全國統(tǒng)考2024高考數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)2.8函數(shù)與方程學案理含解析北師大版

2.8函數(shù)與方程必備學問預案自診學問梳理1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使成立的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.

(2)與函數(shù)零點有關的等價關系方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與有交點?函數(shù)y=f(x)有.

(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點的關系函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)Δ>0Δ=0Δ<0圖像與x軸的交點

無交點零點個數(shù)

3.二分法函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間[a,b]上連綿不斷,且,通過不斷地把它的零點所在區(qū)間,使所得區(qū)間的兩個端點逐步靠近,進而得到零點近似值的方法叫作二分法.

1.若y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像連綿不斷,且有f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)肯定有零點.2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點的充分不必要條件.3.若函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且f(x)的圖像連綿不斷,則f(a)f(b)<0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有且只有一個零點.考點自診1.推斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(-1,0)和(1,0).()(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點.()(3)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.()(4)已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)圖像連續(xù)且單調(diào),若f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個零點.()(5)函數(shù)y=2sinx-1的零點有多數(shù)多個.()2.(2024云南玉溪一中二模)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間是()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)3.(2024山東濟南二模,2)函數(shù)f(x)=x3+x-4的零點所在的區(qū)間為()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.若函數(shù)f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零點,則正實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D.(0,2]5.(2024天津和平區(qū)一模)已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=[x]為取整函數(shù),x0是函數(shù)f(x)=lnx+x-4的零點,則g(x0)=.

關鍵實力學案突破考點推斷函數(shù)零點所在的區(qū)間【例1】(1)(2024陜西西安中學八模,理4)依據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為(k,k+1)(k∈N),則k的值為()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.-1 B.0 C.1 D.2(2)設定義域為(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù)f(x),對隨意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一個解,則x0可能存在的區(qū)間是()A.(0,1) B.(e-1,1)C.(0,e-1) D.(1,e)解題心得推斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點的方法(1)解方程:當對應方程易解時,可通過解方程,視察方程是否有根落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點存在定理進行推斷:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是否連續(xù),然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點,若沒有,則不肯定有零點.(3)通過畫函數(shù)圖像,視察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來推斷.對點訓練1(1)(2024遼寧沈陽二中五模,文6)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x的一個零點所在的區(qū)間是(A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)(2)如圖是二次函數(shù)f(x)=x2-bx+a的部分圖像,則g(x)=ex+f'(x)的零點所在的大致區(qū)間是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)考點推斷函數(shù)零點的個數(shù)【例2】(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2024廣東肇慶二模,理11)已知函數(shù)f(x)為定義域為R的偶函數(shù),且滿意f(1+x)=f(1-x),當x∈[-1,0]時,f(x)=-x,則函數(shù)F(x)=f(x)+x+41-2xA.10 B.12 C.18 D.20解題心得推斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)解方程法:若對應方程f(x)=0可解時,通過解方程,有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在定理法:利用定理不僅要推斷函數(shù)的圖像在區(qū)間[a,b]上是連綿不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,還必需結合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)數(shù)形結合法:轉化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖像,再看其交點的個數(shù),其中交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).對點訓練2(1)(2024山東青島二模,8)已知圖像連綿不斷的函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)是周期為2的奇函數(shù),y=|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上恰有5個零點,則f(x)在區(qū)間[0,2020]上的零點個數(shù)為()A.5050 B.4041 C.4040 D.2020(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于隨意的x∈[0,+∞),滿意f(x+2)=f(x),若當x∈[0,2)時,f(x)=|x2-x-1|,則函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點個數(shù)為.

考點函數(shù)零點的應用(多考向探究)考向1已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)【例3】(1)(2024山東煙臺模擬,6)函數(shù)f(x)=2x-2x-a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是(A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)(2)(2024湖南湘潭三模,理16)已知函數(shù)f(x)=2x(x2+m),0≤x≤1,2x+1-解題心得對于已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)的問題:若已知函數(shù)在所給區(qū)間上連續(xù)且單調(diào),則由零點存在定理列出含參數(shù)的不等式,求出參數(shù)的范圍;若已知函數(shù)在所給區(qū)間上不單調(diào),則要作出函數(shù)的圖像利用數(shù)形結合法求參數(shù)的范圍.對點訓練3(1)已知函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3)C.(-3,1) D.(1,+∞)(2)若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點,則實數(shù)a的取值范圍是.

考向2已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題【例4】(1)(2024東北三省四市模擬,理11)已知函數(shù)f(x)=2x+1+2,x≤0,|log2x|,x>0,若關于x的方程[f(A.3,165 B.3,165C.(3,4) D.(3,4](2)(2024四川成都七中三模,文16)若指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與一次函數(shù)y=x的圖像恰好有兩個不同的交點,則實數(shù)a的取值范圍是.

解題心得已知函數(shù)有零點(方程有根),求參數(shù)的取值范圍常用的方法:(1)干脆法:干脆依據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分別參數(shù)法:先將參數(shù)分別,再轉化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖像,再數(shù)形結合求解.對點訓練4(1)(2024天津河北區(qū)一模,9)已知函數(shù)f(x)=x3-2x,x≤0,-lnx,x>0A.[0,2) B.[0,1)C.(-∞,2] D.(-∞,1](2)(2024山東濟寧5月模擬,16)設f(x)是定義在R上的偶函數(shù),隨意x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且當x∈[0,2]時,f(x)=2x-2.若函數(shù)g(x)=f(x)-loga(x+1)(a>0,a≠1)在區(qū)間(-1,9]內(nèi)恰有三個不同零點,則實數(shù)a的取值范圍是.

1.函數(shù)零點的常用判定方法:(1)零點存在性定理;(2)數(shù)形結合;(3)解方程f(x)=0.2.探討方程f(x)=g(x)的解,實質(zhì)就是探討G(x)=f(x)-g(x)的零點.3.轉化思想:方程解的個數(shù)問題可轉化為兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題;已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉化為函數(shù)值域問題.1.函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù),是方程f(x)=0的根,也是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標.2.函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件,而不是必要條件;推斷零點個數(shù)還要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結合函數(shù)圖像等綜合考慮.2.8函數(shù)與方程必備學問·預案自診學問梳理1.(1)f(x)=0(2)x軸零點(3)連綿不斷的f(a)·f(b)<0f(x0)=02.(x1,0),(x2,0)(x1,0)2103.f(a)f(b)<0一分為二零點考點自診1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.B易知f(x)=2x+3x在R上遞增,且f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以由函數(shù)零點存在定理得,零點所在的區(qū)間是(-1,0).故選B.3.C易知函數(shù)f(x)=x3+x-4在R上遞增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函數(shù)在(1,2)上有唯一零點.故選C.4.B由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x∈(-∞,1],得2x∈(0,2],可得0<a2+a≤2,解得0<a≤1,故選B.5.2∵函數(shù)f(x)=lnx+x-4在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,且其圖像是連綿不斷的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln3-1>0,∴函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(e,3),g(x0)=[x0]=2.關鍵實力·學案突破例1(1)C(2)D(1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一個零點所在的區(qū)間是(1,2),所以k=1,故選C.(2)令f(x)-lnx=k,則f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f'(x)=1x,x>0所以f(x)-f'(x)=lnx-1x+e.令g(x)=lnx-1x+e-e=lnx-1x,x∈(0,因為g(x)=lnx-1x在(0,+∞)內(nèi)的圖像是連續(xù)的,且g(1)=-1<0,g(e)=1-1e所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故選D.對點訓練1(1)B(2)B(1)∵f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(1,2)上.故選B.(2)由圖像知12<b2<1,得1<b<2,f'(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f'(x)=ex+2x-b,由g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,所以g(0)g(1)<0,則g例2(1)B(2)A(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=12令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12x,畫出g(x),h(x因為兩個函數(shù)的圖像有兩個交點,所以f(x)有兩個零點.(2)求F(x)在[-9,10]上零點的個數(shù),等價于f(x)與g(x)=-x+41-∵f(x)為偶函數(shù),且當x∈[-1,0]時,f(x)=-x,∴當x∈[0,1]時,f(x)=x,又f(1+x)=f(1-x),∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(1-1-x)=f(-x)=f(x),即f(x)的周期為2,g(x)=-x+4∴g(x)的圖像關于點12,12對稱,作出f(x)與g(x)在12,10由圖像可知f(x)與g(x)在12,10上有5個交點,依據(jù)對稱性可知在-9,12上也有5個交點,故選A.對點訓練2(1)B(2)7(1)由f(x)是定義域為R的奇函數(shù),得f(0)=0,由f(x)的周期為2,得f(0)=f(2)=…=f(2024)=0,由y=|f(x)|是偶函數(shù),得其圖像關于y軸對稱,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5個零點,則y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有兩個零點,因f(x)的周期為2,所以y=|f(x)|的周期為1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有兩個零點,同理在(2,3],…,(2024,2024]上各有兩個零點.因為函數(shù)|f(x)|的圖像是由f(x)的圖像關于x軸對稱到x軸上面,故兩個函數(shù)的零點個數(shù)相等,則f(x)在區(qū)間[0,2024]上的零點個數(shù)為1+2024×2=4041.(2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間[-2,4]上的圖像,如圖所示,可知與直線y=1的交點共有7個,故函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點個數(shù)為7.例3(1)C(2)m-1≤m<-12,或m=1(1)函數(shù)f(x)=2x-2x-a在區(qū)間(1,2)內(nèi)連續(xù),因為f(x)的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)(2)當0≤x≤1時,由f(x)=1,得2x(x2+m)=1,即12x=x2+m;當-1≤x≤0時,由f(x)=1,得2x+1-x2-m=1,即2x+1-1=x2+m.設g(x)=(12)

x,0≤x≤1,2x+1-1,-1≤x<0,h(畫出g(x)與h(x)在[-1,1]上的圖像如圖所示,結合圖像可知,當h(0)=1,即m=1時,兩個函數(shù)的圖像只有一個交點;當h(1)<g(1),h(-1)≥g(-1),解得-1≤對點訓練3(1)A(2)-14,2(1)由f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)因為函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可變形為a=2x-122-14,因為x∈[-1,1],所以2x∈12,2,所以2x-122-14∈-14,2.所以實數(shù)a的取值范圍是-14,2.例4(1)B(2)1,e1e(1)令f(x)=t,則t2-2at+3a=0,作出函數(shù)f(x)和直線y=t的圖像如圖所示,由圖像可知y=t與y=f(x)最多有3個不同交點,又當x≤0時,2x+1+2>2,要使關于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6個不相等的實數(shù)根,則t2-2at+3a=0有兩個不同的根t1,t2∈(2,4