全國統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)2.8函數(shù)與方程學(xué)案理含解析北師大版

2.8函數(shù)與方程必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使成立的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn).

(2)與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的等價(jià)關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有.

(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)Δ>0Δ=0Δ<0圖像與x軸的交點(diǎn)

無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

3.二分法函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間[a,b]上連綿不斷,且,通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間,使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步靠近,進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫作二分法.

1.若y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像連綿不斷,且有f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)肯定有零點(diǎn).2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.若函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且f(x)的圖像連綿不斷,則f(a)f(b)<0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)=x2-1的零點(diǎn)是(-1,0)和(1,0).()(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn).()(3)只要函數(shù)有零點(diǎn),我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.()(4)已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)圖像連續(xù)且單調(diào),若f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).()(5)函數(shù)y=2sinx-1的零點(diǎn)有多數(shù)多個(gè).()2.(2024云南玉溪一中二模)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)3.(2024山東濟(jì)南二模,2)函數(shù)f(x)=x3+x-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.若函數(shù)f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零點(diǎn),則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D.(0,2]5.(2024天津和平區(qū)一模)已知[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=[x]為取整函數(shù),x0是函數(shù)f(x)=lnx+x-4的零點(diǎn),則g(x0)=.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)推斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【例1】(1)(2024陜西西安中學(xué)八模,理4)依據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為(k,k+1)(k∈N),則k的值為()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.-1 B.0 C.1 D.2(2)設(shè)定義域?yàn)?0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù)f(x),對隨意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一個(gè)解,則x0可能存在的區(qū)間是()A.(0,1) B.(e-1,1)C.(0,e-1) D.(1,e)解題心得推斷函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法(1)解方程:當(dāng)對應(yīng)方程易解時(shí),可通過解方程,視察方程是否有根落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行推斷:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是否連續(xù),然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn),若沒有,則不肯定有零點(diǎn).(3)通過畫函數(shù)圖像,視察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來推斷.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2024遼寧沈陽二中五模,文6)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)(2)如圖是二次函數(shù)f(x)=x2-bx+a的部分圖像,則g(x)=ex+f'(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)考點(diǎn)推斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例2】(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2024廣東肇慶二模,理11)已知函數(shù)f(x)為定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且滿意f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=-x,則函數(shù)F(x)=f(x)+x+41-2xA.10 B.12 C.18 D.20解題心得推斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)解方程法:若對應(yīng)方程f(x)=0可解時(shí),通過解方程,有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理法:利用定理不僅要推斷函數(shù)的圖像在區(qū)間[a,b]上是連綿不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,還必需結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像,再看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2024山東青島二模,8)已知圖像連綿不斷的函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是周期為2的奇函數(shù),y=|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上恰有5個(gè)零點(diǎn),則f(x)在區(qū)間[0,2020]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.5050 B.4041 C.4040 D.2020(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于隨意的x∈[0,+∞),滿意f(x+2)=f(x),若當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=|x2-x-1|,則函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用(多考向探究)考向1已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)【例3】(1)(2024山東煙臺模擬,6)函數(shù)f(x)=2x-2x-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)(2)(2024湖南湘潭三模,理16)已知函數(shù)f(x)=2x(x2+m),0≤x≤1,2x+1-解題心得對于已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的問題:若已知函數(shù)在所給區(qū)間上連續(xù)且單調(diào),則由零點(diǎn)存在定理列出含參數(shù)的不等式,求出參數(shù)的范圍;若已知函數(shù)在所給區(qū)間上不單調(diào),則要作出函數(shù)的圖像利用數(shù)形結(jié)合法求參數(shù)的范圍.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3)C.(-3,1) D.(1,+∞)(2)若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

考向2已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問題【例4】(1)(2024東北三省四市模擬,理11)已知函數(shù)f(x)=2x+1+2,x≤0,|log2x|,x>0,若關(guān)于x的方程[f(A.3,165 B.3,165C.(3,4) D.(3,4](2)(2024四川成都七中三模,文16)若指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與一次函數(shù)y=x的圖像恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解題心得已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根),求參數(shù)的取值范圍常用的方法:(1)干脆法:干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分別參數(shù)法:先將參數(shù)分別,再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像,再數(shù)形結(jié)合求解.對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2024天津河北區(qū)一模,9)已知函數(shù)f(x)=x3-2x,x≤0,-lnx,x>0A.[0,2) B.[0,1)C.(-∞,2] D.(-∞,1](2)(2024山東濟(jì)寧5月模擬,16)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),隨意x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-2.若函數(shù)g(x)=f(x)-loga(x+1)(a>0,a≠1)在區(qū)間(-1,9]內(nèi)恰有三個(gè)不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

1.函數(shù)零點(diǎn)的常用判定方法:(1)零點(diǎn)存在性定理;(2)數(shù)形結(jié)合;(3)解方程f(x)=0.2.探討方程f(x)=g(x)的解,實(shí)質(zhì)就是探討G(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn).3.轉(zhuǎn)化思想:方程解的個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題;已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.1.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù),是方程f(x)=0的根,也是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件,而不是必要條件;推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖像等綜合考慮.2.8函數(shù)與方程必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.(1)f(x)=0(2)x軸零點(diǎn)(3)連綿不斷的f(a)·f(b)<0f(x0)=02.(x1,0),(x2,0)(x1,0)2103.f(a)f(b)<0一分為二零點(diǎn)考點(diǎn)自診1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.B易知f(x)=2x+3x在R上遞增,且f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以由函數(shù)零點(diǎn)存在定理得,零點(diǎn)所在的區(qū)間是(-1,0).故選B.3.C易知函數(shù)f(x)=x3+x-4在R上遞增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函數(shù)在(1,2)上有唯一零點(diǎn).故選C.4.B由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x∈(-∞,1],得2x∈(0,2],可得0<a2+a≤2,解得0<a≤1,故選B.5.2∵函數(shù)f(x)=lnx+x-4在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,且其圖像是連綿不斷的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln3-1>0,∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(e,3),g(x0)=[x0]=2.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)C(2)D(1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2),所以k=1,故選C.(2)令f(x)-lnx=k,則f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f'(x)=1x,x>0所以f(x)-f'(x)=lnx-1x+e.令g(x)=lnx-1x+e-e=lnx-1x,x∈(0,因?yàn)間(x)=lnx-1x在(0,+∞)內(nèi)的圖像是連續(xù)的,且g(1)=-1<0,g(e)=1-1e所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故選D.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)B(2)B(1)∵f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上.故選B.(2)由圖像知12<b2<1,得1<b<2,f'(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f'(x)=ex+2x-b,由g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,所以g(0)g(1)<0,則g例2(1)B(2)A(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=12令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12x,畫出g(x),h(x因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).(2)求F(x)在[-9,10]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),等價(jià)于f(x)與g(x)=-x+41-∵f(x)為偶函數(shù),且當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=-x,∴當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,又f(1+x)=f(1-x),∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(1-1-x)=f(-x)=f(x),即f(x)的周期為2,g(x)=-x+4∴g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)12,12對稱,作出f(x)與g(x)在12,10由圖像可知f(x)與g(x)在12,10上有5個(gè)交點(diǎn),依據(jù)對稱性可知在-9,12上也有5個(gè)交點(diǎn),故選A.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)B(2)7(1)由f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),得f(0)=0,由f(x)的周期為2,得f(0)=f(2)=…=f(2024)=0,由y=|f(x)|是偶函數(shù),得其圖像關(guān)于y軸對稱,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5個(gè)零點(diǎn),則y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有兩個(gè)零點(diǎn),因f(x)的周期為2,所以y=|f(x)|的周期為1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有兩個(gè)零點(diǎn),同理在(2,3],…,(2024,2024]上各有兩個(gè)零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)|f(x)|的圖像是由f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱到x軸上面,故兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相等,則f(x)在區(qū)間[0,2024]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1+2024×2=4041.(2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間[-2,4]上的圖像,如圖所示,可知與直線y=1的交點(diǎn)共有7個(gè),故函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.例3(1)C(2)m-1≤m<-12,或m=1(1)函數(shù)f(x)=2x-2x-a在區(qū)間(1,2)內(nèi)連續(xù),因?yàn)閒(x)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)(2)當(dāng)0≤x≤1時(shí),由f(x)=1,得2x(x2+m)=1,即12x=x2+m;當(dāng)-1≤x≤0時(shí),由f(x)=1,得2x+1-x2-m=1,即2x+1-1=x2+m.設(shè)g(x)=(12)

x,0≤x≤1,2x+1-1,-1≤x<0,h(畫出g(x)與h(x)在[-1,1]上的圖像如圖所示,結(jié)合圖像可知,當(dāng)h(0)=1,即m=1時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)h(1)<g(1),h(-1)≥g(-1),解得-1≤對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)A(2)-14,2(1)由f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點(diǎn),所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可變形為a=2x-122-14,因?yàn)閤∈[-1,1],所以2x∈12,2,所以2x-122-14∈-14,2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-14,2.例4(1)B(2)1,e1e(1)令f(x)=t,則t2-2at+3a=0,作出函數(shù)f(x)和直線y=t的圖像如圖所示,由圖像可知y=t與y=f(x)最多有3個(gè)不同交點(diǎn),又當(dāng)x≤0時(shí),2x+1+2>2,要使關(guān)于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則t2-2at+3a=0有兩個(gè)不同的根t1,t2∈(2,4