上海市寶山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

2023學(xué)年第二學(xué)期期末高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷考生注意：1.本試卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁(yè)，正反面；3.在本試題卷上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4.可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題.一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得分，否則一律得零分.1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為_(kāi)_________.2.在等差數(shù)列中，，則的值是__________.3.若雙曲線的一條漸近線方程為，則實(shí)數(shù)___________．4.若無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.5.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為_(kāi)__________.6.已知向量，，則在方向上的投影向量為_(kāi)_________.7.如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，，設(shè)，，，則__________.（用表示）8.中中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.其意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因?yàn)槟_痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了__________里.9.在數(shù)列中，，且，則__________.10.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為_(kāi)_________.11.已知點(diǎn)在橢圓上，為橢圓右焦點(diǎn)，直線與圓相切，且（為原點(diǎn)），則橢圓的離心率為_(kāi)_____.12.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，包含意思是：幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過(guò)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問(wèn)題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法之一.比如：這個(gè)代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)可得，方程的解為_(kāi)_________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分），每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得相應(yīng)滿分，否則一律得多分.13.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則與的位置關(guān)系是（）A.⊥ B.C與相交但不垂直 D.或15.已知曲線，過(guò)點(diǎn)作該曲線的5條弦，這些弦的長(zhǎng)度構(gòu)成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，則該數(shù)列公差的取值范圍是（）A. B. C. D.16.已知實(shí)數(shù)滿足，則取值范圍是（）A. B. C. D.三?解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知直線和直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.18.已知等差數(shù)列首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且是3與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.19.從空間一點(diǎn)出發(fā)作三條兩兩互相垂直的坐標(biāo)軸，可以建立空間直角坐標(biāo)系.如果坐標(biāo)系中的坐標(biāo)軸不垂直；那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.設(shè)是空間中相互成角的三條坐標(biāo)軸，其中分別是軸?軸?軸正方向的單位向量.（1）計(jì)算的值，（2）若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在該斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).已知①求的值；②求的面積：20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，且.（1）求證：；（2）當(dāng)為鈍角時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若二面角的大小為，求點(diǎn)到平面的距離.21.已知橢圓的離心率為，左?右頂點(diǎn)分別為，左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記直線的斜率分別為，證明：為定值：（3）記的面積分別為，求的取值范圍.2023學(xué)年第二學(xué)期期末高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷考生注意：1.本試卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁(yè)，正反面；3.在本試題卷上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4.可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題.一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得分，否則一律得零分.1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，從而利用可求傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率1，令直線傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故答案為：.2.在等差數(shù)列中，，則的值是__________.【答案】12【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】等差數(shù)列中，，則，所以.故答案為：123.若雙曲線的一條漸近線方程為，則實(shí)數(shù)___________．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上的漸近線為即可解決.【詳解】由題知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以即解得故答案為：9.4.若無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】變形得到方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】令，解得，故經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：5.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線平行得到，得到，整理得到答案.【詳解】直線與直線平行，則，直線方程為，即.故答案為：6.已知向量，，則在方向上的投影向量為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量定義和向量坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】，又，在方向上的投影向量為.故答案為：.7.如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，，設(shè)，，，則__________.（用表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算直接求解即可.【詳解】為中點(diǎn)，；，；.故答案為：.8.中中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.其意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因?yàn)槟_痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了__________里.【答案】96【解析】【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題意，此人每天走的路程可以構(gòu)成等比數(shù)列，公比，，因?yàn)?，解得，所以（里?故答案為：96.9.在數(shù)列中，，且，則__________.【答案】5【解析】【分析】用累加法求解.【詳解】，，…，各式累加得.故答案為：5.10.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合拋物線的定義求出，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，從而可求出的最小值.【詳解】由，得，所以，準(zhǔn)線為，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，過(guò)作于，則，得，則，得，所以，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：11.已知點(diǎn)在橢圓上，為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與圓相切，且（為原點(diǎn)），則橢圓的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】如圖，左焦點(diǎn)為，由幾何性質(zhì)得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及橢圓定義建立齊次式，從而求得離心率.【詳解】如圖所示，左焦點(diǎn)為，設(shè)圓的圓心為，切圓C于A，則半徑.∵，∴，則，∴，∴，化簡(jiǎn)得.∴橢圓的離心率為.故答案為：.12.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過(guò)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問(wèn)題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法之一.比如：這個(gè)代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)可得，方程的解為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】將原方程配方，方程的解轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。【詳解】原方程可化為，其幾何意義為點(diǎn)到，距離之差的絕對(duì)值等于，則該點(diǎn)的軌跡滿足雙曲線的定義，根據(jù)雙曲線的定義得：，，，所以，又因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，令得，所以原方程的解為。故答案為：二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分），每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得相應(yīng)滿分，否則一律得多分.13.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，可求得t的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因?yàn)榍€為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B14.已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則與的位置關(guān)系是（）A.⊥ B.C.與相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，所以，進(jìn)而可以得到與的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?故選：D.15.已知曲線，過(guò)點(diǎn)作該曲線的5條弦，這些弦的長(zhǎng)度構(gòu)成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，則該數(shù)列公差的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系求出最短弦長(zhǎng)和最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，然后利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算求解即可.【詳解】曲線，即由已知圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，且，所以過(guò)點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑長(zhǎng)，從而公差.故選：B16.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】去絕對(duì)值分別列出每個(gè)象限解析式，數(shù)形結(jié)合利用距離求解范圍.【詳解】當(dāng)，表示橢圓第一象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第四象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第二象限部分；當(dāng)，不表示任何圖形；以及兩點(diǎn)，作出大致圖象如圖：曲線上的點(diǎn)到的距離為，根據(jù)雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是，直線與距離為，曲線二四象限上的點(diǎn)到的距離為小于且無(wú)限接近1，聯(lián)立，消得，，且，所以直線與橢圓第一象限部分由兩個(gè)交點(diǎn)，考慮曲線第一象限的點(diǎn)到距離得最小值為，所以，所以的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題問(wèn)題的關(guān)鍵是確定方程表示的圖形，以及通過(guò)曲線上的點(diǎn)到直線的距離為的取值范圍，間接求解的取值范圍.三?解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知直線和直線.（1）若，求實(shí)數(shù)值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）0或2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式，即可求解；（2）根據(jù)兩直線平行，，求解，再代回直線驗(yàn)證.【小問(wèn)1詳解】若，則，解得或2；【小問(wèn)2詳解】若，則，解得或1.時(shí)，，滿足，時(shí)，，此時(shí)與重合，所以.18.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且是3與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可得，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由，.因?yàn)?，即，所以為?yán)格增數(shù)列，所以時(shí)，有最小值.19.從空間一點(diǎn)出發(fā)作三條兩兩互相垂直的坐標(biāo)軸，可以建立空間直角坐標(biāo)系.如果坐標(biāo)系中的坐標(biāo)軸不垂直；那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.設(shè)是空間中相互成角的三條坐標(biāo)軸，其中分別是軸?軸?軸正方向的單位向量.（1）計(jì)算的值，（2）若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在該斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).已知①求的值；②求的面積：【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)量積定義求解；（2）①根據(jù)數(shù)量積定義求的值；②求出各邊長(zhǎng)，再求其面積.【小問(wèn)1詳解】同理，所以.【小問(wèn)2詳解】①，，所以②，同理，，，等腰三角形中，可計(jì)算得邊上的高為，所以的面積為.20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，且.（1）求證：；（2）當(dāng)為鈍角時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若二面角的大小為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由，即可證明；（2）首先求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出，，依題意可得，即可求出的取值范圍；（3）利用空間向量法求出二面角二余弦值，即可求出，從而得到平面的法向量，再由向量法求出點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，底面，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)椋?；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，，?dāng)為鈍角時(shí)，，化簡(jiǎn)得，解得，顯然不平行，所