2023-2024學(xué)年北京順義區(qū)一中高三（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京順義一中高三（上）期中數(shù)學(xué)一、單選題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．已知集合M＝{x|x+2≥0}，N＝{x|x﹣1＜0}．則M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜1}2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則z的共軛復(fù)數(shù)＝（）A． B．1﹣i C． D．3．已知圓C的圓心坐標(biāo)為（﹣3，2），且點(diǎn)（﹣1，1）在圓C上，則圓C的方程為（）A．x2+y2+6x﹣4y+8＝0 B．x2+y2+6x﹣4y﹣8＝0 C．x2+y2+6x+4y＝0 D．x2+y2+6x﹣4y＝04．已知平面向量＝（﹣1，2），，＝（t，t），若（），則t＝（）A． B． C． D．5．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．某金字塔的側(cè)面積之和等于底面積的2倍，則該金字塔側(cè)面三角形與底面正方形所成角的正切值為（）A．1 B． C． D．7．過點(diǎn)（0，﹣2）與圓x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝（）A．1 B． C． D．8．已知函數(shù)，則（）A．f（x）在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．f（x）在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．f（x）在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．f（x）在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱9．若函數(shù)既有極大值也有極小值，則錯(cuò)誤的是（）A．bc＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．b2+8ac＞0 D．a(chǎn)c＜010．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是該正方體對(duì)角線BD1上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①AC⊥B1P；②△APC面積的最小值是；③只存在唯一的點(diǎn)P，使BD1⊥平面APC；④當(dāng)時(shí)，平面ACP∥平面A1C1D．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共5小題，共25分）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3x+log3x，則＝．12．（5分）已知直線l1：x+2y﹣1＝0，l2：2x+ay﹣1＝0，若l1∥l2，則a的值是．13．（5分）已知命題p：若α，β為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ．能說明命題p為假命題的一組β的值可以是α＝，β＝．14．（5分）數(shù)列{an}共9項(xiàng)，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等比數(shù)列，后7項(xiàng)成等差數(shù)列，且a1＝1，a5＝10，a9＝22，則a7＝，數(shù)列{an}的所有項(xiàng)的和為．15．（5分）已知曲線C的方程為：x2+y2＝2|x|+2|y|（x，y∈R）有下列四種描述（1）曲線C關(guān)于y＝x對(duì)稱；（2）曲線C的面積大于16；（3）曲線C與圓x2+y2＝5有四個(gè)公共點(diǎn)；（4）若A，B為曲線C與x軸的交點(diǎn)，P為曲線C上的點(diǎn)，則△ABP的面積最大為；則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)題．三、解答題（本大題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（13分）已知△ABC滿足_____，且b＝，B＝，從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知填在橫線上，并求解下列問題：（Ⅰ）sinC；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①tanA＝3，條件②b2+c2﹣a2＝2c，條件③3b＝c．17．（14分）為了提高中小學(xué)生的身體素質(zhì)，某地區(qū)開展了中小學(xué)生跳繩比賽系列活動(dòng)．活動(dòng)結(jié)束后，利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，抽取了部分學(xué)生的成績(jī)，按照不同年齡段分組記錄如表：組別男生女生合格不合格合格不合格第一組90108020第二組88127228第三組60405842第四組80206238第五組82187822合計(jì)400100350150假設(shè)每個(gè)中小學(xué)生跳繩成績(jī)是否合格相互獨(dú)立．（Ⅰ）從樣本中的中小學(xué)生隨機(jī)抽取1人，求該同學(xué)跳繩成績(jī)合格的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)眾多小學(xué)的男生、女生中各隨機(jī)抽取1人，記這2人中恰有X人跳繩成績(jī)合格，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）假設(shè)該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績(jī)合格的概率與表格中該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績(jī)合格的頻率相等，用“ξk＝1”表示第k組同學(xué)跳繩成績(jī)合格，“ξk＝0”表示第k組同學(xué)跳繩成績(jī)不合格（k＝1，2，3，4，5），試確定方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5中哪個(gè)最大？哪個(gè)最小？（只需寫出結(jié)論）18．（13分）已知圓C：（x+2）2+y2＝1，直線x﹣y+m＝0與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）求的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．19．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD為正三角形，O為AD的中點(diǎn)，且平面PAD⊥平面ABCD，M是線段PC上的點(diǎn)．（1）求證：OM⊥BC；（2）當(dāng)點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M到平面PAB的距離；（3）是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面PAB的夾角的正弦值為．若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝alnx+﹣（a+1）x+1．（Ⅰ）當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．（15分）已知數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）．如果對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤n且i，j，n∈N*），aiaj與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{2，3，6}，{1，3，4，12}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）具有性質(zhì)P．①若ak∈N*（k＝1，2，3，…），證明：對(duì)任意1≤i≤n（i，n∈N*）都有ai是an的因數(shù)；②證明：ann＝a12?a22?a32?…?an2．

參考答案一、單選題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．【答案】A【分析】求出集合M、N的范圍，再根據(jù)交集的定義可得．【解答】解：由題意，M＝{x|x≥﹣2}，N＝{x|x＜1}，∴M∩N＝{x|﹣2≤x＜1}．故選：A．2．【答案】B【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則z＝1+i，故．故選：B．3．【答案】A【分析】求出圓的半徑，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再化簡(jiǎn)整理，即可求解．【解答】解：由題意可知，圓的半徑為，故圓C的方程為（x+3）2+（y﹣2）2＝5，即x2+y2+6x﹣4y+8＝0．故選：A．4．【答案】B【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示，列方程求解即可．【解答】解：由＝（﹣1，2），，＝（t，t），可得，又（），則有3（t+2）+2（t﹣1）＝0，解得t＝．故選：B．5．【答案】C【分析】首先明確充要條件的判定方法，再?gòu)牡炔顢?shù)列的定義入手，進(jìn)行正反兩方面的論證．【解答】解：若{an}是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，若{}為等差數(shù)列，則可設(shè)﹣＝D，則＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上兩式相減得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，當(dāng)n＝1時(shí)，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，則an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常數(shù)），所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．即甲是乙的必要條件．綜上所述，甲是乙的充要條件．故本題選：C．6．【答案】C【分析】根據(jù)題意，該金字塔對(duì)應(yīng)的正四棱錐為S﹣ABCD，再設(shè)該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，用a，h表示出一個(gè)側(cè)面的面積與射影面的面積，作出側(cè)面與底面所成銳二面角的平面角，進(jìn)而求出其正切值即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)該金字塔對(duì)應(yīng)的正四棱錐為S﹣ABCD，且該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為VE＝h，斜高為VE＝h′，如圖，∠VEO為側(cè)面與底面所成銳二面角的平面角，正四棱錐為S﹣ABCD的底面積S＝a2，側(cè)面積S′＝4S△VBC＝4×（×a×h′）＝2ah′，若正四棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，則有＝＝2，變形可得a＝h′，又由側(cè)面與底面所成的角為∠VEO，在Rt△VOE中，OV＝h′＝a，OE＝，則有h＝OV＝＝，故側(cè)面三角形與底面正方形所成角的正切值tan∠VEO＝＝．故選：C．7．【答案】B【分析】圓的方程化為（x﹣2）2+y2＝5，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出sin，再計(jì)算cos和sinα的值．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣1＝0可化為（x﹣2）2+y2＝5，則圓心C（2，0），半徑為r＝；設(shè)P（0，﹣2），切線為PA、PB，則PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝．故選：B．8．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)f（x）的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性確定正確答案．【解答】解：，由于，所以f（x）在單調(diào)遞增，，所以f（x）不關(guān)于直線對(duì)稱.，所以f（x）關(guān)于直線對(duì)稱．故選：B．9．【答案】A【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），由已知，可得函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答即可．【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由，得，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）既有極大值也有極小值，所以函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而a≠0，所以方程ax2﹣bx﹣2c＝0有兩個(gè)不等的正根x1，x2，所以，所以b2+8ac＞0，ab＞0，ac＜0，所以a2bc＜0，即bc＜0．故BCD正確，A錯(cuò)誤．故選：A．10．【答案】C【分析】通過證明AC⊥平面BDD1B1來判定①；分析△APC的面積取得最小值的條件，求解即可判定②；通過分析BD1⊥平面APC的條件，得到點(diǎn)P滿足的條件，從而判定③；通過證明BD1⊥平面A1C1D，BD1⊥平面ACP，可得平面ACP∥平面A1C1D，從而判定④．【解答】解：①：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，易知AC⊥D1DBB1，P在BD1上，而BD1?面D1DBB1，∴AC⊥B1P，故①正確；②：△APC的最小面積，即AC的中點(diǎn)O到D1B的距離為△APC的高時(shí)取得，由，可得OP＝＝，故△APC面積的最小值是，故②錯(cuò)誤；③：在正方體中，已知AC⊥BD1，故當(dāng)AP⊥BD1時(shí)，有BD1⊥平面APC，在平面ABD1中，過點(diǎn)A只能作出一條直線垂直于BD1，故點(diǎn)P是唯一的，故③正確；④：當(dāng)時(shí)，此時(shí)OP⊥D1B，AC⊥面D1DBB1，∴AC⊥D1B，又AC∩OP＝O，∴D1B⊥平面ACP，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，顯然有D1B⊥平面A1C1D，即兩面同時(shí)垂直于一條直線，∴平面ACP∥平面A1C1D，故④正確；綜上，①③④正確．故選：C．二、填空題（本大題共5小題，共25分）11．【答案】﹣1．【分析】代入即可得出函數(shù)的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝3x+log3x，∴＝+＝﹣1，故答案為：﹣1．12．【答案】4．【分析】由兩直線平行可得A1B2＝A2B1，代入相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)閘1∥l2，所以a＝2×2＝4，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．故答案為：4．13．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）．【分析】根據(jù)題意，舉反例，即可得解．【解答】解：取α＝+2π，β＝，則α＞β，但sinα＝sinβ，不滿足sinα＞sinβ，∴命題p為假命題，∴能說明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α＝，β＝．故答案為：（答案不唯一），（答案不唯一）．14．【答案】16，90或94．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：設(shè)后7項(xiàng)的公差為d，前3項(xiàng)的公比為q，a5＝10，a9＝22，則2a7＝a5+a9＝32，解得a7＝16，d＝，a3＝a5﹣2d＝10﹣6＝4，則＝4，解得a2＝±2，a6＝a5+d＝13，當(dāng)a2＝2時(shí)，a1+a2+a3+???+a9＝a1+a2+7a6＝1+2+7×13＝94，當(dāng)a2＝﹣2時(shí)，a1+a2+a3+???+a9＝a1+a2+7a6＝1﹣2+7×13＝90，故答案為：16，90或94．15．【答案】（1）（2）（4）．【分析】根據(jù)方程的對(duì)稱性，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：設(shè)（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，由于曲線C的方程為x2+y2＝2|x|+2|y|，所以當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，曲線的方程為x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，方程x2+y2＝2|x|+2|y|中，x換成﹣x，y換成﹣y，方程不變，則其曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱，曲線C的圖形如圖（由圖中實(shí)線部分及原點(diǎn)組成），故（1）正確．由圖可知，曲線C所圍成的圖形是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和四個(gè)全等的半圓組合而成的，其中半圓的半徑為，故曲線C所圍成的圖形的面積為＞16，故（2）正確；連接原點(diǎn)與（1，1）點(diǎn)，并延長(zhǎng)與曲線交于M點(diǎn)，則OM＝2＞，則以（0，0）為圓心，半徑為的圓x2+y2＝5與曲線有8個(gè)交點(diǎn)，（3）錯(cuò)誤；第一象限內(nèi)，（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，取正的，y＝1+，當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1+，則△ABP的面積最大為×4×（1+）＝，（4）正確．故正確結(jié)論的序號(hào)：（1）（2）（4）．三、解答題（本大題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．【答案】若選①，（I）；（II）6；若選②，（Ⅰ）；（II）6；若選③，（Ⅰ）；（II）3或6．【分析】若選①，（I）由已知結(jié)合同角基本關(guān)系先求出cosA，sinA，進(jìn)而可求sinC，然后結(jié)合余弦定理可求cosA，sinA，結(jié)合誘導(dǎo)公式及和角正弦可求sinC；（II）由（I）利用正弦定理可求a，結(jié)合三角形面積公式可求．若選②，（I）由已知利用余弦定理可求cosA，進(jìn)而可求sinA，結(jié)合誘導(dǎo)公式及和角正弦可求sinC；（II）由（I）利用正弦定理可求a，結(jié)合三角形面積公式可求．若選③，（I）由題意結(jié)合正弦定理可求sinC；（II）由（I）知cosC的值，利用兩角和的正弦公式可求sinA的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：若選①，（I）因?yàn)閠anA＝＝3，A為銳角，，又sin2A+cos2A＝1，所以cosA＝，sinA＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝×+×＝；（II）由正弦定理可得a＝＝＝3，所以△ABC的面積為S＝absinC＝×3××＝6；若選②，（Ⅰ）因?yàn)閎2+c2﹣a2＝2c，由余弦定理得，cosA＝＝＝，故A為銳角，sinA＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝×+×＝；（II）由正弦定理可得a＝＝＝3，所以△ABC的面積為S＝absinC＝×3××＝6；若選③，（Ⅰ）因?yàn)閎＝＝，所以c＝3，b＝，，由正弦定理，可得sinC＝＝＝；（II）由（I）知cosC＝±＝±，因?yàn)閏＞b，所以C＞B，故C有兩解，又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝×（±），即sinA＝或sinA＝，當(dāng)sinA＝時(shí)，S△ABC＝bcsinA＝×3×＝3；當(dāng)sinA＝時(shí)，S△ABC＝bcsinA＝×3×＝6．17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）X的分布列見解析；E（X）＝；（Ⅲ）Dξ1最小，Dξ3最大．【分析】（Ⅰ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出男女生跳繩合格的人數(shù)以及總的人數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率求出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解即可；（Ⅲ）根據(jù)表格中所給的數(shù)據(jù)，由方差的意義即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“從樣本中的中小學(xué)生隨機(jī)抽取1人，該同學(xué)跳繩成績(jī)合格”，樣本中男生跳繩成績(jī)合格的有：90+88+60+80+82＝400人，樣本中女生跳繩成績(jī)合格的有：80+72+58+62+78＝350人，樣本中男、女跳繩成績(jī)合格的共有：400+350＝750人，樣本中的男生總?cè)藬?shù)為：400+100＝500人，樣本中男、女生總?cè)藬?shù)為：500+500＝1000，所以P（A）＝＝；（Ⅱ）設(shè)事件B為“從該地區(qū)眾多中小學(xué)的男生中隨機(jī)抽取1人，該生跳繩成績(jī)合格”，則P（B）＝＝，設(shè)事件C為“從該地區(qū)眾多中小學(xué)的女生中隨機(jī)抽取1人，該生跳繩成績(jī)合格”，P（C）＝，由題意可知，X的可能取值為0，1，2，則P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為：X012P所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×+1×+2×＝；（Ⅲ）Dξ1最小，Dξ3最大．18．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）聯(lián)立，消y得：2x2+2（m+2）x+3+m2＝0，然后結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解；（2）結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．【解答】解：（1）已知圓C：（x+2）2+y2＝1，直線x﹣y+m＝0與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，聯(lián)立，消y得：2x2+2（m+2）x+3+m2＝0，由題意可得Δ＝4（m+2）2﹣8（3+m2）＞0，即，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則x1+x2＝﹣m﹣2，，又，則，即，即或；（2）由（1）可得：＝x1x2+y1y2＝＝m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2，又，則．19．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，且．【分析】（1）連接OC，AC，證明AD⊥平面POC，利用線面垂直的性質(zhì)可得出AD⊥PC，再結(jié)合AD∥BC，可證明OM⊥BC；（2）推導(dǎo)出PO⊥平面ABCD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出點(diǎn)M到平面PAB的距離．（3）設(shè)＝＝（，0，﹣），（0≤λ≤1），則＝＝（），由直線AM與平面PAB的夾角的正弦值為，利用向量法能求出結(jié)果．【解答】解：（1）證明：連接OC，AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵∠ADC＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∵O為AD的中點(diǎn)，∴OC⊥AD，∵△PAD是等邊三角形，O為AD的中點(diǎn)，∴PO⊥AD，∵PO∩OC＝O，∴AD⊥平面POC，∵PC?平面POC，∴AD⊥PC，∵BC∥AD，∴BC⊥PC．（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∵OC⊥AD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣1，0），B（，﹣2，0），C（，0，0），P（0，0，），M（，0，），設(shè)平面PAB的法向量＝（x，y，z），＝（，﹣1，0），＝（0，1，），＝（，1，），由，取x＝1，得＝（1，，﹣1），∴點(diǎn)M到平面PAB的距離d＝＝＝．（3）設(shè)＝＝λ（，0，﹣）＝（，0，﹣），（0≤λ≤1），＝＝（0，1，）+（）＝（），∵直線AM與平面PAB的夾角的正弦值為，∴|cos＜＞|＝＝＝，整理得9λ2+3λ﹣2＝0，由0≤λ≤1，解得，∴存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面PAB的夾角的正弦值為，＝．20．【答案】（Ⅰ）切線方程為y＝x﹣1；（Ⅱ）a＜1．【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（2），f′（2），求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值，確定a的范圍即可．【解答】解：（I）當(dāng)a＝0時(shí)，，（1分）所以f′（x）＝x﹣1，（3分）所以k＝f′（2）＝1，因?yàn)椋?分）所以切線方程為y＝x﹣1．（6分）（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．因?yàn)椋?分）所以．（9分）令f′（x）＝0，即x2﹣（a+1）x+a＝0，解得x＝1或x＝a．（10分）（1）當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化狀態(tài)如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘極小值↗所以當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得極小值．所以a≤0成立．（11分）（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化狀態(tài)如下表：x（0，a）a（a，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得極小值．所以0＜a＜1成立．（12分）（3）當(dāng)a＝1時(shí)，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，沒有極小值，不成立．（13分）（4）當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化狀態(tài)如下表：x（0，1）1（1，a）a（a，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得極大值．所以a＞1不成立．（14分）綜上所述，a＜1．（15分）21．【答案】（Ⅰ）數(shù)集{2，3，6}不具有性質(zhì)P，數(shù)集{1，3，4，12}具有性質(zhì)P．理由見解答．（Ⅱ）①證明過程見解答．②證