北師大版必修一課后作業(yè)第四章函數(shù)應(yīng)用11

1．1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在學(xué)習(xí)目標1.理解函數(shù)的零點、方程的根與圖像交點三者之間的關(guān)系.2.會借助零點存在性定理判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖像判斷零點個數(shù)．知識點一函數(shù)的零點概念思考函數(shù)的“零點”是一個點嗎？答案不是，函數(shù)的“零點”是一個數(shù)，一個使f(x)＝0的實數(shù)x.實際上是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標．梳理概念：函數(shù)y＝f(x)的零點是函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標．方程、函數(shù)、圖像之間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．知識點二零點存在性定理思考函數(shù)零點有時是不易求或求不出來的．如f(x)＝lgx＋x.但函數(shù)值易求，如我們可以求出f(eq\f(1,10))＝lgeq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝－1＋eq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)，f(1)＝lg1＋1＝1.那么能判斷f(x)＝lgx＋x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))內(nèi)有零點嗎？答案能．因為f(x)＝lgx＋x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))內(nèi)是連續(xù)的，函數(shù)值從－eq\f(9,10)變化到1，勢必在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))內(nèi)某點處的函數(shù)值為0.梳理若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)·f(b)<0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個零點，即相應(yīng)的方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解．這個結(jié)論可稱為函數(shù)零點的存在性定理．類型一求函數(shù)的零點例1函數(shù)f(x)＝(lgx)2－lgx的零點為________．答案x＝1或x＝10解析由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴l(xiāng)gx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.反思與感悟函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標，所以函數(shù)的零點是一個數(shù)，而不是一個點．在寫函數(shù)零點時，所寫的一定是一個數(shù)字，而不是一個坐標．跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零點個數(shù)是________．答案4解析f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．可知零點為±1，－2,3，共4個．類型二判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間例2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個根所在的區(qū)間是()x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)答案C解析令f(x)＝ex－(x＋2)，則f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一個根在(1,2)內(nèi)．反思與感悟在函數(shù)圖像連續(xù)的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判斷在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，但不一定只有一個；而f(a)·f(b)＞0，卻不能判斷在區(qū)間(a，b)內(nèi)無零點．跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________.答案2解析∵函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx在定義域上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx在區(qū)間(n，n＋1)上只有一個零點．∵f(1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln2<0，f(3)＝9－7＋ln3>0，∴函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，∴n＝2.類型三函數(shù)零點個數(shù)問題eq\x(命題角度1判斷函數(shù)零點個數(shù))例3求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數(shù)．解方法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零點．又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．故函數(shù)f(x)有且只有一個零點．方法二在同一坐標系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖．由圖像知g(x)＝lg(x＋1)的圖像和h(x)＝2－2x的圖像有且只有一個交點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點．反思與感悟判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù)．(2)利用函數(shù)圖像交點的個數(shù)判定函數(shù)零點的個數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6零點的個數(shù)．解方法一由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點．又因為函數(shù)f(x)在定義域(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點．方法二通過作出函數(shù)y＝lnx，y＝－2x＋6的圖像，觀察兩圖像的交點個數(shù)得出結(jié)論．也就是將函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝lnx與y＝－2x＋6的圖像交點的個數(shù)．由圖像可知兩函數(shù)有一個交點，即函數(shù)f(x)有一個零點．eq\x(命題角度2根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍)例4f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)內(nèi)有零點，則a的取值范圍是()A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)答案D解析由題意可得a＝x－(eq\f(1,2))x(x＞0)．令g(x)＝x－(eq\f(1,2))x，該函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，可知g(x)的值域為(－1，＋∞)，故a＞－1時，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有零點．反思與感悟為了便于限制零點個數(shù)或零點所在區(qū)間，通常要對已知條件進行變形，變形的方向是：(1)化為常見的基本初等函數(shù)；(2)盡量使參數(shù)與變量分離，實在不能分離，也要使含參數(shù)的函數(shù)盡可能簡單．跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)各有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，1－eq\r(2)]∪[1＋eq\r(2)，＋∞)B．(－∞，1－eq\r(2))∪(1＋eq\r(2)，＋∞)C．[－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2)]D．(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2))答案D解析函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零點分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，即函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的圖像與x軸的交點一個在(－1,0)內(nèi)，一個在(1,2)內(nèi)，根據(jù)圖像列出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝2＞0，,f0＝2m＋1＜0，,f1＝4m＋2＜0，,f2＝6m＋5＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－\f(1,2)，,m＞－\f(5,6)，))∴－eq\f(5,6)＜m＜－eq\f(1,2)，∴實數(shù)m的取值范圍是(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2))．1．函數(shù)y＝x的零點是()A．(0,0)B．x＝0C．x＝1D．不存在答案B2．函數(shù)f(x)＝x2－2x的零點個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案C3．若函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，則下列說法正確的是()A．f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點，在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點B．f(x)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點，在區(qū)間(1,2)上一定有零點C．f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點，在區(qū)間(1,2)上可能有零點D．f(x)在區(qū)間(0,1)上可能有零點，在區(qū)間(1,2)上一定有零點答案C4．下列各圖像表示的函數(shù)中沒有零點的是()答案D5．函數(shù)f(x)＝x3－(eq\f(1,2))x的零點有()A．0個 B．1個C．2個 D．無數(shù)個答案B1．方程f(x)＝g(x)的根是函數(shù)f(x)與g(x)的圖像交點的橫坐標，也是函數(shù)y＝f(x)－g(x)的圖像與x軸交點的橫坐標．2．在函數(shù)零點存在性定理中，要注意三點：(1)函數(shù)是連續(xù)的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一個零點．3．解決函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種：(1)用定理；(2)解方程；(3)用圖像．4．函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題有時化為方程問題，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)．課時作業(yè)一、選擇題1．下列圖像表示的函數(shù)中沒有零點的是()答案A解析B，C，D的圖像均與x軸有交點，故函數(shù)均有零點，A的圖像與x軸沒有交點，故函數(shù)沒有零點．2．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且圖像是連續(xù)不斷的，若f(a)·f(b)＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上()A．至少有一實數(shù)根 B．至多有一實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．必有唯一的實數(shù)根答案D解析由題意知函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)．∵f(a)f(b)＜0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個零點．又∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至多有一個零點．故函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個零點，即方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)必有唯一的實數(shù)根．故選D.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)答案C解析由題意知，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)＜0.由零點存在性定理可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上必存在零點．4．對于函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)()A．一定有零點 B．一定沒有零點C．可能有兩個零點 D．至少有一個零點答案C解析若函數(shù)f(x)的圖像及給定的區(qū)間(a，b)，如圖(1)或圖(2)所示，可知A、D錯，若如圖(3)所示，可知B錯．5．已知x0是函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一個零點．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0答案B解析方法一由f(x)＝0得2x＋eq\f(1,1－x)＝0，∴2x＝eq\f(1,x－1).在同一直角坐標系中，作出函數(shù)y1＝2x，y2＝eq\f(1,x－1)的圖像(圖略)，觀察圖像可知，當(dāng)x1∈(1，x0)時，y1<y2；當(dāng)x2∈(x0，＋∞)時，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.方法二∵函數(shù)y＝2x，y＝eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上均為增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0得f(x1)<f(x0)＝0，由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0得f(x2)>f(x0)＝0.6．若函數(shù)f(x)在定義域{x|x∈R且x≠0}上是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)f(x)的零點有()A．一個B．兩個C．至少兩個D．無法判斷答案B解析f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且僅有一個零點2.又f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上有且僅有一個零點－2.因此函數(shù)f(x)有兩個零點－2與2.二、填空題7．若函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案(1，＋∞)解析f(0)＝－1，要使函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點，需f(1)＝m－1>0，即m>1.8．若函數(shù)f(x)＝3x2－5x＋a的一個零點在區(qū)間(－2,0)內(nèi)，另一個零點在區(qū)間(1,3)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－12,0)解析根據(jù)二次函數(shù)及其零點所在區(qū)間可畫出大致圖像，如圖．由圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＞0，,f0＜0，,f1＜0，,f3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋10＋a＞0，,a＜0，,3－5＋a＜0，,27－15＋a＞0，))解得－12＜a＜0.9．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－4，x≤0，,lgx，x＞0))的零點是________．答案－2,1解析當(dāng)x≤0時，令