清單19銳角三角函數(shù)（3個考點(diǎn)梳理17種題型解讀提升訓(xùn)練）（原卷版）

清單19銳角三角函數(shù)（3個考點(diǎn)梳理+17種題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)：如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)(倒數(shù))余切(選)(∠A為銳角)【正弦和余弦注意事項(xiàng)】1)sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。2)sinA、cosA是一個比值（數(shù)值，無單位）。3)sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。【0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1銳角三角函數(shù)的關(guān)系：1）sinA=cos（90°A）,即一個銳角的正弦值等于它余角的余弦值。cosA=sin（90°A）,即一個銳角的余弦值等于它余角的正切值。正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時，sinα隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小。正切的增減性：當(dāng)0°<<90°時，tanα隨α的增大而增大，cot隨的增大而減小?！究荚囶}型1】正弦、余弦、正切概念理解1．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，下列結(jié)論中正確的是（

A．sinA=BCAB B．cosA=BCAC2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB3．如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB【考試題型2】求一個角的正弦、余弦、正切值1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（）A．512 B．125 C．5132．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3，AB=5，則cosA

A．34 B．43 C．453．在RtΔABC中，∠C=90°，BC=1，AC=3，那么tanA．12 B．13 C．334．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四個選項(xiàng)，正確的是（

A．tanB=34 B．sinB=43【考試題型3】根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求邊長1．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60 D2．如圖，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 D．3．如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=25，則此斜坡的水平距離ACA．75m B．50m C．30m D．12m【考試題型4】與特殊角的三角函數(shù)值有關(guān)的計(jì)算1．計(jì)算8+|-2|×cos45°A．2 B．32 C．22+2．sin45°+22A．1 B．2 C．3 D．23．在△ABC中，若tanA=1，cosB=22，則下列判斷最確切的是（

A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般銳角三角形4．在△ABC中，2cosA-22+1-tanA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．計(jì)算：(-2022)0【考試題型5】構(gòu)造直角三角形求正弦、余弦、正切值1．如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（

A．12 B．55 C．10102．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則tanA的值是（

）A．55 B．105 C．2 D【考試題型6】已知角度比較三角函數(shù)值的大小1．如果0°<∠A<45°，那么sinA與cosA的差（A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定2．三角函數(shù)sin40°、cosA．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>3．在Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則∠A的三角函數(shù)值（

A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【考試題型7】根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍1．已知sinα>cosα，那么銳角αA．30°<α<45° B．0°<α<2．已知∠A為銳角，且tanA=3，則∠A的取值范圍是（

A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°3．銳角α滿足sinα>22，且tanA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【考試題型8】利用同角的三角函數(shù)值求解1．在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，則cosA．55 B．255 C．12．在△ABC中，∠C=90°，sinB=45A．43 B．34 C．353．已知tanα=512，α是銳角，則sinA．135 B．1213 C．513考點(diǎn)二解直角三角形解直角三角形概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之間的關(guān)系：1)勾股定理（a2+b2=c2）2)∠A+∠B=90°34)cosA=∠A所鄰的邊斜邊=bc5)tanA=解直角三角形常見類型及方法：【考試題型9】直角三角形中直接解直角三角形1．如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，則邊AB的長為（

A．32 B．35 C．372．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AC＝CD，⊙O的半徑為22，則△AOC的面積為（）A．3 B．2 C．23 D．43．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE=3，則tan∠DBEA．12 B．2 C．52 D【考試題型10】構(gòu)造直角三角形中直接解直角三角形1．如圖，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，則

A．2+23 B．3+3 C．4 D2．已知在△ABC中，∠A=60°，AB=1+3，AC=2，則∠C=A．45° B．75° C．90° D．105°3．如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，BC=66，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，則線段AD的長為（

A．66 B．12 C．63 D【考試題型11】網(wǎng)格中解直角三角形1．如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．22．如圖，在4×3的網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A、B、C、D都在小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APC的值是

3．如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C為網(wǎng)格交點(diǎn)，(1)AD=；(2)sin∠BAD=【考試題型12】坐標(biāo)系中解直角三角形1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線y=kx-152交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，（1）求直線AB的解析式；（2）在線段AB上有一點(diǎn)P，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△AOP的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，在直線y=2x的第一象限上取一點(diǎn)D，連接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為0,3，點(diǎn)B在x軸上．(1)在坐標(biāo)系中求作一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)B和原點(diǎn)O這三點(diǎn)的距離相等，在圖中保留作圖痕跡，不寫作法；(2)若函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，且sin∠OAB=【考試題型13】利用解直角三角形求不規(guī)則圖形邊長或面積1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，CD=3，則四邊形ABCD的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．在△ABC中，BC＝3＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，則△ABC的面積為（

）A．3-12 B．32＋1 C．3+123．如圖，一把帶有60°角的三角尺放在兩條平行線間，已知量得平行線間的距離為12cm，三角尺最短邊和平行線成45°角，則三角尺斜邊的長度為（）

A．12cm B．122cm C．24cm D．242cm考點(diǎn)三與解直角三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用利用解直角三角形解決實(shí)際問題的一般步驟：1.將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；2.根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；3.得到數(shù)學(xué)問題的答案；4.得到實(shí)際問題的答案.【考試題型14】仰角俯角問題1．如圖，在地面上的點(diǎn)A處測得樹頂B的仰角為α度，若AC=6米，則樹高BC為（）A．6sinα米 B．6tanα米 C．6tan2．如圖，已知直線DE為水平線，DE∥BC，從甲樓DC的樓頂D處觀測乙樓AB的樓頂A處的俯角是（A．∠ADC B．∠EDA C．∠DBC D．∠EDB3．如圖，在河流兩邊有甲、乙兩座山，現(xiàn)在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線．已知甲山上A點(diǎn)到CD的垂直高度AC=120米；乙山BD的坡比為4:3，乙山上B點(diǎn)到河邊D的距離BD=650米，從B處看A處的俯角為25°．（A、B、(1)求乙山B處到河邊CD的垂直距離；(2)求河CD的寬度（結(jié)果保留整數(shù)）．4．小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機(jī)用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機(jī)A看建筑物頂部B的仰角為45°，看底部C的俯角為60°，無人機(jī)A到該建筑物BC的水平距離AD為10米，求該建筑物BC的高度．（結(jié)果保留根號）【考試題型15】方位角問題1．如圖，小明一家自駕到風(fēng)景區(qū)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西45°方向行駛一段距離至B地，再沿北偏東60°方向行駛26千米到達(dá)風(fēng)景區(qū)C，小明發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)C在A地的北偏東15°方向，那么A，B兩地的距離為2．“淄博燒烤”火了，許多游客紛紛從外地來到淄博吃燒烤．如圖，濟(jì)南的小本乘坐高鐵由濟(jì)南來淄博吃燒烤時，在距離鐵軌200米的B處，觀察他所乘坐的由濟(jì)南經(jīng)過淄博開往青島的的“和諧號”動車．他觀察到，當(dāng)“和諧號”動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10秒鐘后，動車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上．小李根據(jù)所學(xué)知識求得，這時段動車的平均速度是米/秒．3．如圖，燈塔A周圍12海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行8海里后到達(dá)C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險？（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，【考試題型16】坡度坡比問題1．如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC=10m，則坡面AB的長度為2．在坡道兩旁種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為7m，若測得坡道的坡度為1:3.5，則相鄰兩樹間的坡道距離為m．【考試題型17】其它問標(biāo)1．為了辦人民滿意的教育，某校大門口建造了供家長休息的涼亭（如圖1）．圖2是抽象出的平面幾何圖形，已知點(diǎn)D，A，E在同一水平線上，測得∠DAC=80°，∠BCA=110°，AC=2米，BC=2.2米．求涼亭最高點(diǎn)B到地面的距離BN的長．（sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，3

2．圖①、圖②分別是某種型號跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖．已知跑步機(jī)手柄AB與地面DE平行，踏板CD長為1.6m，CD與地面DE的夾角∠CDE=20°，支架AC長為1m，∠ACD=80°，求跑步機(jī)手柄AB所在直線與地面DE之間的距離．(結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，sin80°≈0.3，cos80°≈0.17，tan80°

3．我國在人工智能技術(shù)研究領(lǐng)域處于世界領(lǐng)先地位，“中國制造”已向“中國智造”轉(zhuǎn)型，圖1是我國自行設(shè)計(jì)的一款智能手臂機(jī)器人，圖2是該型號手臂機(jī)器人處于工作狀態(tài)時的示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB，BC為機(jī)械臂，OA=20cm，AB=100cm，BC=40cm，∠CBA=∠BAO=150°，過點(diǎn)C作直線CD垂直工作臺于點(diǎn)D，點(diǎn)A，B，C，D(1)求∠BCD的度數(shù)．(2)求機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺的距離CD的長．（結(jié)果保留根號）【提升練習(xí)】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都擴(kuò)大5倍，則sinA的值（A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，則

A．12 B．255 C．53．在Rt△ABC中，∠C=90°，則下列各式中，正確的是（

A．sinA=BCAB B．cosA=BCAB4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若3AB=5BC，則cosB的值是（

A．35 B．53 C．455．李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：3tanα+20°=1，你猜想銳角αA．40° B．30° C．20° D．10°6．若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°7．已知在△ABC中，AB=122，AC=13，cosB=22，則A．7 B．8 C．8或17 D．7或178．如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則sinB的值為（

A．23 B．1313 C．2139．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠CDB=30°，AC=23A．32 B．1 C．3 D．10．如圖，在半徑為1的⊙O上任取一點(diǎn)A，連續(xù)以1為半徑在⊙O上截取AB=BC=CD，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交⊙O于F．則△ACF面積是（）

A．2 B．3 C．3+22411．計(jì)算：(1)2cos(2)sin60°-112．在△ABC中，若sinA=32，cosB=12，∠A，13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P(3,y)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且tanα=43，則【14．在杭州西湖風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩．10s后船移動到點(diǎn)D的位置，問船向岸邊移動了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）

15．某“好人主題”公園圍繞好人主題向市民展示好人事跡，禮贊好人精神．如圖①，“點(diǎn)贊