算求解能力,屬于基礎題.

2.已知A(7,l),3(l,4),直線y=與線段AB交于點C,且就=2在,則實數(shù)

。的值為()

45

A.2B.1C.-D.-

53

【答案】A

【解析】

【分析】

假設然后利用向量相等,可得坐標之間的關系,計算可得結果.

【詳解】

設C(玉),%),則為=ggr

。—

AC=(xl,—cuc0—1^,CB=(1—x(),4_

%-7—2(1—x0),

,?*AC=2CB>11.JA1)

-ax-0-l=2^4--ax0

J/=3,

a=2.

故選:A

【點睛】

本題考查向量相等的坐標表示,屬基礎題.

3.已知向量£與向量才滿足1=2,1^1=2^,\a+b\-\a-b\=4y[5,則向量£與

向量B的夾角為()

兀-3兀九一5471

A.一或——B.Z或不D.—

44c小2

【答案】A

【解析】

【分析】

設向量£,B的夾角為8,貝iJ|Z+B/=12+80cose,|£—B|2=12-8&COS6?,即

可求出cos?6,從而得到向量的夾角;

【詳解】

解:設向量Z,3的夾角為8,|£+3|2=|2|2+府+2|£|㈤cose=4+8+80cos。

=12+8&cos。,

|£-M=|£F+|B|2-2|£||I|cos6=4+8-8>/Icose=12-80cose,所以

\a+b\1-|a-&|2=144-128cos2^=(4A/5)2=80,.,.cos2^=1,因為6e[0,;r),

故。=工或」故選:A.

44

【點睛】

本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律,及夾角的計算,屬于中檔題.

4.在正方形中,點E為CD邊的中點,則

一一1一一一1一

A.AE=AB+-ADB.AE=AB——AD

22

一1——一1一一

C.AE=-AB+ADD.AE=——AB+AD

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量加法、數(shù)乘運算直接求解.

【詳解】

因為點E為C。邊的中點,

所以通=赤+詼=瓦5+4而

2

故選C.

【點睛】

本題主要考查了向量的加法運算及數(shù)乘運算,屬于基礎題.

5.在AABC中,內角的對邊分別為是AABC外接圓的圓心,若

0acosB=J^c—。,且竺0通+^^而=機正,則加的值是()

sinCsinB

A.—B.—C.V2D.2V2

42

【答案】C

22i2

【解析】因為拒acosB=J5c-匕,由余弦定理得伍?巴+土一=4ic-b,整理

2ac

^b2+c2-a2=y/2bc,所以cosA=貴±亡@=變,即4=生,因為。是A4BC

2hc24

的外心,則對于平面內任意點P,均有:

右右cosA—cosB-cosC人”4壬人萬/日

PO=----------PA+----------PB+----------PC,令尸與A重合,及TL44=—得

2sinBsinC2sinAsinC2sinAsinB4

布=鉀-通+等5就=交(辿而+B正而]???

V2sinCV2sinB21sinCsinB)

空通+空衣=加荷,.?.機=0.故選C.

sinCsinB

點睛:三角形的四心與向量關系:

(2)。是MBC重心=。/+0月+。6=6,

P是平面4BC內任一點,尸6=3(尸可+「月+尸3)06是八43。重心.

(2)。是AABC垂心0宓。9+0反滅:+^04,

若。是AABC垂心,則tarL4OZ+tan3Q^+tanCOC=。.

(3)0是MBC外心o|礪卜|而1=1萬]

若。是AABC外心,則sin2AQ4+sin26O與+sin2coe=0.

若。是\ABC外心,則對于平面內任意點產,均有:

cosA—cosfi-cosC-

PO==----------PA++

2sinBsinC2sinAsinC2sinAsinB

(4)0是AABC內心

。是AABC內心礪+力而+。反=0,

O是AABC內心<=>sinAOA+sinBOB+sinCOC=0.

6.正方形A3CO的邊長為2,對角線AC,8。相交于點。,動點P滿足|詼卜日,

若衣=加而+〃而,其中加,〃eR,則§〈的最大值是()

2H+2

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

先以。為坐標原點,平行于邊AO為工軸,轉化條件可得加=上里,n=—,再把

22

產1轉化為點P與點(-3,-2)連線的斜率利用圓的切線性質即可得解.

【詳解】

如圖建系:

?.?正方形ABC。的邊長為2,.?.通=(0,2),通=(2,0),

設點P(x,y),AP=(x+l,y+l),

又AP=mAB+nAD>

y+1x+12m+1y+2

,m=-----,n=------,--------=------

222〃+2x+3

又動點P滿足|而卜孝,』+y2=;,

取點2(3,—2),kPQ=..

則直線PQ:y+2=%(x+3),

1I3

當直線P。與圓/+丁=:相切時%S滿足L

\

7

解得L=1或一,

K17

2加+1

-——-的最大值為1.

故選:A.

【點睛】

本題綜合考查了向量的線性運算、直線的斜率、圓的方程以及直線與圓相切,考查了轉

化化歸和數(shù)形結合的思想,屬于中檔題.

7.設。為AABC所在平面內一點,若配=30,則下列關系中正確的是()

—1一4—一1—4一

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

一4一1

C.AD=-AB+-ACD.AD^-AB——AC

3333

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】

"-'BC=3CD

____uuur____

?"-AC-AB=^AD-AC)^

uuur4-vx1

/.AO=_ACAB.

33

故選A.

8.設Z,"均為單位向量,當£,2的夾角為寧時,3在2方向上的投影為()

11nV3

A.--B.----C.一D.—

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量投影計算公式,計算出所求的投影.

【詳解】

£在"上的投影為Mcos<a,e>=cos^=-;,

故選:B.

【點睛】

本小題主要考查向量投影的概念和運算,考查單位向量,屬于基礎題.

9.已知a=(2,1),1=(九-1),a!/b,則加=()

I1

A.—B?----C.2D?-2

22

【答案】D

【解析】

試題分析:根據(jù)向量共線的坐標表示,要使Z/歷,只需2x(-l)=lx/〃即可,解得

m--2.

考點:向量共線的坐標表示.

10.已知。為坐標原點,平面向量函=(1,3),礪=(3,5),麗=(1,2),且

OC=kOP(攵為實數(shù)).當跳函=-2時,點C的坐標是()

A.(—2,—4)B.(2,4)C.(—1,—2)D.(3,6)

【答案】B

【解析】

能=%罰□人為實數(shù))

二反=(左,2%)

又;而=礪-反□礪=(1,3)

:.CA=(l-k,3-2k)

同理麗=(3-左,5-2左)

:.C4-CB=(1-k)(3-k)+(3-2k)(5-2k)=5A:2-20A:+18=5(A:-2)2-2

uuuu

二當女=2時DCA-CB有最小值一2

此時點C的坐標是(2,4)

故選B

jr

11.在AABC中A=g,0+c=4,E、/為邊BC的三等分點,則荏.衣的最小值為

()

98826

A.—B.-C.—D.3

239

【答案】C

【解析】

次衣=(小+押)(押+廣卜來加+到+源近

|1+⑹+汐xg=|9+c)2」2|("c)2令b=c

時等號成立),即麗?恁的最小值為秘,故選C.

【易錯點晴】本題主要考查平面向量的基本運算以及利用基本不等式求最值,

屬于難題.利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,

三相等”的內涵:一正是,首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是,其次要看和

或積是否為定值(和定積最大口積定和最小);三相等是,最后一定要驗證等

號能否成立(主要注意兩點,一是相等時參數(shù)否在定義域內,二是多次用之或

w時等號能否同時成立).

12.如果向量5=(0,1),b=(-2,1)>那么|a+2行|=()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出Z+2行的坐標,再由模的坐標表示計算.

【詳解】

由已知Z+2^=(—4,3),所以|£+2切=’(-4尸+32=5,

故選:B.

【點睛】

本題考查平面向量模的坐標運算,掌握向量模的坐標表示是解題關鍵,本題屬于基礎題.

二、填空題

13.已知向量向石夾角為45。,且同=1,忸+同=而;則忸卜.

【答案】72

【解析】

【分析】

把已知式子兩邊平方,結合數(shù)量積的定義可得關于忖的一元二次方程,解方程可得.

【詳解】

□同=1儂+.=屈口

□(2?+^)2=4?2+45-^+P=10n

代入數(shù)據(jù)可得4*l+4xlx|5卜曰+|BF=10

化簡可得|5『+2/河口6=0口

解得同=0,或-30(負數(shù)舍去)

故答案為J5

【點睛】

本題考查向量模長的求解,涉及數(shù)量積和向量的夾角,屬基礎題.

14.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則忖等于.

【答案】亞

【解析】

試題分析:因為3=(—152),「+3=(13),所以£=QJ),所以同=、5.

考點:平面向量數(shù)量積的運算:向量的模.

點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握平面向量的加法運算,以及向量的求模公式的應

用,此題屬于基礎題主要細心的運算即可得到全分.

15.已知£與五的夾角為45。,且問=1,網(wǎng)=及,則歸-叫=;

【答案】亞

【解析】

【分析】

運用平面向量模長的運算可得結果.

【詳解】

解:根據(jù)題意得,

(“一2可=a-4a-b+4h=12-4xlxV2x^-+4x^V2^=5

/.|a-2^l=V5

故答案為:、后.

【點睛】

本題考查平面向量模長的計算,屬于基礎題。

16.已知點。是AA8C的重心,內角A、B、C所對的邊長分別為。、。、c,且

2a?況+力礪+冬叵c?元=6,則角C的大小是

3

【答案】-

3

【解析】

試題分析:口點。是EIABC的重心,口五彳+礪+詼=6

又口2。?礪+力赤+氈c?3=0,二2a=b=^c=it(k>0)

33

從而a=3,b=£c=gk,由余弦定理得:

k2

+e--k2.

a+Z?2-c

COS(J=-----------=---4_1

lab2?上*k3

2

JT

又“口(0,71),nc=—

3

JT

口角c的大小是A;

jr

故答案為父

考點:向量數(shù)乘的運算及其幾何意義.

三、解答題

17.在平行四邊形ABCO中,E,尸分別是8,AB的中點,如圖所示.

(1)寫出與向量定共線的向量;

(2)求證:BE=FD-

【答案】(DCF,AE-麗;(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)條件,結合圖形即可寫出所有與向量網(wǎng)共線的向量;

(2)根據(jù)題意可得出四邊形8尸DE是平行四邊形,從而得到BE=FD且BE//FD,從

而得出BE=FD-

【詳解】

(1)根據(jù)題意,與向量網(wǎng)共線的向量為:CF,AE,EA.

(2)???/8CD是平行四邊形,AB//CD,AB=CD,且E,產分別為邊。,AB的

中點,

:.BF=ED,且BF〃ED,.,.四邊形瓦是平行四邊形,:.BE=FD,nBE//FD,:.

BE=FD-

【點睛】

本題考查了共線向量的定義,相等向量的定義,考查了推理能力,屬于基礎題.

18.已知平行四邊形A5Q9中,AC與8。相交于點。,E為線段8的中點,AE的

延長線與CD相交于點F,若詼=々,〃=5,試用大5表示向量器.

12-

【答案】一彳互+彳。

33

【解析】

【分析】

利用三角形相似得出。用口,$表示出而,AO,即可利用三角形法則得

出標?

【詳解】

■:XAEBS/\FED'

.DFDE

I

:?DF=—AB,

3

——--1—1—.11_

AB=OB-OA=-DB+-AC=-a+-b,

2222

AD=AO+Ob^-AC--DB^-b--a,

2222

-2,-

:.AF^AD+DF=AD+-AB^-b--a+-a+-b^--6Z—b.

3226633

AB

【點睛】

本題考查了平面向量的幾何運算,三角形法則,屬于中檔題.

19.在直角梯形ABC。中,ZA=90°,ZB=30°,AB=2^,BC=2,點E在線

段C。上.若冠=而+/1而,求實數(shù)X的取值范圍.

【答案】0,;

【解析】

【分析】

DE

根據(jù)梯形的幾何性質和向量的線性運算可得丸=r,可求得實數(shù)X的取值范圍.

AB

【詳解】

由圖分析知DC=AB-BCcos30°=百.

DE

AE=AD+AAB,^AE-AD=AAB<即反=X而,,4==

AB

uin]

又OVOE45AB—2>/3,J0W4W—.

2

綜上,實數(shù)X的取值范圍是。4.

【點睛】

本題考查向量的線性運算,關鍵在于運用梯形的幾何性質得出向量間的線性關系,屬于

基礎題.

20.設2L4BC的內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且2必。=3,0<AB?AC<6,函數(shù)

/(。)=2sin2c+0)-V3cos20.

(1)求角4的取值范圍;

(2)求f(4)的值域.

【答案】⑴4€[盟]⑵f(A)e[2,3]

【解析】

試題分析:(1)先由向量數(shù)量積得0<bccosA<6,再由三角形面積公式得:bcsinA=3,

因此tan/>1,或cos4=0,根據(jù)三角形內角范圍得Ae《勺(2)先根據(jù)二倍角公式、

誘導公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)y=1+2sin(2A-9,再根據(jù)Aeg,自得

邑芻,結合正弦函數(shù)性質得sin(24-勺eR1],即得f(4)6[2,3]

試題解析:(1)nSAABC=3,^bcsinA=3.□

□0<AB?^4C<6,DO<bccosA<6,□

由□□可得:0式汕式1,BPtan/1>1,OAG

s】nAL42J

(2)/(A)=2sin2(^+A)-V3cos24=1-cos(^+24)-75cos24

=1+sin24-6cos24=1+2sin(24-

A吒串口24一4碌,爭.

□sin(24-geg,l],□/(7!)G[2,3],

考點:向量數(shù)量積,三角形面積公式,二倍角公式、誘導公式、配角公式

【思路點睛】三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學的兩個重要分支,內容繁雜,且平面向量

與三角函數(shù)交匯點較多,向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進

行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題,都會出現(xiàn)交匯問題中的難點,對

于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”,再

利用三角函數(shù)的相關知識進行求解.

21.已知〃1),b——.

(1)計算。力及同、忖;

(2)設3=歹+(九-3)5,d=-ya+xb,冗聲0,若"J_Z,試求此時V和工滿足的

函數(shù)關系式y(tǒng)=g(x),并求g(x)的最小值.

【答案】⑴£4=0,同=2,忖=1;⑵8(力=《言,8⑸而廣一青

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)數(shù)量積和模的坐標運算計算;

(2)由32=0可得出y=g(x),然后由二次函數(shù)性質求得最小值.

【詳解】

(1)由題意及汽=J(百產+(-1)2=2,同理欠=1,

=V3x—+(-l)x—=0?

22

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