高考真題+知識總結+方法總結+題型突破36二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布問題專題練習(學生版+解析)

第頁近年高考真題+優(yōu)質模擬題匯編(全國通用)專題36二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅱ)在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總人口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.1．解析(1)平均年齡（歲）．(2)設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．(3)設任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，則由條件概率公式可得．【知識總結】1．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超幾何分布一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·eq\f(M,N).3．正態(tài)分布解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸x＝μ.(2)樣本標準差σ.(3)分布區(qū)間：利用3σ原則求概率時，要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉化為3σ的特殊區(qū)間．【題型突破】1．2021年3月6日，習近平總書記強調，教育是國之大計、黨之大計．要從黨和國家事業(yè)發(fā)展全局的高度，堅守為黨育人、為國育才，把立德樹人融入思想道德教育、文化知識教育、社會實踐教育各環(huán)節(jié)，貫穿基礎教育、職業(yè)教育、高等教育各領域，體現到學科體系、教學體系、教材體系、管理體系建設各方面，培根鑄魂、啟智潤心．某中學將立德樹人融入到教育的各個環(huán)節(jié)，開展“職業(yè)體驗，導航人生”的社會實踐教育活動，讓學生站在課程“中央”．為了更好了解學生的喜好情況，根據學校實際將職業(yè)體驗分為：救死扶傷的醫(yī)務類、除暴安良的警察類、百花齊放的文化類、公平正義的法律類四種職業(yè)體驗類型，并在全校學生中隨機抽取100名學生調查意向選擇喜好類型，統(tǒng)計如下：類型救死扶傷的醫(yī)務類除暴安良的警察類百花齊放的文化類公平正義的法律類人數30202030在這100名學生中，隨機抽取了3名學生，并以統(tǒng)計的頻率代替職業(yè)意向類型的概率(假設每名學生在選擇職業(yè)類型時僅能選擇其中一類，且不受其他學生選擇結果的影響)．(1)求救死扶傷的醫(yī)務類、除暴安良的警察類這兩種職業(yè)類型在這3名學生中都有選擇的概率；(2)設這3名學生中選擇除暴安良的警察類的隨機變量為X，求X的分布列與均值．1．解析(1)設職業(yè)體驗選擇救死扶傷的醫(yī)務類、除暴安良的警察類、百花齊放的文化類、公平正義的法律類的概率分別為P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，則易知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,5)，P(C)＝eq\f(1,5)，P(D)＝eq\f(3,10)，所以救死扶傷的醫(yī)務類、除暴安良的警察類這兩種職業(yè)類型在這3名學生中都有選擇的概率為P1＝Aeq\o\al(3,3)P(A)·P(B)[1－P(A)－P(B)]＋Ceq\o\al(1,3)P(A)·P(B)2＋Ceq\o\al(2,3)P(A)2·P(B)＝Aeq\o\al(3,3)×eq\f(3,10)×eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2×eq\f(1,5)＝eq\f(27,100)．(2)由題意知選擇除暴安良的警察類的概率為P(B)＝eq\f(1,5)，這3名學生中選擇除暴安良的警察類的隨機變量X的所有可能值有0，1，2，3，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，則P(X＝i)＝Ceq\o\al(i,3)P(B)i[1－P(B)]3－i(i＝0，1，2，3)，所以X的分布列為X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)所以X的均值為E(X)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5)．2．“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生“研學游”的理想之地．為了將來更好地推進“研學游”項目，某旅游學校一位實習生，在某旅行社實習期間，把“研學游”分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生“研學游”學校中，隨機抽取了100所學校，統(tǒng)計如下：研學游類型科技體驗游民俗人文游自然風光游學校數404020該實習生在明年省內有意向組織高一“研學游”的學校中，隨機抽取了3所學校，并以統(tǒng)計的頻率代替學校選擇研學游類型的概率(假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類，且不受其他學校選擇結果的影響).(1)若這3所學校選擇的研學游類型是“科技體驗游”和“自然風光游”，求這兩種類型都有學校選擇的概率；(2)設這3所學校中選擇“科技體驗游”學校數為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．2．解析(1)依題意，學校選擇“科技體驗游”的概率為eq\f(2,5)，選擇“自然風光游”的概率為eq\f(1,5)，若這3所學校選擇研學游類型為“科技體驗游”和“自然風光游”，則這兩種類型都有學校選擇的概率為P＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝eq\f(18,125).(2)法一：X的可能取值為0，1，2，3.則P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,125)，∴X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).法二：∵隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，即P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3.∴X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴E(X)＝np＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).3．某市某中學為了了解同學們現階段的視力情況，現對高三年級2000名學生的視力情況進行了調查，從中隨機抽取了100名學生的體檢表，繪制了頻率分布直方圖如圖：(1)求a的值，并估計這2000名學生視力的平均值(精確到0.1)；(2)為了進一步了解視力與學習成績是否有關，對本年級成績在前50名與后50名的學生進行了調查．得到的數據如下，根據表中數據，能否有95%的把握認為視力與學習成績有關？前50名后50名近視4032不近視1018(3)自從“黨的十八大”以來，國家鄭重提出了人才強軍戰(zhàn)略，充分體現了國家對軍事人才培養(yǎng)的高度重視．近年來該市空軍飛行員錄取情況喜人，繼2019年該市有6人被空軍航空大學錄取之后，2020年又有3位同學順利拿到了空軍航空大學通知書，彰顯了該市愛國主義教育，落實立德樹人根本任務已初見成效.2020年某空軍航空大學對考生視力的要求是不低于5.0，若以該樣本數據來估計全市高三年級學生的視力，現從全市視力不低于4.8的同學中隨機抽取3名同學，這3名同學中有資格報考該空軍航空大學的人數為X，求X的分布列及數學期望．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.8793．解析(1)由頻率分布直方圖可得(0.25＋0.5＋2a＋1＋1.75)×0.2＝1，所以a＝0.75，設這100名學生的視力的平均值為eq\x\to(x)，則eq\x\to(x)＝4.1×0.5×0.2＋4.3×0.75×0.2＋4.5×1.75×0.2＋4.7×1×0.2＋4.9×0.75×0.2＋5.1×0.25×0.2≈4.6，所以估計這2000名學生視力的平均值是4.6.(2)因為K2＝eq\f(100×（40×18－10×32）2,72×28×50×50)＝eq\f(200,63)≈3.175<3.841，所以沒有95%的把握認為視力與學習成績有關．(3)視力不低于4.8的同學中，視力不低于5.0的同學所占的比例為eq\f(0.25,0.25＋0.75)＝eq\f(1,4).所以從全市視力不低于4.8的同學中隨機抽取3名同學，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，即P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(1)＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,64)，所以X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)所以數學期望E(X)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．《健康中國行動(2019－2030年)》包括15個專項行動，其中全民健身行動提出鼓勵公眾每周進行3次以上、每次30分鐘以上中等強度運動，或者累計150分鐘中等強度或75分鐘高強度身體活動，日常生活中要盡量多動，達到每天6千步～10千步的身體活動量，某高校從該校教職工中隨機抽取了若干名，統(tǒng)計他們的日均步行數(均在2千步～14千步之間)，得到的數據如下表：日均步行數/千步[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]人數1224a24b9頻率0.080.160.40.16c0.06(1)求a，b，c的值；(2)“每天運動一小時，健康工作五十年”，學校為了鼓勵教職工積極參與鍛煉，決定對日均步行數不低于m千步的教職工進行獎勵，為了使全校30%的教職工得到獎勵，試估計m的值；(3)在第(2)問的條件下，以頻率作為概率，從該校得到獎勵的教職工中隨機抽取3人，設這3人中日均步行數不低于10千步的人數為X，求X的分布列和均值．4．解析(1)由題意可得，eq\f(12,0.08)＝eq\f(a,0.4)，解得a＝60.c＝1－0.08－0.16－0.4－0.16－0.06＝0.14.易知eq\f(12,0.08)＝eq\f(b,c)＝eq\f(b,0.14)，∴b＝21.(2)由題意知，日均步行數在[10,14]內的頻率為0.14＋0.06＝0.2，日均步行數在[8,14]內的頻率為0.16＋0.14＋0.06＝0.36，則(10－m)×eq\f(0.16,2)＋0.14＋0.06＝0.3，解得m＝8.75.所以當m＝8.75時，全校30%的教職工能夠得到獎勵．(3)由題意知，該校得到獎勵的教職工在全校教職工中所占的比例為0.3，所以日均步行數不低于10千步的教職工在得到獎勵的教職工中所占的比例為eq\f(0.14＋0.06,0.3)＝eq\f(2,3)，所以X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3，所以X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.5．為了加強食品安全監(jiān)管，某縣市場監(jiān)管局計劃添購一批食品檢測儀器，符合這次采購要求的檢測儀器只有甲、乙兩種型號，下表是該縣市場監(jiān)管局以往使用甲、乙兩種型號檢測儀器的使用年限及數量統(tǒng)計表．使用年限1年2年3年4年合計甲型號檢測儀器數量/臺287320乙型號檢測儀器數量/臺396220以頻率估計概率．(1)分別從以往使用的甲、乙兩種檢測儀器中各隨機抽取一臺，求甲型號檢測儀器的使用年限比乙型號檢測儀器的使用年限恰好多1年的概率；(2)若該縣市場監(jiān)管局購買甲、乙兩種型號檢測儀器各2臺，記2年后仍可使用的檢測儀器的臺數為ξ，求ξ的分布列與均值．5．解析(1)記事件Ai為“從以往使用的甲型號檢測儀器中隨機抽取一臺，使用年限為i年”，事件Bi為“從以往使用的乙型號檢測儀器中隨機抽取一臺，使用年限為i年”，i＝1,2,3,4，事件C為“從以往使用的甲、乙兩種型號檢測儀器中各隨機抽取一臺，甲型號檢測儀器的使用年限比乙型號檢測儀器的使用年限恰好多1年”，則P(C)＝P(A2B1)＋P(A3B2)＋P(A4B3)＝eq\f(8,20)×eq\f(3,20)＋eq\f(7,20)×eq\f(9,20)＋eq\f(3,20)×eq\f(6,20)＝eq\f(21,80).(2)由題意知甲型號檢測儀器2年后仍可使用的概率為eq\f(1,2)，乙型號檢測儀器2年后仍可使用的概率為eq\f(2,5).設2年后仍可使用的甲型號檢測儀器有X臺，乙型號檢測儀器有Y臺，易知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,5))).由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(9,100)，P(ξ＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))1＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0×Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))1＋Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0＝eq\f(1,5)，P(ξ＝4)＝P(X＝2，Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0×Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0＝eq\f(1,25)，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)＝eq\f(37,100)，所以ξ的分布列為ξ01234Peq\f(9,100)eq\f(3,10)eq\f(37,100)eq\f(1,5)eq\f(1,25)所以E(ξ)＝0×eq\f(9,100)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(37,100)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,25)＝eq\f(9,5).6．某學院為了調查本校學生2021年4月“健康上網”(健康上網是指每天上網不超過兩個小時)的天數情況，隨機抽取了40名本校學生，統(tǒng)計他們在該月30天內健康上網的天數，并將所得的數據分成以下六組：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據頻率分布直方圖，求這40名學生中健康上網天數超過20天的人數；(2)現從這40名學生中任取2名，設Y為取出的2名學生中健康上網天數超過20天的人數，求Y的分布列及均值E(Y)．6．解析(1)由圖可知，健康上網天數未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上網天數超過20天的學生人數是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10．(2)隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2，且Y服從超幾何分布．所以P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(2,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,40))＝eq\f(3,52)．所以Y的分布列為Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)所以Y的均值E(Y)＝1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(3,52)＝eq\f(1,2)．7．單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽中的一個項目，進入決賽階段的12名運動員按照預賽成績由低到高的出場順序輪流進行三次滑行，裁判員根據運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進行評分，最終取單次最高分作為比賽成績．現有運動員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績如下表：分站運動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假設甲、乙二人每次比賽成績相互獨立．(1)從上表5站中隨機選取1站，求在該站運動員甲的成績高于運動員乙的成績的概率；(2)從上表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績高于乙的成績的站數，求X的分布列和均值；(3)假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會單板滑雪U型池比賽，根據以上數據信息，你推薦誰參加，并說明理由．(注：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為x1，x2，…，xn的平均數)7．解析(1)設“該站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績”為事件A，運動員甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為86.20,92.80,87.50,89.50,86.00，運動員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為88.40,88.60,89.10,88.20,87.70，其中第2站和第4站甲的成績高于乙的成績，∴P(A)＝eq\f(2,5).(2)X可能取的值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(0,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，∴X的分布列為X012Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(X)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,10)＝eq\f(4,5).(3)推薦乙．理由如下：甲5站的平均成績?yōu)閑q\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(86.20＋92.80＋87.50＋89.50＋86.00)＝88.40，乙5站的平均成績?yōu)閑q\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(88.40＋88.60＋89.10＋88.20＋87.70)＝88.40，甲5站成績的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(88.40－86.20)2＋(88.40－92.80)2＋(88.40－87.50)2＋(88.40－89.50)2＋(88.40－86.00)2]＝6.396，乙5站成績的方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(88.40－88.40)2＋(88.40－88.60)2＋(88.40－89.10)2＋(88.40－88.20)2＋(88.40－87.70)2]＝0.212，eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙說明甲乙二人水平相當，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)表明乙的發(fā)揮比甲的更穩(wěn)定，所以預測乙的成績會更好．8．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．(1)根據頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數量；(2)在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505克的產品數量，求X的分布列，并求其均值；(3)從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505克的產品數量，求Y的分布列．8．解析(1)質量超過505克的產品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質量超過505克的產品數量為40×0.3＝12(件)．(2)質量超過505克的產品數量為12件，則質量未超過505克的產品數量為28件，X的可能取值為0，1，2，X服從超幾何分布．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,40))＝eq\f(11,130)，∴X的分布列為X012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)∴X的均值為方法一E(X)＝0×eq\f(63,130)＋1×eq\f(28,65)＋2×eq\f(11,130)＝eq\f(3,5)．方法二E(X)＝eq\f(2×12,40)＝eq\f(3,5)．(3)根據樣本估計總體的思想，取一件產品，該產品的質量超過505克的概率為eq\f(12,40)＝eq\f(3,10)．從流水線上任取2件產品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗，質量超過505克的件數Y的可能取值為0，1，2，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq\o\al(k,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))k×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))2－k，k＝0，1，2，∴P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))2＝eq\f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,10)×eq\f(7,10)＝eq\f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2＝eq\f(9,100)．∴Y的分布列為Y012Peq\f(49,100)eq\f(21,50)eq\f(9,100)9．據調查，目前對于已經近視的小學生，有兩種佩戴眼鏡的方式可供選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時佩戴的一種特殊的隱形眼鏡(因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度，越來越多的小學生家長選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展).A市從當地小學生中隨機抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人(其中佩戴角膜塑形鏡的8人中，2名是男生，6名是女生).(1)若從樣本中隨機選取一名小學生，已知這名小學生佩戴眼鏡，那么，他佩戴的是角膜塑形鏡的概率是多大？(2)從這8名佩戴角膜塑形鏡的小學生中，隨機選出3人，求其中男生人數X的分布列；(3)若將樣本的頻率當成估計總體的概率，請問，從A市的小學生中，隨機選出20名小學生，求佩戴角膜塑形鏡的人數Y的期望和方差．9．解析(1)記“這名小學生佩戴眼鏡”為事件A，“這名小學生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件B，則所求的概率為P(B|A)，P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(0.08,0.24)＝eq\f(1,3).所以若從樣本中隨機選取一名小學生，已知這名小學生佩戴眼鏡，則他佩戴的是角膜塑形鏡的概率是eq\f(1,3).(2)依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14)；P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28).所以X的分布列為X012Peq\f(5,14)eq\f(15,28)eq\f(3,28)(3)由已知可得，Y～B(20，0.08)，則E(Y)＝np＝20×0.08＝1.6，D(Y)＝np(1－p)＝20×0.08×0.92＝1.472.所以佩戴角膜塑形鏡的人數Y的期望是1.6，方差是1.472.10．為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．①試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；②下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－16\x\to(x)2)))≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1，2，…，16．用樣本平均數eq\x\to(x)作為μ的估計值eq\o(μ,\s\up6(^))，用樣本標準差s作為σ的估計值eq\o(σ,\s\up6(^))，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ(精確到0.01)．附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)≈0.9973；0.997316≈0.9577，eq\r(0.008)≈0.09．10．解析(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內的概率為0.9973，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0027，故X～B(16，0.0027)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈0.0423．X的數學期望為E(X)＝16×0.0027＝0.0432．(2)①如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0027，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0423，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的．②由eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，得μ的估計值為eq\o(μ,\s\up6(^))＝9.97，σ的估計值為eq\o(σ,\s\up6(^))＝0.212，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外，因此需對當天的生產過程進行檢查．剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的數據9.22，剩下數據的平均數為eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估計值為10.02．eq\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的數據9.22，剩下數據的樣本方差為eq\f(1,15)(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估計值為eq\r(0.008)≈0.09．11．“學習強國”學習平臺是由中共中央宣傳部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的互聯網學習平臺．該學習平臺采取積分制管理，內容豐富多彩，涉及政治、經濟、文化、社會、生態(tài)，表現形式有圖片、文字、視頻、考試、答題、互動等，讓人們的生活充實而有質量．某市為了了解教職工在“學習強國”平臺的學習情況，從該市教職工中隨機抽取了200人，統(tǒng)計了他們在“學習強國”中獲得的積分(單位：千分)并將樣本數據分成[1，3)，[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13]六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)以樣本估計總體，該市教職工在“學習強國”獲得的積分近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)，取σ＝2.3．若該市恰有1萬名教職工，試估計這些教職工中積分ξ位于區(qū)間[4.4，11.3]內的人數；(2)若以該市樣本的頻率估計鄰市的概率(鄰市對教職工學習“學習強國”的要求與該市相同，教職工的人數也與該市教職工的人數相當)，若從鄰市教職工中隨機抽取20人，設積分在3千分至9千分內的教職工人數為X，求X的均值E(X)．參考數據：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．11．解析(1)由題意知樣本的平均數為2×0.025×2＋4×0.075×2＋6×0.2×2＋8×0.125×2＋10×0.05×2＋12×0.025×2＝6.7，∴μ≈6.7．又∵σ＝2.3，∴P(4.4≤ξ≤11.3)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈eq\f(1,2)×(0.6827＋0.9545)＝0.8186．又10000×0.8186＝8186，∴估計這些教職工中積分ξ位于區(qū)間[4.4，11.3]內的人數約為8186．(2)該市樣本在[3，9)內的頻率為(0．075＋0.2＋0.125)×2＝0.8，則X～B(20，0.8)，∴X的均值E(X)＝20×0.8＝16．12．某市為了了解本市初中生周末運動時間，隨機調查了3000名學生，統(tǒng)計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)按照分層抽樣的方法，從[40，50)和[80，90)中隨機抽取了9名學生．現從已抽取的9名學生中隨機推薦3名學生參加體能測試．記推薦的3名學生來自[40，50)的人數為X，求X的分布列和均值；(2)由頻率分布直方圖可認為：周末運動時間t服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中，μ為周末運動時間的平均數eq\x\to(t)，σ近似為樣本的標準差s，并已求得s≈14.6．可以用該樣本的頻率估計總體的概率，現從本市所有初中生中隨機抽取12名學生，記周末運動時間在(43.9，87.7]之外的人數為Y，求P(Y＝3)(精確到0.001)．參考數據1：當t～N(μ，σ2)時，P(μ－σ<t≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<t≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<t≤μ＋3σ)≈0.9973．參考數據2：0.81869≈0.16506，0.18143≈0.0060．12．解析(1)運動時間在[40，50)的人數為3000×0.02×10＝600．運動時間在[80，90)的人數為3000×0.01×10＝300．按照分層抽樣共抽取9人，則在[40，50)上抽取的人數為6，在[80，90)上抽取的人數為3．∴隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,84)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(15,28)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,21)，∴隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,84)eq\f(3,14)eq\f(15,28)eq\f(5,21)∴E(X)＝0×eq\f(1,84)＋1×eq\f(3,14)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,21)＝2．(2)μ＝eq\x\to(t)＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5，σ＝14.6，∴43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋14.6×2＝μ＋2σ，∴P(43.9<t≤87.7)＝P(μ－σ<t≤μ＋2σ)≈eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186，∴P(t≤μ－σ或t>μ＋2σ)＝1－0.8186＝0.1814，∴Y～B(12，0.1814)，∴P(Y＝3)＝Ceq\o\al(3,12)×0.18143×0.81869≈220×0.0060×0.16506≈0.218．13．國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定46個重點城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達35%以上．截至2019年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經接近70%．某市在實施垃圾分類之前，從本市人口數量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產生的垃圾量(單位：噸)進行了調查，得到如下頻數分布表，并將人口數量在兩萬人左右的社區(qū)產生的垃圾數量超過28(噸/天)的確定為“超標”社區(qū)：垃圾量X[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5]頻數56912864(1)在頻數分布表中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，求這50個社區(qū)這一天產生的垃圾量的平均值eq\x\to(x)(精確到0.1)；(2)若該市人口數量在兩萬人左右的社區(qū)一天產生的垃圾量X大致服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別近似為(1)中樣本的平均值eq\x\to(x)，方差s2，經計算s約為5.2．請利用正態(tài)分布知識估計這320個社區(qū)一天中“超標”社區(qū)的個數；(3)通過研究樣本原始數據發(fā)現，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府決定對這8個“超標”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調查，現計劃在這8個“超標”社區(qū)中隨機抽取5個進行跟蹤調查，設Y為抽到的這一天產生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個數，求Y的分布列與均值．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973．13．解析(1)由頻數分布表得eq\x\to(x)＝eq\f(14×5＋17×6＋20×9＋23×12＋26×8＋29×6＋32×4,50)＝22.76≈22.8，所以這50個社區(qū)這一天產生的垃圾量的平均值為22.8噸．(2)由(1)知μ＝22.8．因為s約為5.2，所以取σ＝5.2．所以P(X>28)＝P(X>μ＋σ)≈eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865．又320×0.15865＝50.768≈51，所以估計這320個社區(qū)一天中“超標”社區(qū)的個數為51．(3)由頻數分布表知，8個“超標”社區(qū)中這一天產生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個，所以Y的可能取值為1，2，3，4，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(4,4),C\o\al(5,8))＝eq\f(1,14)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(3,4),C\o\al(5,8))＝eq\f(3,7)，P(Y＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(2,4),C\o\al(5,8))＝eq\f(3,7)，P(Y＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(1,4),C\o\al(5,8))＝eq\f(1,14)，所以Y的分布列為Y1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)所以E(Y)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2)．14．2020年國慶節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”．某路橋公司為掌握國慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了3日上午9：20～10：40這一時間段內通過的車輛數，統(tǒng)計發(fā)現這一時間段內共有600輛車通過該收費站點，它們通過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9：20～9：40記作[20,40)，9：40～10：00記作[40,60)，10：00～10：20記作[60,80)，10：20～10：40記作[80,100)，例如：10點04分，記作時刻64.(1)估計這600輛車在9：20～10：40時間內通過該收費站點的時刻的平均值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)為了對數據進行分析，現采用分層隨機抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9：20～10：00之間通過的車輛數為X，求X的分布列；(3)根據大數據分析，車輛在每天通過該收費站點的時刻T服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ可用3日數據中的600輛車在9：20～10：40之間通過該收費站點的時刻的平均值近似代替，σ2用樣本的方差近似代替(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表)．假如4日全天共有1000輛車通過該收費站點，估計在9：46～10：40之間通過的車輛數(結果保留到整數)．附：若隨機變量T服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤T≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤T≤μ＋3σ)≈0.9973.14．解析(1)這600輛車在9：20～10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04.(2)由頻率分布直方圖和分層隨機抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10：00前通過的車輛數就是位于時間分組中在[20,60)這一區(qū)間內的車輛數，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能的取值為0,1,2,3,4.所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(4,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(1,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(3,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210).所以X的分布列為X01234Peq\f(1,14)eq\f(8,21)eq\f(3,7)eq\f(4,35)eq\f(1,210)(3)由(1)得μ＝64，σeq\o\al(2,車輛)＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18，估計在9：46～10：40之間通過的車輛數也就是在[46,100)內通過的車輛數，由T～N(64，182)，得P(64－18≤T≤64＋2×18)＝eq\f(P(μ－σ≤T≤μ＋σ),2)＋eq\f(P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ),2)≈0.8186.所以估計在9：46～10：40之間通過的車輛數為1000×0.8186≈819.15．面對新一輪科技和產業(yè)革命帶來的創(chuàng)新機遇，某企業(yè)對現有機床進行更新換代，購進一批新機床．設機床生產的零件的直徑為X(單位：mm)．(1)現有舊機床生產的零件10個，其中直徑大于124mm的有3個．若從中隨機抽取4個，記ξ表示取出的零件中直徑大于124mm的零件的個數，求ξ的概率分布列及數學期望E(ξ)；(2)若新機床生產的零件直徑X～N(120，4)，從生產的零件中隨機取出10個，求至少有一個零件直徑大于124mm的概率．參考數據：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，0.977210≈0.7940，0.954410≈0.6271.15．解析(1)由題知，ξ的可能取值為0，1，2，3，ξ～H(10，3，4)．P(ξ＝0)＝eq\f(C30C74,C104)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(C31C73,C104)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C32C72,C104)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C33C71,C104)＝eq\f(1,30)，所以ξ的概率分布列為：ξ0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以ξ的數學期望E(ξ)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝1.2.(2)記“至少有一個零件直徑大于124mm”為事件A，因為X～N(120，4)，所以μ＝120，σ＝2，所以P(X>124)＝eq\f(1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ),2)＝eq\f(1－0.9544,2)＝0.0228，所以P(X≤124)＝1－0.0228＝0.9772，所以P(A)＝1－0.977210≈1－0.7940＝0.206.所以至少有一個零件直徑大于124mm的概率為0.206.16．國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定到2020年年底，實施生活垃圾強制分類的城市，生活垃圾回收利用率要達到35%以上．某市在實施垃圾分類之前，從本市人口數量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產生的垃圾量(單位：噸)進行調查，得到如下頻數分布表，并將人口數量在兩萬人左右的社區(qū)垃圾量超過28噸/天的確定為“超標”社區(qū)．垃圾量X/噸[12.5，15.5)[15.5，18.5)[18.5，21.5)[21.5，24.5)[24.5，27.5)[27.5，30.5)[30.5，33.5]頻數56912864(1)通過頻數分布表估算這50個社區(qū)這一天的垃圾量的平均值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替，精確到0.1)；(2)若該市人口數量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為(1)中的樣本平均值，σ2近似為樣本方差s2，經計算得s＝5.2.請利用正態(tài)分布知識估計這320個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數；(3)通過研究樣本原始數據發(fā)現，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府決定對這8個“超標”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調查．現計劃在這8個“超標”社區(qū)中任取5個先進行跟蹤調查，設Y為抽到的這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個數，求Y的分布列與數學期望．(參考數據：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)16．解析(1)由頻數分布表得，平均值為eq\f(14×5＋17×6＋20×9＋23×12＋26×8＋29×6＋32×4,50)＝22.76≈22.8(噸)，所以這50個社區(qū)這一天的垃圾量的平均值為22.8噸．(2)由(1)知μ＝22.8，因為s＝5.2，所以σ＝s＝5.2，P(X>28)＝P(X>μ＋σ)＝eq\f(1－0.6826,2)＝0.1587，因為320×0.1587＝50.784≈51，所以估計這320個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數為51.(3)由頻數分布表知，8個“超標”社區(qū)中這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個，所以Y的所有可能取值為1，2，3，4.P(Y＝1)＝eq\f(C41C44,C85)＝eq\f(1,14)，P(Y＝2)＝eq\f(C42C43,C85)＝eq\f(3,7)，P(Y＝3)＝eq\f(C43C42,C85)＝eq\f(3,7)，P(Y＝4)＝eq\f(C44C41,C85)＝eq\f(1,14).所以Y的分布列為：Y1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)所以E(Y)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).17．某市2020年年初新增加了甲、乙兩家專門生產消毒液的工廠，質檢部門現從這兩家工廠中各隨機抽取了100瓶消毒液，檢測其質量指標值，得到甲廠所生產的消毒液的質量指標值的頻率分布直方圖如圖所示，乙廠所生產的消毒液的質量指標值的頻數分布表如下表所示(同一組數據用該組數據的區(qū)間中點值作代表，視頻率為概率)．質量指標值[0，10)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)頻數2010301525(1)規(guī)定：消毒液的質量指標值越高，消毒液的質量越好．已求得甲廠生產的消毒液的質量指標值的中位數為eq\f(80,3)，乙廠生產的消毒液的質量指標值的平均數為26.5，分別求甲廠生產的消毒液的質量指標值的平均數以及乙廠生產的消毒液的質量指標值的中位數，并針對這兩家工廠生產的消毒液的質量情況寫出兩條統(tǒng)計結論；(2)甲廠生產的消毒液的質量指標值Z近似地服從正態(tài)分布Ν(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數eq\o(x,\s\up6(－))，并已求得σ≈11.95.該廠決定將消毒液分為A，B，C三個等級，其中質量指標值Z不高于2.6的為C級，高于38.45的為A級，其余為B級，請利用該正態(tài)分布模型解決下列問題．(ⅰ)甲廠近期生產了10萬瓶消毒液，試估計其中B級消毒液的總瓶數．(ⅱ)已知每瓶消毒液的等級與出廠價X(單位：元)的關系如下表所示．等級ABC出廠價X302516假定甲廠半年消毒液的生產量為1000萬瓶，且消毒液全都能銷售出去．若每瓶消毒液的成本為20元，工廠的總投資為4000萬元，問：甲廠能否在半年之內收回投資？試說明理由．附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9974.17．解析(1)甲廠生產的消毒液的質量指標值的平均數為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝(5×0.01＋15×0.02＋25×0.03＋35×0.025＋45×0.015)×10＝26.5.設乙廠生產的消毒液的質量指標值的中位數為n，則0.2＋0.1＋(n－20)×0.03＝0.5，解得n＝eq\f(80,3).統(tǒng)計結論：①兩家工廠生產的消毒液的質量指標值的平均數相等，從這個角度看這兩家工廠生產的消毒液質量相當．②由數據波動的情況可知，乙廠生產的消毒液的質量指標值的方差大于甲廠生產的消毒液的質量指標值的方差，說明甲廠生產的消毒液的質量比乙廠的更穩(wěn)定．③兩家工廠生產的消毒液的質量指標值的平均數相同，但乙廠生產的消毒液的質量指標值的方差大于甲廠生產的消毒液的質量指標值的方差，所以甲廠生產的消毒液更好．④兩家工廠生產的消毒液的質量指標值的眾數均為25.⑤兩家工廠生產的消毒液的質量指標值的中位數均為eq\f(80,3).⑥甲廠生產的消毒液的質量指標值集中在平均數附近，乙廠生產的消毒液中質量指標值特別小和質量指標值特別大的較多．(答案不唯一，任意寫出兩條即可，其他答案言之有理也可以)(2)(ⅰ)P(2.6<Z≤38.45)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＋P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]＝0.8185，100000×0.8185＝81850(瓶)，可估計甲廠生產的這10萬瓶消毒液中，B級消毒液有81850瓶．(ⅱ)設每瓶消毒液的利潤為Y元，則Y的所有可能取值為10，5，－4，P(Y＝10)＝P(Z>38.45)＝P(Z>μ＋σ)＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，由(ⅰ)知P(Y＝5)＝P(2.6<Z≤38.45)＝0.8185，P(Y＝－4)＝1－0.8185－0.1587＝0.0228，故Y的分布列為：Y105－4P0.15870.81850.0228所以每瓶消毒液的平均利潤為E(Y)＝10×0.1587＋5×0.8185－4×0.0228＝5.5883(元)，故生產半年消毒液所獲利潤為1000×5.5883＝5588.3(萬元)，而5588.3>4000，所以甲廠能在半年之內收回投資．18．某乒乓球教練為了解某同學近期的訓練效果，隨機記錄了該同學40局接球訓練成績，每局訓練時教練連續(xù)發(fā)100個球，該同學接球成功得1分，否則不得分，且每局訓練結果相互獨立，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表．①求該同學40局接球訓練成績的樣本平均數eq\o(x,\s\up6(－))；②若該同學的接球訓練成績X近似地服從正態(tài)分布N(μ，100)，其中μ近似為樣本平均數eq\o(x,\s\up6(－))，求P(54<X<64)的值；(2)為了提高該同學的訓練興趣，教練與他進行比賽．一局比賽中教練連續(xù)發(fā)100個球，該同學得分達到80分為獲勝，否則教練獲勝．若有人獲勝達3局，則比賽結束，記比賽的局數為Y.以頻率分布直方圖中該同學獲勝的頻率作為概率，求E(Y)．參考數據：若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.18．解析(1)①eq\o(x,\s\up6(－))＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.45＋85×0.2＋95×0.05＝74.②由(1)得μ＝eq\o(x,\s\up6(－))＝74，所以X～N(74，100)，得P(64<X<84)＝0.6826，P(54<X<94)＝0.9544，所以P(54<X<64)＝eq\f(P（54<X<94）－P（64<X<84）,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359.(2)設“該同學一局比賽獲勝”為事件A，則P(A)＝(0.02＋0.005)×10＝eq\f(1,4).Y的可能取值為3，4，5，P(Y＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,16)，P(Y＝4)＝C32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))