2024-2025學年新教材高中數學第2章常用邏輯用語2.1命題定理定義學案蘇教版必修第一冊

2.1命題、定理、定義學習任務核心素養(yǎng)1．理解命題的概念，能推斷給定的語句是不是命題．(重點)2．駕馭推斷命題真假的方法，能推斷命題的真假．(難點、易錯點)3．了解定理和定義與命題的關系，會用定理和定義解題．(重點)4．理解命題的結構，會分析命題的條件和結論，能把命題改寫成“若p，則q”的形式．(重點)1．借助命題的概念及應用，提升數學抽象素養(yǎng)．2．借助命題真假的判定、定理與定義的應用，培育邏輯推理素養(yǎng).在數學中，我們將可以推斷真假的陳述句叫做命題，一方面，數學中的定義、定理屬于命題嗎？它們有什么共同的結構？它們都是真命題嗎？另一方面，初中平面幾何中推理論證的基礎是什么？學問點1命題的定義與分類(1)命題的定義：在數學中，可以推斷真假的陳述句叫作命題．(2)命題定義中的兩個要點：“可以推斷真假”和“陳述句”．(3)分類：命題eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命題：推斷為真的語句,假命題：推斷為假的語句))1.(1)“x－1＝0”是命題嗎？(2)“命題肯定是陳述句，但陳述句不肯定是命題”這個說法正確嗎？[提示](1)“x－1＝0”(2)正確．依據命題的定義，命題肯定是陳述句，但陳述句中只有能夠推斷真假的才是命題．一般地，疑問句、祈使句、感嘆句、開語句都不是命題．如x>15等．1.思索辨析(正確的畫√，錯誤的畫×)(1)語句“陳述句都是命題”不是命題．()(2)命題“實數的平方是非負數”是真命題．()[答案](1)×(2)√學問點2命題的結構及定理、定義1．命題的結構(1)命題的一般形式為“若p，則q”．其中p叫作命題的條件，q叫作命題的結論．(2)確定命題的條件和結論時，常把命題改寫成“若p，則q”的形式．2.命題“實數的平方是非負數”的條件與結論分別是什么？[提示]條件是：“一個數是實數”，結論是：“它的平方是非負數”．2.把命題“矩形的對角線相等”改寫成“若p則q”的形式為______．[答案]若一個四邊形是矩形，則它的對角線相等2．定理與定義在數學中，有些已經被證明為真的命題可以作為推理的依據干脆運用，一般稱之為定理．在數學中的定義是對某些對象標明符號、指明稱謂，或者揭示所探討問題中對象的內涵．(1)數學中的定理、推論和數學中定義都是命題．(2)數學中的定義既可以用于對某些對象的推斷，也可以作為某類對象所具有的性質．類型1命題的推斷【例1】(1)下列語句為命題的是()A．x2－1＝0B．2＋3＝8C．你會說英語嗎？D．這是一棵大樹(2)下列語句為命題的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面圖形呢？③22020是一個很大的數；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.(1)B(2)①④[(1)A中x不確定，x2－1＝0的真假無法推斷；B中2＋3＝8是命題，且是假命題；C不是陳述句，故不是命題；D中“大”的標準不確定，無法推斷真假．(2)①中x有范圍，可以推斷真假，因此是命題；②是疑問句，不是命題；③是陳述句，但“大”的標準不確定，無法推斷真假，因此不是命題；④是陳述句且能推斷真假，因此是命題；⑤是祈使句，不是命題．]推斷一個語句是否是命題的關鍵點是什么？[提示](1)該語句必需是陳述句；(2)該語句可以推斷真假．提示：對于含變量的語句，要留意依據變量的取值范圍看能否推斷其真假，若能，就是命題，若不能，就不是命題．[跟進訓練]1．推斷下列語句是不是命題，并說明理由．(1)函數y＝x2－2x(x∈R)是二次函數；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，則x2＋4x＋7>0；(4)垂直于同一條直線的兩條直線肯定平行嗎？(5)一個數不是奇數就是偶數；(6)2030年6月1日上海會下雨．[解](1)是命題，滿意二次函數的定義．(2)不是命題，不能推斷真假．(3)是命題．當x∈R時，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能推斷真假．(4)疑問句，不是命題．(5)是命題，能推斷真假．(6)不是命題，不能推斷真假．類型2命題的構成【例2】(1)已知命題：弦的垂直平分線經過圓心并且平分弦所對的?。舭焉鲜雒}改為“若p，則q”的形式，則p是________，q是________．(2)把下列命題改寫成“若p，則q”的形式．①函數y＝2x＋1是一次函數；②已知x，y為正整數，當y＝x＋1時，y＝3，x＝2；③當abc＝0時，a＝0且b＝0且c＝0.(1)一條直線是弦的垂直平分線這條直線經過圓心且平分弦所對的弧[命題的條件是“弦的垂直平分線”，結論是“經過圓心并且平分弦所對的弧”．因此p是“一條直線是弦的垂直平分線”，q是“這條直線經過圓心并且平分弦所對的弧”．](2)[解]①若函數的解析式為y＝2x＋1，則這個函數是一次函數．②已知x，y為正整數，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2.③若abc＝0，則a＝0且b＝0且c＝0.1．若一個命題有大前提，則在將其改寫成“若p，則q”的形式時，大前提仍應作為大前提，不能寫在條件中．2．“若p，則q”這種形式是數學中命題的基本結構形式，也有一些命題的敘述比較簡潔，并不是以“若p，則q”這種形式給出的，這時，首先要把這個命題補充完整，然后確定命題的條件和結論．[跟進訓練]2．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式．(1)當eq\f(1,a)>eq\f(1,b)時，a<b；(2)垂直于同一條直線的兩個平面相互平行；(3)同弧所對的圓周角不相等．[解](1)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a<b.(2)若兩個平面垂直于同一條直線，則這兩個平面平行．(3)若兩個角為同弧所對的圓周角，則它們不相等．類型3命題真假的推斷【例3】推斷下列命題的真假，并說明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)當x＝4時，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0；(4)一個奇數是兩個整數的平方差．[解](1)是真命題，由正方形的定義知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命題，x＝4不滿意2x＋1<0.(3)是真命題，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是真命題，因為當n∈Z時，隨意奇數2n－1＝n2－(n－1)2，所以一個奇數是兩個整數的平方差．命題真假的判定方法(1)真命題的推斷方法要推斷一個命題是真命題，一般要有嚴格的證明或有事實依據，比如依據已學過的定義、公理、定理證明或依據已知的正確結論推證．(2)假命題的推斷方法通過構造一個反例否定命題的正確性，這是推斷一個命題為假命題的常用方法．[跟進訓練]3．推斷下列命題的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，則a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，則x3>x2成立；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實數根；(4)存在一個三角形沒有外接圓．[解](1)假命題．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命題．反例：當x＝0時，x3>x2不成立．(3)真命題．∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m(4)假命題．因為不共線的三點確定一個圓，即任何三角形都有外接圓．類型4數學中的新定義【例4】對于a，b∈N*，規(guī)定a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b，a與b的奇偶性相同，,a×b，a與b的奇偶性不同，))集合M＝{(a，b)}|a*b＝12，a，b∈N*}，則M中元素的個數為()A．6 B．8C．15 D．16[思路點撥]本題新定義兩個正整數的新運算，利用新定義解方程a*b＝12，a，b∈N*，分a，b奇偶性相同和a，b奇偶性不同進行分類探討即可．C[分a，b奇偶性相同和奇偶性不同兩種狀況探討．假如a，b奇偶性相同，滿意條件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11種狀況，即有11組(a，b)符合M中元素的要求；假如a，b奇偶性不同，則滿意條件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4種狀況，即有4組(a，b)符合M中元素的要求．綜上，M中元素的個數為11＋4＝15.故選C.]數學中的定義在解題中得應用還許多，它是數學理論的基礎，是進行推斷、推理、論證的重要依據．在解題中充分利用定義，有時會收到事半功倍的效果．數學定義的應用蘊涵著極其豐富的內涵，深刻理解定義，可抓住問題的實質，從而找到解決問題的有效途徑．本題中新定義的運算，是以正整數的奇偶作為分類的基準，就是本題解相關方程的依據．[跟進訓練]4．設集合S＝{r1，r2，…，rn}?{1,2,3，…，32}，又S中隨意兩數之和不能被5整除，則n的最大值為________．15[一個數能被5整除，可以用5k表示，k∈Z.兩數之和被5整除，我們須要分析一下每個數被5除后的余數，假如兩個余數之和能被5整除，則兩數之和就能被5整除，否則不能．比如1和9,2和8,3和7,4和6，余數分別是1和4,2和3,3和2,4和1，按此原則，把1～32這32個數字進行歸類．集合S的元素從1～32中選取，我們將這32個數字分入以下5個集合；S0＝{5,10,15,20,25,30}，S0中的元素共6個，都能被5整除；S1＝{1,6,11,16,21,26,31}，S1中的元素共7個，都被5除余1；S2＝{2,7,12,17,22,27,32}，S2中的元素共7個，都被5除余2；S3＝{3,8,13,18,23,28}，S3中的元素共6個，都被5除余3；S4＝{4,9,14,19,24,29}，S4中的元素共6個，都被5除余4.S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能選1個數字；S1中的元素，兩兩相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同組內兩兩相加都不能被5整除，因此可以整組選擇．但S1與S4中各任選一個元素相加，必定能被5整除，因此只能選一組，S1中7個元素，比S4更多，選S1；同理，S2與S3也只能選1組，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中選1個元素，S1整組7個，S2整組7個，共1＋7＋7＝15.故n的最大值為15.]1．下列語句為真命題的是()A．a>bB．四條邊都相等的四邊形為矩形C．1＋2＝3D．今日是星期天C[A、D不是命題，B為假命題，C為真命題．]2．命題“平行四邊形的對角線既相互平分，也相互垂直”的結論是()A．這個四邊形的對角線相互平分B．這個四邊形的對角線相互垂直C．這個四邊形的對角線既相互平分，也相互垂直D．這個四邊形是平行四邊形C[把命題改寫成“若p，則q”的形式后可知C正確．故選C.]3．下列命題是真命題的為()A．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若b2＝ac，則b2>a或b2>cC．若|x|<y，則x2<y2D．若a＝b，則eq\r(a)＝eq\r(b)C[對于A，若a＝1，b＝－2，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A是假命題．對于B，當a＝b＝0，c＝1時，滿意b2＝ac，且b2>a，a2>c不成立，故B是假命題．對于C，因為y>|x|≥0，則x2<y2是真命題．對于D，當a＝b＝－2時，eq\r(a)與e