河北省承德市第八中學2025屆數學高三第一學期期末質量檢測試題含解析

河北省承德市第八中學2025屆數學高三第一學期期末質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的值域為（）A． B． C． D．2．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點是底面圓周上一點，則點到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．3．已知函數，若所有點，所構成的平面區(qū)域面積為，則（）A． B． C．1 D．4．已知函數有兩個不同的極值點，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知正項等比數列滿足，若存在兩項，，使得，則的最小值為（）.A．16 B． C．5 D．46．在等差數列中，若為前項和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1807．如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．8．某工廠只生產口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產量分別占、、），根據該圖，以下結論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產量最少B．這三年中每年抽紙的產量相差不明顯C．三年累計下來產量最多的是口罩D．口罩的產量逐年增加9．函數的圖象可能是（）A． B． C． D．10．已知平面平面，且是正方形，在正方形內部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．11．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．12．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知，且，則的值是____________．14．的展開式中含的系數為__________．（用數字填寫答案）15．某市公租房源位于、、三個小區(qū)，每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子，申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的，則該市的任意位申請人中，恰好有人申請小區(qū)房源的概率是______.（用數字作答）16．設集合，，則____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知與有兩個不同的交點，其橫坐標分別為（）.（1）求實數的取值范圍；（2）求證：.18．（12分）已知，其中．（1）當時，設函數，求函數的極值．（2）若函數在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．19．（12分）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下：抽獎者擲各面標有點數的正方體骰子次，若擲得點數大于，則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎；否則獲得三等獎，結束抽獎，已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球，抽獎者從箱中任意摸出個球，若個球均為紅球，則獲得一等獎，若個球為個紅球和個白球，則獲得二等獎，否則，獲得三等獎（抽獎箱中的所有小球，除顏色外均相同）.若，求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率；若一等獎可獲獎金元，二等獎可獲獎金元，三等獎可獲獎金元，記顧客一次抽獎所獲得的獎金為，若商場希望的數學期望不超過元，求的最小值.20．（12分）已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：．21．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點.（1）證明：平面；（2）求幾何體的體積.22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)把的參數方程化為極坐標方程：(2)求與交點的極坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由計算出的取值范圍，利用正弦函數的基本性質可求得函數的值域.【詳解】，，，因此，函數的值域為.故選：A.【點睛】本題考查正弦型函數在區(qū)間上的值域的求解，解答的關鍵就是求出對象角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.2、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉化求解的位置，推出結果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點是底面圓周上一點，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．3、D【解析】

依題意，可得，在上單調遞增，于是可得在上的值域為，繼而可得，解之即可.【詳解】解：，因為，，所以，在上單調遞增，則在上的值域為，因為所有點所構成的平面區(qū)域面積為，所以，解得，故選：D.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，理解題意，得到是關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．4、C【解析】

先求導得（），由于函數有兩個不同的極值點，，轉化為方程有兩個不相等的正實數根，根據，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數法和構造新函數，通過利用導數研究單調性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因為函數有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設，，故在上單調遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性、最值來求參數取值范圍，以及運用分離參數法和構造函數法，還考查分析和計算能力，有一定的難度.5、D【解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設等比數列公比為，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，當且僅當時，等號成立.故選：D.【點睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數列的知識，是一道中檔題.6、A【解析】

因為，可得，根據等差數列前項和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點睛】本題主要考查了求等差數列前項和，解題關鍵是掌握等差中項定義和等差數列前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.7、C【解析】

利用建系，假設長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸//,建立空間直角坐標系如圖設，所以則所以所以故選：C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎題.8、C【解析】

根據該廠每年產量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據每年口罩在該廠的產量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】由于該工廠年至年的產量未知，所以，從年至年棉簽產量、抽紙產量以及口罩產量的變化無法比較，故A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產的口罩占該工廠的總產量的比重是最大的，則三年累計下來產量最多的是口罩，C選項正確.故選：C.【點睛】本題考查堆積圖的應用，考查數據處理能力，屬于基礎題.9、A【解析】

先判斷函數的奇偶性，以及該函數在區(qū)間上的函數值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】函數的定義域為，，該函數為偶函數，排除B、D選項；當時，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查根據函數的解析式辨別函數的圖象，一般分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號，結合排除法得出結果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10、C【解析】

根據與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，則，，設（點在第一象限內），由得，即，化簡得，由于點在第一象限內，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點的軌跡長度為.故選：C【點睛】本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.11、A【解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.12、D【解析】

設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由于，且，則，得，則．14、【解析】由題意得，二項式展開式的通項為，令，則，所以得系數為．15、【解析】

基本事件總數，恰好有2人申請小區(qū)房源包含的基本事件個數，由此能求出該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區(qū)房源的概率．【詳解】解：某市公租房源位于、、三個小區(qū)，每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子，申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的，該市的任意5位申請人中，基本事件總數，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區(qū)房源包含的基本事件個數：，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區(qū)房源的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．16、【解析】

先解不等式,再求交集的定義求解即可.【詳解】由題,因為,解得,即,則,故答案為:【點睛】本題考查集合的交集運算,考查解一元二次不等式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用導數研究的單調性，分析函數性質，數形結合，即得解；（2）構造函數，可證得：，，分析直線，與從左到右交點的橫坐標，在，處的切線即得解.【詳解】（1）設函數，，令，令故在單調遞減，在單調遞增，∴，∵時；；時.（2）①過點，的直線為，則令，，，.②過點，的直線為，則，在上單調遞增.③設直線，與從左到右交點的橫坐標依次為，，由圖知.④在，處的切線分別為，，同理可以證得，.記直線與兩切線和從左到右交點的橫坐標依次為，.【點睛】本題考查了函數與導數綜合，考查了學生數形結合，綜合分析，轉化劃歸，邏輯推理，數學運算的能力，屬于較難題.18、（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析【解析】

（1）先求導，根據導數和函數極值的關系即可求出；（2）先求導，再函數在區(qū)間上遞增，分離參數，構造函數，求出函數的最值，問題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據對數的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當時，設函數，則令，解得當時，，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減所以當時，函數取得極大值，即極大值為，無極小值；（2）因為，所以，因為在區(qū)間上遞增，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．當時，在區(qū)間上恒成立，當時，，設，則在區(qū)間上恒成立．所以在單調遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2）可知當時，函數在區(qū)間上遞增，所以，即，取，則．所以所以【點睛】此題考查了參數的取值范圍以及恒成立的問題，以及不等式的證明，構造函數是關鍵，屬于較難題.19、；.【解析】

設顧客獲得三等獎為事件，因為顧客擲得點數大于的概率為，顧客擲得點數小于，然后抽將得三等獎的概率為，求出；由題意可知，隨機變量的可能取值為，，，相應求出概率，求出期望，化簡得，由題意可知，，即，求出的最小值.【詳解】設顧客獲得三等獎為事件，因為顧客擲得點數大于的概率為，顧客擲得點數小于，然后抽將得三等獎的概率為，所以；由題意可知，隨機變量的可能取值為，，，且，，，所以隨機變量的數學期望，，化簡得，由題意可知，，即，化簡得，因為，解得，即的最小值為.【點睛】本題主要考查概率和期望的求法，屬于?？碱}.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1），①當時，，②兩式相減即得數列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求和證明.【詳解】（1）解：，①當時，．當時，，②由①-②，得，因為符合上式，所以．（2）證明：因為，所以．【點睛】本題主要考查數列通項的求法，考查數列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題可知，根據三角形的中位線的性質，得出，根據矩形的性質得出，所以，再利用線面平行的判定定理即可證出平面；（2）由于平面平面，根據面面垂直的性質，得出平面，從而得出到平面的距離為，結合棱錐的體積公式，即可求得結果.【詳解】解：（1）∵，分別為，的中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）