高考數(shù)學(xué)選填壓軸題型第9講復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式求解問題專題練習(xí)(原卷版+解析)

7/7第9講復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式求解問題一．方法綜述數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列高考中的熱點(diǎn)問題，求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)會(huì)滲透多種數(shù)學(xué)思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強(qiáng)，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個(gè)類型的特點(diǎn)即可.在考試中時(shí)常會(huì)考查一些壓軸小題，如數(shù)陣（數(shù)表）問題、點(diǎn)列問題、函數(shù)問題中、由復(fù)雜遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式問題、兩邊夾問題中的數(shù)列通項(xiàng)公式問題、下標(biāo)為形式的數(shù)列通項(xiàng)公式問題中都有所涉及，本講就這類問題進(jìn)行分析.二．解題策略類型一數(shù)陣（數(shù)表）中涉及到的數(shù)列通項(xiàng)公式問題【例1】（2020·江西九江模擬）將一些數(shù)排成倒三角形如圖所示，其中第一行各數(shù)依次為1，2，3，…，2018，從第二行起，每一個(gè)數(shù)都等于他“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行只有一個(gè)數(shù)M，則M＝（）A．201822015 B．201922016 C．201822016 D．201922017【舉一反三】5．以下數(shù)表的構(gòu)造思路來源于我國南宋數(shù)學(xué)家所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角”:該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)為A． B． C． D．2．（2020·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色．先染1；再染3個(gè)偶數(shù)2，4，6；再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2019個(gè)數(shù)是（）A．3972 B．3974 C．3991 D．39933.（2020南充模擬）如圖所示的“數(shù)陣”的特點(diǎn)是：每行每列都成等差數(shù)列，則數(shù)字73在圖中出現(xiàn)的次數(shù)為____．類型二函數(shù)問題中涉及到的數(shù)列通項(xiàng)公式問題【例2】已知，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【舉一反三】（2020·上海中學(xué)高三期中）對(duì)函數(shù)設(shè)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式為_________；2.（2020河北省石家莊市模擬）定義在正實(shí)數(shù)上的函數(shù)，其中表示不小于x的最小整數(shù)，如，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則=____.3.已知是上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為類型三由復(fù)雜遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式問題【例3】（2020·天津市第一百中學(xué)高三）已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·安徽高考模擬）已知首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿足，則________類型四兩邊夾問題中的數(shù)列通項(xiàng)公式問題【例4】（2020·安徽六安一中）已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·浙江模擬）對(duì)任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足且，則an等于（）A． B． C． D．2.設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意的，滿足，,則_________3．（2020·四川樹德中學(xué)）設(shè)定義在上的函數(shù)，，且對(duì)任意，滿足，，則（）A． B． C． D．三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·福建高三期末（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（）A． B． C． D．2．（2020·天津靜海一中）在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；對(duì)任意的，成立.若數(shù)列滿足，且，則的值為（）A． B． C． D．【來源】海南省海南中學(xué)2021屆高三第五次月考數(shù)學(xué)試題4．（2020·上海市建平中學(xué)高三）數(shù)列為1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先給出，接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加其后繼數(shù)2，于是，，然后再復(fù)制前面的所有項(xiàng)1、1、2，再添加2的后繼數(shù)4，于是，，，，接下來再復(fù)制前面的所有項(xiàng)1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此繼續(xù)，則（）A．16 B．4 C．2 D．15．（2020·山東高三期末）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．6．已知數(shù)列各項(xiàng)均不為零，且，若，則（）A．19 B．20 C．22 D．23【來源】河南省駐馬店市新蔡縣2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期四校聯(lián)考理數(shù)試題7．（2015·上海師大附中高三期中（理））若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列．例如，若數(shù)列是1，2，，，，則數(shù)列是0，1，2，，已知對(duì)任意的，，則A． B． C． D．8.（2020浙江省湖州三校）已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20219．（2020·山西模擬）黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個(gè)黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個(gè)正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個(gè)正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個(gè)正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個(gè)比例，現(xiàn)把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設(shè)為，每扇形的半徑設(shè)為滿足，若將的每一項(xiàng)按照上圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1，記前項(xiàng)所占的對(duì)應(yīng)正方形格子的面積之和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．10．（2020·浙江高三）已知數(shù)列滿足：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．11．?dāng)?shù)列中，，，則（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．13．已知數(shù)列滿足，且(其中為數(shù)列前項(xiàng)和)，是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則___________.【來源】上海市虹口區(qū)2021屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題14．?dāng)?shù)列滿足，若時(shí)，，則的取值范圍是__________．15．設(shè)是定義在上且周期為6的周期函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間（其中）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最小值為，則__________16．隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人類通過計(jì)算機(jī)已找到了630萬位的最大質(zhì)數(shù)．陳成在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)由41，43，47，53，61，71，83，97組成的數(shù)列中每一個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，他根據(jù)這列數(shù)的一個(gè)通項(xiàng)公式，得出了數(shù)列的后幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)．于是他斷言：根據(jù)這個(gè)通項(xiàng)公式寫出的數(shù)均為質(zhì)數(shù)．請(qǐng)你寫出這個(gè)通項(xiàng)公式，從這個(gè)通項(xiàng)公式舉出一個(gè)反例，說明陳成的說法是錯(cuò)誤的：.18.（2020河北省衡水市第二中學(xué)）數(shù)列中的項(xiàng)按順序可以排列成如圖的形式，第一行項(xiàng)，排；第二行項(xiàng)，從左到右分別排，；第三行項(xiàng)，……以此類推，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）4,4,434,43,44,43,4,4…19．（2020·北京高三（理））已知數(shù)列{}對(duì)任意的n∈N*，都有∈N*，且=①當(dāng)=8時(shí)，_______②若存在m∈N*，當(dāng)n>m且為奇數(shù)時(shí)，恒為常數(shù)P，則P=_______20.已知等差數(shù)列，等比數(shù)列的公比為，設(shè)，的前項(xiàng)和分別為，．若，則__________．21.等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為16的等比數(shù)列，.則的通項(xiàng)公式____________.22.在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)列，，，…，，…，其中是正整數(shù).連接的直線與軸交于點(diǎn)，連接的直線與軸交于點(diǎn)，…，連接的直線與軸交于點(diǎn)，….則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.23．（2020·江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則________.24．（2020·湖北高三模擬）在正項(xiàng)數(shù)列中，，且，若，則_______.第9講復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式求解問題第9講復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式求解問題一．方法綜述數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列高考中的熱點(diǎn)問題，求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)會(huì)滲透多種數(shù)學(xué)思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強(qiáng)，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個(gè)類型的特點(diǎn)即可.在考試中時(shí)常會(huì)考查一些壓軸小題，如數(shù)陣（數(shù)表）問題、點(diǎn)列問題、函數(shù)問題中、由復(fù)雜遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式問題、兩邊夾問題中的數(shù)列通項(xiàng)公式問題、下標(biāo)為形式的數(shù)列通項(xiàng)公式問題中都有所涉及，本講就這類問題進(jìn)行分析.二．解題策略類型一數(shù)陣（數(shù)表）中涉及到的數(shù)列通項(xiàng)公式問題【例1】（2020·江西九江模擬）將一些數(shù)排成倒三角形如圖所示，其中第一行各數(shù)依次為1，2，3，…，2018，從第二行起，每一個(gè)數(shù)都等于他“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行只有一個(gè)數(shù)M，則M＝（）A．201822015 B．201922016 C．201822016 D．201922017【答案】B【解析】【分析】記第行的第一個(gè)數(shù)為，由規(guī)律可總結(jié)得到，構(gòu)造出，可知為等差數(shù)列，從而可求得，根據(jù)共行，知，代入可求得結(jié)果.【詳解】記第行的第一個(gè)數(shù)為，則，，，，…，，，即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列又每行比上一行的數(shù)字少個(gè)最后一行為第行,故選：【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列中的項(xiàng)求解通項(xiàng)公式的問題，關(guān)鍵是能夠通過每一行首個(gè)數(shù)字所呈現(xiàn)出的規(guī)律，總結(jié)出遞推關(guān)系式，利用構(gòu)造的方式得到等差數(shù)列，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【舉一反三】5．以下數(shù)表的構(gòu)造思路來源于我國南宋數(shù)學(xué)家所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角”:該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【解析】觀察每一行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律：

第一行的第一個(gè)數(shù)為，

第二行的第一個(gè)數(shù)為，

第三行的第一個(gè)數(shù)為，

第四行的第一個(gè)數(shù)為，

……

第行的第一個(gè)數(shù)為，

表中一共2018行，

∴第2018行的第一個(gè)數(shù)即，

故選B．2．（2020·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色．先染1；再染3個(gè)偶數(shù)2，4，6；再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2019個(gè)數(shù)是（）A．3972 B．3974 C．3991 D．3993【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意知，每次涂成紅色的數(shù)字成等差數(shù)列，并且第n次染色時(shí)所染的最后一個(gè)數(shù)是n(2n-1)，可以求出2019個(gè)數(shù)是在第45次染色的倒數(shù)第7個(gè)數(shù)，因此可求得結(jié)果．【詳解】第1此染色的數(shù)為1=1，共染色1個(gè)，第2次染色的最后一個(gè)數(shù)為6=2，共染色3個(gè)，第3次染色的最后一個(gè)數(shù)為15=3，共染色5個(gè)，第4次染色的最后一個(gè)數(shù)為28=4，共染色7個(gè)，第5次染色的最后一個(gè)數(shù)為45=5，共染色9個(gè)，…∴第n次染色的最后一個(gè)數(shù)為n，共染色2n-1個(gè)，經(jīng)過n次染色后被染色的數(shù)共有1+3+5+…+（2n-1）=n2個(gè)，而2019，∴第2019個(gè)數(shù)是在第45次染色時(shí)被染色的，第45次染色的最后一個(gè)數(shù)為45，且相鄰兩個(gè)數(shù)相差2，∴2019＝45＝3993．故選D．3.（2020南充模擬）如圖所示的“數(shù)陣”的特點(diǎn)是：每行每列都成等差數(shù)列，則數(shù)字73在圖中出現(xiàn)的次數(shù)為____．【答案】12【指點(diǎn)迷津】1.本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)與整數(shù)解問題.根據(jù)每行每列都成等差數(shù)列，先從第一行入手求出第一行數(shù)組成的數(shù)列的通項(xiàng)公式，再把第一行的數(shù)當(dāng)成首項(xiàng)，再次根據(jù)等差數(shù)列這一性質(zhì)求出第數(shù)列組成的數(shù)列，最后根據(jù)整數(shù)解方程的解法列舉所有解即可.2.數(shù)陣：由實(shí)數(shù)排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來確定數(shù)陣的規(guī)律及求某項(xiàng).對(duì)于數(shù)陣首先要明確“行”與“列”的概念.橫向?yàn)椤靶小?，縱向?yàn)椤傲小?，在?xiàng)的表示上通常用二維角標(biāo)進(jìn)行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在題目中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)關(guān)于某個(gè)數(shù)的位置問題，解決的方法通常為先抓住選取數(shù)的特點(diǎn)，確定所求數(shù)的序號(hào)，再根據(jù)每行元素個(gè)數(shù)的特點(diǎn)（數(shù)列的通項(xiàng)），求出前行共含有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而確定該數(shù)位于第幾行，然后再根據(jù)數(shù)之間的規(guī)律確定是該行的第幾個(gè)，即列.類型二函數(shù)問題中涉及到的數(shù)列通項(xiàng)公式問題【例2】已知，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在R上為奇函數(shù)，故,代入得:當(dāng)時(shí),.令,則,上式即為:.當(dāng)為偶數(shù)時(shí):.當(dāng)為奇數(shù)時(shí):.綜上所述,.所以C選項(xiàng)是正確的.【舉一反三】（2020·上海中學(xué)高三期中）對(duì)函數(shù)設(shè)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式為_________；【答案】【解析】計(jì)算易知：，則當(dāng)時(shí)，得到即，對(duì)應(yīng)數(shù)列為；當(dāng)時(shí)，得到即，（舍去），繼續(xù)迭代得到即當(dāng)時(shí)：方程的解的個(gè)數(shù)為，，；當(dāng)時(shí)：方程的解的個(gè)數(shù)為，；當(dāng)時(shí)：方程的解的個(gè)數(shù)為，，.綜上所述：2.（2020河北省石家莊市模擬）定義在正實(shí)數(shù)上的函數(shù)，其中表示不小于x的最小整數(shù)，如，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則=____.【答案】【解析】易知：當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)閤∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.當(dāng)n=2時(shí)，因?yàn)閤∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以.當(dāng)n=3時(shí)，因?yàn)閤∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，；當(dāng)n=4時(shí)，因?yàn)閤∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以；當(dāng)n=5時(shí)，因?yàn)閤∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以.由此類推：.故.【指點(diǎn)迷津】1.“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.2.已知求的一般步驟：（1）當(dāng)時(shí)，由求的值；（2）當(dāng)時(shí)，由，求得的表達(dá)式；（3）檢驗(yàn)的值是否滿足（2）中的表達(dá)式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達(dá)式.3.已知是上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】【解析】∵是奇函數(shù)，∴，令，，令，，∴，∴，學(xué)科&網(wǎng)令，∴，令，∴，∵，∴，同理可得，，∴，類型三由復(fù)雜遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式問題【例3】（2020·天津市第一百中學(xué)高三）已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,,,則,數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，利用疊加法，，，則.選B.【舉一反三】1．（2020·安徽高考模擬）已知首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】已知關(guān)系式可得：，令，可得；利用對(duì)數(shù)法可證得為等比數(shù)列，從而可求得，進(jìn)而得到，表示出后與已知條件對(duì)應(yīng)，則可求得的值.【詳解】由題意得：令，則，兩邊取對(duì)數(shù)得：又，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即又,本題正確選項(xiàng)：2．已知數(shù)列滿足，則________【答案】【解析】，，，設(shè)，則，，兩邊取對(duì)數(shù)，，，所以是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，，，故答案為：類型四兩邊夾問題中的數(shù)列通項(xiàng)公式問題【例4】（2020·安徽六安一中）已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意得出，由，得出，再利用累加法得出的值?！驹斀狻?，，又，，，，則，于是得到，上述所有等式全部相加得，因此，，故選：B。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列項(xiàng)的計(jì)算，考查累加法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題中條件構(gòu)造出等式，考查分析問題的能力和計(jì)算能力?！九e一反三】1．（2020·浙江模擬）對(duì)任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足且，則an等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵且，∴，，即，∴，故選A.2.設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意的，滿足，,則_________【答案】【指點(diǎn)迷津】解題的關(guān)鍵是要通過所給的不等關(guān)系找到數(shù)列的項(xiàng)的特征，即，然后經(jīng)過恰當(dāng)?shù)淖冃危瑢⑶蟮膯栴}轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和的問題去處理，對(duì)于求和問題要把握準(zhǔn)數(shù)列的公比和數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，這是比較容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方.3．（2020·四川樹德中學(xué)）設(shè)定義在上的函數(shù)，，且對(duì)任意，滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先把轉(zhuǎn)化成，與進(jìn)行加法運(yùn)算，依次推倒，得到，再根據(jù)條件，得到，然后根據(jù)等式關(guān)系，用累加法計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴===+++++3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·福建高三期末（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，，得到，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，即可得解.【詳解】解：①，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，②，①減②得，,則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，,故選：2．（2020·天津靜海一中）在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用累加法先求出,進(jìn)而求得即可【詳解】由題,,則,…,,所以由累加法可得,,即,則,所以,故選：D3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；對(duì)任意的，成立.若數(shù)列滿足，且，則的值為（）A． B． C． D．【來源】海南省海南中學(xué)2021屆高三第五次月考數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，在上任取兩數(shù)，且，令，則．，即在上是單調(diào)增函數(shù)．令，則，解得．而數(shù)列滿足，，，則，∴數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，得：，∴，故.故選：C．4．（2020·上海市建平中學(xué)高三）數(shù)列為1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先給出，接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加其后繼數(shù)2，于是，，然后再復(fù)制前面的所有項(xiàng)1、1、2，再添加2的后繼數(shù)4，于是，，，，接下來再復(fù)制前面的所有項(xiàng)1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此繼續(xù)，則（）A．16 B．4 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】利用已知條件，推出，及時(shí)，有，再求解的值即可．【詳解】由數(shù)列的構(gòu)造方法可知，，，，可得，所以數(shù)首次出現(xiàn)于第項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，有，故．5．（2020·山東高三期末）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題中定義可得，即，即，等式兩邊同時(shí)除以，得，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，因此，.故選：B.6．已知數(shù)列各項(xiàng)均不為零，且，若，則（）A．19 B．20 C．22 D．23【來源】河南省駐馬店市新蔡縣2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期四校聯(lián)考理數(shù)試題【答案】A【解析】由得，則.令，則數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為t1的等差數(shù)列，所以，所以.所以當(dāng)n1時(shí)，，也符合上式，所以；所以公差,解得,所以，所以，故選A.7．（2015·上海師大附中高三期中（理））若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列．例如，若數(shù)列是1，2，，，，則數(shù)列是0，1，2，，已知對(duì)任意的，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)任意的，，則，，，，，，，，，猜想．故選：．8.（2020浙江省湖州三校）已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,則,所以，從而，，因?yàn)?所以數(shù)列單調(diào)遞增，設(shè)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí)，，，從而,因此,選C.9．（2020·山西模擬）黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個(gè)黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個(gè)正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個(gè)正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個(gè)正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個(gè)比例，現(xiàn)把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設(shè)為，每扇形的半徑設(shè)為滿足，若將的每一項(xiàng)按照上圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1，記前項(xiàng)所占的對(duì)應(yīng)正方形格子的面積之和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得為以為長和寬矩形的面積，即；；又，故正確；因?yàn)椋訢錯(cuò)誤,選D.10．（2020·浙江高三）已知數(shù)列滿足：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】考察函數(shù)，則先根據(jù)單調(diào)性可得，再利用單調(diào)性可得.【詳解】考察函數(shù)，由可得在單調(diào)遞增，由可得在單調(diào)遞減且，可得，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，如圖所示：且，，圖象可得，所以，故選B.11．?dāng)?shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，故，記，則，兩邊取倒數(shù)，得，所以是以為公差的等差數(shù)列，又，所以，所以，故.故選：C.12．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，．令，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，即，．又，，所以.故選：B13．已知數(shù)列滿足，且(其中為數(shù)列前項(xiàng)和)，是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則___________.【來源】上海市虹口區(qū)2021屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題【答案】【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且滿足所以，所以的最小正周期為又因?yàn)閿?shù)列滿足，且①；當(dāng)時(shí)，②；①減②得，所以，所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即所以又所以被除余所以故答案為：014．?dāng)?shù)列滿足，若時(shí)，，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】,,故填.15．設(shè)是定義在上且周期為6的周期函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間（其中）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最小值為，則__________【答案】，，或（表示不超過的最大整數(shù)）【解析】將的圖象向左平移1個(gè)單位，得到的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即有的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為定義在上的奇函數(shù)，可得，又為周期為6的周期函數(shù)，可得．

可令，則，即，可得，

當(dāng)時(shí)，在上，有；當(dāng)時(shí)，在上，有；

當(dāng)時(shí)，在上，有；

當(dāng)時(shí)，在上，有，，…，

可得

即，或（表示不超過的最大整數(shù)）故答案為：，或（表示不超過的最大整數(shù)）16．隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人類通過計(jì)算機(jī)已找到了630萬位的最大質(zhì)數(shù)．陳成在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)由41，43，47，53，61，71，83，97組成的數(shù)列中每一個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，他根據(jù)這列數(shù)的一個(gè)通項(xiàng)公式，得出了數(shù)列的后幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)．于是他斷言：根據(jù)這個(gè)通項(xiàng)公式寫出的數(shù)均為質(zhì)數(shù)．請(qǐng)你寫出這個(gè)通項(xiàng)公式，從這個(gè)通項(xiàng)公式舉出一個(gè)反例，說明陳成的說法是錯(cuò)誤的：.【答案】見解析【詳解】解，令n=41，得不是質(zhì)數(shù)．17.定義運(yùn)算：，若數(shù)列滿足且()，則數(shù)列的通項(xiàng)公式＝________.【