2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章常用邏輯用語2.1命題定理定義學(xué)案蘇教版必修第一冊(cè)

2.1命題、定理、定義學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解命題的概念，能推斷給定的語句是不是命題．(重點(diǎn))2．駕馭推斷命題真假的方法，能推斷命題的真假．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3．了解定理和定義與命題的關(guān)系，會(huì)用定理和定義解題．(重點(diǎn))4．理解命題的結(jié)構(gòu)，會(huì)分析命題的條件和結(jié)論，能把命題改寫成“若p，則q”的形式．(重點(diǎn))1．借助命題的概念及應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助命題真假的判定、定理與定義的應(yīng)用，培育邏輯推理素養(yǎng).在數(shù)學(xué)中，我們將可以推斷真假的陳述句叫做命題，一方面，數(shù)學(xué)中的定義、定理屬于命題嗎？它們有什么共同的結(jié)構(gòu)？它們都是真命題嗎？另一方面，初中平面幾何中推理論證的基礎(chǔ)是什么？學(xué)問點(diǎn)1命題的定義與分類(1)命題的定義：在數(shù)學(xué)中，可以推斷真假的陳述句叫作命題．(2)命題定義中的兩個(gè)要點(diǎn)：“可以推斷真假”和“陳述句”．(3)分類：命題eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命題：推斷為真的語句,假命題：推斷為假的語句))1.(1)“x－1＝0”是命題嗎？(2)“命題肯定是陳述句，但陳述句不肯定是命題”這個(gè)說法正確嗎？[提示](1)“x－1＝0”(2)正確．依據(jù)命題的定義，命題肯定是陳述句，但陳述句中只有能夠推斷真假的才是命題．一般地，疑問句、祈使句、感嘆句、開語句都不是命題．如x>15等．1.思索辨析(正確的畫√，錯(cuò)誤的畫×)(1)語句“陳述句都是命題”不是命題．()(2)命題“實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)”是真命題．()[答案](1)×(2)√學(xué)問點(diǎn)2命題的結(jié)構(gòu)及定理、定義1．命題的結(jié)構(gòu)(1)命題的一般形式為“若p，則q”．其中p叫作命題的條件，q叫作命題的結(jié)論．(2)確定命題的條件和結(jié)論時(shí)，常把命題改寫成“若p，則q”的形式．2.命題“實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)”的條件與結(jié)論分別是什么？[提示]條件是：“一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是：“它的平方是非負(fù)數(shù)”．2.把命題“矩形的對(duì)角線相等”改寫成“若p則q”的形式為______．[答案]若一個(gè)四邊形是矩形，則它的對(duì)角線相等2．定理與定義在數(shù)學(xué)中，有些已經(jīng)被證明為真的命題可以作為推理的依據(jù)干脆運(yùn)用，一般稱之為定理．在數(shù)學(xué)中的定義是對(duì)某些對(duì)象標(biāo)明符號(hào)、指明稱謂，或者揭示所探討問題中對(duì)象的內(nèi)涵．(1)數(shù)學(xué)中的定理、推論和數(shù)學(xué)中定義都是命題．(2)數(shù)學(xué)中的定義既可以用于對(duì)某些對(duì)象的推斷，也可以作為某類對(duì)象所具有的性質(zhì)．類型1命題的推斷【例1】(1)下列語句為命題的是()A．x2－1＝0B．2＋3＝8C．你會(huì)說英語嗎？D．這是一棵大樹(2)下列語句為命題的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面圖形呢？③22020是一個(gè)很大的數(shù)；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.(1)B(2)①④[(1)A中x不確定，x2－1＝0的真假無法推斷；B中2＋3＝8是命題，且是假命題；C不是陳述句，故不是命題；D中“大”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無法推斷真假．(2)①中x有范圍，可以推斷真假，因此是命題；②是疑問句，不是命題；③是陳述句，但“大”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無法推斷真假，因此不是命題；④是陳述句且能推斷真假，因此是命題；⑤是祈使句，不是命題．]推斷一個(gè)語句是否是命題的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？[提示](1)該語句必需是陳述句；(2)該語句可以推斷真假．提示：對(duì)于含變量的語句，要留意依據(jù)變量的取值范圍看能否推斷其真假，若能，就是命題，若不能，就不是命題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．推斷下列語句是不是命題，并說明理由．(1)函數(shù)y＝x2－2x(x∈R)是二次函數(shù)；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，則x2＋4x＋7>0；(4)垂直于同一條直線的兩條直線肯定平行嗎？(5)一個(gè)數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)；(6)2030年6月1日上海會(huì)下雨．[解](1)是命題，滿意二次函數(shù)的定義．(2)不是命題，不能推斷真假．(3)是命題．當(dāng)x∈R時(shí)，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能推斷真假．(4)疑問句，不是命題．(5)是命題，能推斷真假．(6)不是命題，不能推斷真假．類型2命題的構(gòu)成【例2】(1)已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心并且平分弦所對(duì)的?。舭焉鲜雒}改為“若p，則q”的形式，則p是________，q是________．(2)把下列命題改寫成“若p，則q”的形式．①函數(shù)y＝2x＋1是一次函數(shù)；②已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時(shí)，y＝3，x＝2；③當(dāng)abc＝0時(shí)，a＝0且b＝0且c＝0.(1)一條直線是弦的垂直平分線這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對(duì)的弧[命題的條件是“弦的垂直平分線”，結(jié)論是“經(jīng)過圓心并且平分弦所對(duì)的弧”．因此p是“一條直線是弦的垂直平分線”，q是“這條直線經(jīng)過圓心并且平分弦所對(duì)的弧”．](2)[解]①若函數(shù)的解析式為y＝2x＋1，則這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)．②已知x，y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2.③若abc＝0，則a＝0且b＝0且c＝0.1．若一個(gè)命題有大前提，則在將其改寫成“若p，則q”的形式時(shí)，大前提仍應(yīng)作為大前提，不能寫在條件中．2．“若p，則q”這種形式是數(shù)學(xué)中命題的基本結(jié)構(gòu)形式，也有一些命題的敘述比較簡潔，并不是以“若p，則q”這種形式給出的，這時(shí)，首先要把這個(gè)命題補(bǔ)充完整，然后確定命題的條件和結(jié)論．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式．(1)當(dāng)eq\f(1,a)>eq\f(1,b)時(shí)，a<b；(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行；(3)同弧所對(duì)的圓周角不相等．[解](1)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a<b.(2)若兩個(gè)平面垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面平行．(3)若兩個(gè)角為同弧所對(duì)的圓周角，則它們不相等．類型3命題真假的推斷【例3】推斷下列命題的真假，并說明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)當(dāng)x＝4時(shí)，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0；(4)一個(gè)奇數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的平方差．[解](1)是真命題，由正方形的定義知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命題，x＝4不滿意2x＋1<0.(3)是真命題，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是真命題，因?yàn)楫?dāng)n∈Z時(shí)，隨意奇數(shù)2n－1＝n2－(n－1)2，所以一個(gè)奇數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的平方差．命題真假的判定方法(1)真命題的推斷方法要推斷一個(gè)命題是真命題，一般要有嚴(yán)格的證明或有事實(shí)依據(jù)，比如依據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或依據(jù)已知的正確結(jié)論推證．(2)假命題的推斷方法通過構(gòu)造一個(gè)反例否定命題的正確性，這是推斷一個(gè)命題為假命題的常用方法．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．推斷下列命題的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，則a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，則x3>x2成立；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根；(4)存在一個(gè)三角形沒有外接圓．[解](1)假命題．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命題．反例：當(dāng)x＝0時(shí)，x3>x2不成立．(3)真命題．∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m(4)假命題．因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，即任何三角形都有外接圓．類型4數(shù)學(xué)中的新定義【例4】對(duì)于a，b∈N*，規(guī)定a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b，a與b的奇偶性相同，,a×b，a與b的奇偶性不同，))集合M＝{(a，b)}|a*b＝12，a，b∈N*}，則M中元素的個(gè)數(shù)為()A．6 B．8C．15 D．16[思路點(diǎn)撥]本題新定義兩個(gè)正整數(shù)的新運(yùn)算，利用新定義解方程a*b＝12，a，b∈N*，分a，b奇偶性相同和a，b奇偶性不同進(jìn)行分類探討即可．C[分a，b奇偶性相同和奇偶性不同兩種狀況探討．假如a，b奇偶性相同，滿意條件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11種狀況，即有11組(a，b)符合M中元素的要求；假如a，b奇偶性不同，則滿意條件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4種狀況，即有4組(a，b)符合M中元素的要求．綜上，M中元素的個(gè)數(shù)為11＋4＝15.故選C.]數(shù)學(xué)中的定義在解題中得應(yīng)用還許多，它是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，是進(jìn)行推斷、推理、論證的重要依據(jù)．在解題中充分利用定義，有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果．?dāng)?shù)學(xué)定義的應(yīng)用蘊(yùn)涵著極其豐富的內(nèi)涵，深刻理解定義，可抓住問題的實(shí)質(zhì)，從而找到解決問題的有效途徑．本題中新定義的運(yùn)算，是以正整數(shù)的奇偶作為分類的基準(zhǔn)，就是本題解相關(guān)方程的依據(jù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．設(shè)集合S＝{r1，r2，…，rn}?{1,2,3，…，32}，又S中隨意兩數(shù)之和不能被5整除，則n的最大值為________．15[一個(gè)數(shù)能被5整除，可以用5k表示，k∈Z.兩數(shù)之和被5整除，我們須要分析一下每個(gè)數(shù)被5除后的余數(shù)，假如兩個(gè)余數(shù)之和能被5整除，則兩數(shù)之和就能被5整除，否則不能．比如1和9,2和8,3和7,4和6，余數(shù)分別是1和4,2和3,3和2,4和1，按此原則，把1～32這32個(gè)數(shù)字進(jìn)行歸類．集合S的元素從1～32中選取，我們將這32個(gè)數(shù)字分入以下5個(gè)集合；S0＝{5,10,15,20,25,30}，S0中的元素共6個(gè)，都能被5整除；S1＝{1,6,11,16,21,26,31}，S1中的元素共7個(gè)，都被5除余1；S2＝{2,7,12,17,22,27,32}，S2中的元素共7個(gè)，都被5除余2；S3＝{3,8,13,18,23,28}，S3中的元素共6個(gè)，都被5除余3；S4＝{4,9,14,19,24,29}，S4中的元素共6個(gè)，都被5除余4.S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能選1個(gè)數(shù)字；S1中的元素，兩兩相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同組內(nèi)兩兩相加都不能被5整除，因此可以整組選擇．但S1與S4中各任選一個(gè)元素相加，必定能被5整除，因此只能選一組，S1中7個(gè)元素，比S4更多，選S1；同理，S2與S3也只能選1組，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中選1個(gè)元素，S1整組7個(gè)，S2整組7個(gè)，共1＋7＋7＝15.故n的最大值為15.]1．下列語句為真命題的是()A．a(chǎn)>bB．四條邊都相等的四邊形為矩形C．1＋2＝3D．今日是星期天C[A、D不是命題，B為假命題，C為真命題．]2．命題“平行四邊形的對(duì)角線既相互平分，也相互垂直”的結(jié)論是()A．這個(gè)四邊形的對(duì)角線相互平分B．這個(gè)四邊形的對(duì)角線相互垂直C．這個(gè)四邊形的對(duì)角線既相互平分，也相互垂直D．這個(gè)四邊形是平行四邊形C[把命題改寫成“若p，則q”的形式后可知C正確．故選C.]3．下列命題是真命題的為()A．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若b2＝ac，則b2>a或b2>cC．若|x|<y，則x2<y2D．若a＝b，則eq\r(a)＝eq\r(b)C[對(duì)于A，若a＝1，b＝－2，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A是假命題．對(duì)于B，當(dāng)a＝b＝0，c＝1時(shí)，滿意b2＝ac，且b2>a，a2>c不成立，故B是假命題．對(duì)于C，因?yàn)閥>|x|≥0，則x2<y2是真命題．對(duì)于D，當(dāng)a＝b＝－2時(shí)，eq\r(a)與e