2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)南匯中學(xué)高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)南匯中學(xué)高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為(

)A.y=lnx B.y=tanx C.y=x3+x2.已知函數(shù)f(x)=1+loga(2x?3)(a>0,a≠1)恒過定點(diǎn)(m,n)，則m+n=A.1 B.2 C.3 D.43.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的銳角α繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過π6后，終邊交單位圓于P(?13,y)，則sinαA.22?36 B.24.如圖所示，已知直線y=kx與曲線y=f(x)相切于兩點(diǎn)，函數(shù)g(x)=kx+m(m>0)，則對(duì)函數(shù)F(x)=g(x)?f(x)描述正確的是(

)A.有極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)

B.有極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)

C.至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)

D.至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)二、填空題：本題共12小題，共54分。5.集合M={x|x?4<1,x∈N}，則M中元素的個(gè)數(shù)為______．6.函數(shù)y=2x+6從x=2到x=2.5的平均變化率是______．7.不等式3x<1的解集為______．8.已知α∈[0,π2]，且sinα=35，則9.若logx(2x)=4，則x=10.不等式2x≥2?log11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2?b2=3bc，sinC=2sinB，則12.已知函數(shù)f(x)=?x2+2ax+3在區(qū)間(?∞,4)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

13.若函數(shù)y=ax+1x+2(x≠?2)的值域?yàn)閧y|y≠2}，則實(shí)數(shù)a14.若函數(shù)y=ln|a?11+x|+b是奇函數(shù)，則15.如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，且位于離河岸40km的B處，河岸邊D處與A處相距50km(其中BD⊥AD)，兩家工廠要在此岸邊建一個(gè)供水站C，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，供水站C建在岸邊距離A處______km才能使水管費(fèi)用最?。?6.已知函數(shù)f(x)=x4x2+16,x≥2(12)|x?a|三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知集合A={x||x?a|<2},B={x|x?2x+1<0}．

(1)若a=2，求A∩B；

(2)“x∈B”是“x∈A”的充分非必要條件，求實(shí)數(shù)a18.(本小題14分)已知y=f(x)為奇函數(shù)，其中fx=cos(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期和fx(2)若fα2=?419.(本小題14分)

流行性感冒簡稱流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病.了解引起流感的某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防流感的傳播有極其重要的意義，某科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定是某種細(xì)菌進(jìn)行研究.經(jīng)過2分鐘菌落的覆蓋面積為48mm2，經(jīng)過3分鐘覆蓋面積為64mm2，后期其蔓延速度越來越快；菌落的覆蓋面積y(單位：mm2)與經(jīng)過時(shí)間x(單位：min)的關(guān)系現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型：①y=kax(k>0,a>1)，②y=logbx(b>1)，③y=px+q(p>0)可供選擇.(參考數(shù)據(jù)：20.(本小題18分)

設(shè)t為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=?x2+1，g(x)=|x?t|．

(1)判斷函數(shù)y=g(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)當(dāng)t=2時(shí)，求函數(shù)y=g(x)?f(x)的最小值；

(3)對(duì)于函數(shù)y=m(x)，在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]，如果存在x0(a<x0<b)，滿足m(x0)=m(b)?m(a)b?a，則稱函數(shù)m(x)是區(qū)間[a,b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)“均值點(diǎn)”.如函數(shù)y=x21.(本小題18分)

設(shè)P是坐標(biāo)平面xOy上的一點(diǎn)，曲線Γ是函數(shù)y=f(x)的圖像.若過點(diǎn)P恰能作曲線Γ的k條切線(k∈N)，則稱P是函數(shù)y=f(x)的“k度點(diǎn)”．

(1)判斷點(diǎn)O(0,0)與點(diǎn)A(2,0)是否為函數(shù)y=lnx的1度點(diǎn)，不需要說明理由；

(2)已知0<m<π，g(x)=sinx.證明：點(diǎn)B(0,π)是y=g(x)(0<x<m)的0度點(diǎn)；

(3)求函數(shù)y=x3?x的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．參考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.5

6.2

7.(?∞,0)∪(3,+∞)

8.24259.2

10.[1,+∞)

11.30°

12.[4,+∞)

13.2

14.1e15.20

16.[?2,6)

17.解：(1)A={x||x?a|<2}={x|a?2<x<2+a}，B={x|x?2x+1<0}={x|?1<x<2}，

若a=2時(shí)，則A={x|0<x<4}，

則A∩B={x|0<x<2}；

(2)“x∈B”是“x∈A”的充分非必要條件，

則B?A，

a?2≤?12≤2+a，則0≤a≤1，

則a18.解：(1)最小正周期是T=2π2=π，

因?yàn)閥=f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)+f(?x)=0，

化簡得2cos2xcosθ=0對(duì)于x∈R恒成立，

θ∈(0,π)，所以θ=π2，f(x)=?sin2x；

(2)結(jié)合已知可得sinα=45，∵α∈(19.解：(1)因?yàn)閥=kax(k>0,a>1)的增長速度越來越快，

y=logbx(b>1)和y=px+q(p>0)的增長速度越來越慢，

所以應(yīng)選函數(shù)模型y=kax(k>0,a>1)．

由題意得ka2=48ka3=64，解得a=43k=27，

所以該函數(shù)模型為y=27×(420.解：(1)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽，

當(dāng)t=0時(shí)，g(x)=|x|，∵g(?x)=|?x|=|x|=g(x)，∴g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)t≠0時(shí)，g(x)=|x?t|，∵g(?x)=|?x?t|=|x+t|，∴g(?x)≠g(x)，∴g(?x)≠?g(x)，∴g(x)為非奇非偶函數(shù)，

綜上，當(dāng)t=0時(shí)，g(x)為偶函數(shù)，當(dāng)t≠0時(shí)，g(x)為非奇非偶函數(shù)．

(2)當(dāng)t=2時(shí)，y=)=|x?2|+x2?1，

①當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)y=x2+x?3=(x+12)2?134在[2,+∞)上遞增，∴ymin=3，

②當(dāng)x<2時(shí)，函數(shù)y=x2?x+1=(x?12)2+34，∴ymin=34，

∵34<3，∴y=g(x)?f(x)的最小值為34

(3)∵?(x)=?x2+mx+1是區(qū)間[?1,1]的平均值函數(shù)

∴存在x0∈(?1,1)，使?(x21.解：(1)由題意，設(shè)t>0，則曲線y=lnx在點(diǎn)(t,lnt)處的切線方程為y?lnt=1t(x?t)，

該切線過原點(diǎn)O時(shí)，?lnt=?1，解得t=e，故原點(diǎn)O是函數(shù)y=lnx的一個(gè)1度點(diǎn)；

又因?yàn)樵撉芯€過點(diǎn)A(2,0)，所以?lnt=1t(2?t)，

設(shè)s(t)=tlnt?t+2，則s′(t)=1+lnt?1=lnt，令s′(t)=0，得t=1，

所以t∈(0,1)時(shí)，s′(t)<0，s(t)單調(diào)遞減；t∈(1,+∞)時(shí)，s′(t)>0，s(t)單調(diào)遞增，

所以s(t)=tlnt?t+2在x=1處取得極小值，也是最小值，且s(1)=0?1+2=1>0，

所以?lnt=1t(2?t)無解，點(diǎn)A(2,0)不是函數(shù)y=lnx的1度點(diǎn)；

(2)證明：設(shè)t>0，y′=cost，則曲線y=sinx在點(diǎn)(t,sint)處的切線方程為y?sint=cost(x?t)，

則該切線過點(diǎn)(0,π)，當(dāng)且僅當(dāng)π?sint=?tcost(?)，

設(shè)G(t)=sint?tcost?π，G′(t)=tsint，∴0<t<π時(shí)，G′(t)>0，

故y=G(t)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)0<t<m<π時(shí)，G(t)<G(π)=0，(?)恒不成立，即點(diǎn)B(0,π)是y=g(x)的一個(gè)0度點(diǎn)；

(3)y′=3x2?1，

對(duì)任意t∈R，曲線y=x3?x在點(diǎn)(t,t3?t)處的切線方程為y?(t3?t)=(3t2?1)(x?t)，

故點(diǎn)(a,b)為函數(shù)y=x3?x的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于t的方程b?(t3?t)=(3t2?1)(a?t)恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

設(shè)?(t)=2t3?3at2+(a+b)，則點(diǎn)(a,b)為函數(shù)y=x3?x的一個(gè)2度點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)y=?(t)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

若a=0，則?(t)=2t3+b在R上嚴(yán)格增，只有一