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二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第5節(jié)一、微分的概念函數(shù)的微分

第2章一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)可導(dǎo),則說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P71表)又如,二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)例1.求解:例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說(shuō)明:

上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意注數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性,例如三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得的近似值.解:

設(shè)取則例4.求的近似值.解:例5.計(jì)算例6.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計(jì)一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,內(nèi)容小結(jié)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可微可導(dǎo)2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似

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