12一元二次方程的解法（四）

1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程配方法：公式法：2.那還有其他方法解嗎？我們可以對(duì)進(jìn)行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x1=0，所以解出來x=0或x=1.因此，當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊為0，另一邊能分解成為兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。3.常見的因式分解法的類型方法常見類型因式分解的形式方程的解提公因式法x2±bx=0x（x±b）=0X1=0，x2=±b平方差法x2a2=0（x+a）（xa）=0X1=a，x2=a完全平方法x2±2ax+a2=0（x±a）2=0X1=x2=±a十字相乘法x2±（a+b）x+ab=0（x±a）（x±b）=0X1=±a，x2=±b4.因式分解法的步驟（1）移項(xiàng)：將方程的右邊化為0；（2）化積：將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；（3）轉(zhuǎn)化：令兩個(gè)一次因式分別為0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程；（4）求解：分別解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。5.用對(duì)應(yīng)的因式分解法解下列方程（1）（2）（3）（4）【解惑】例1：方程的根是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】變形后利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：移項(xiàng)，得，因式分解，得，則或，解得．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．例2：方程的根是______．【答案】，，【分析】利用因式分解法求方程的解即可．【詳解】解：因式分解得：，∴，，，∴原方程的解為，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的解高次方程，進(jìn)行因式分解是解方程的關(guān)鍵．例3：如果一個(gè)三角形兩邊的長分別等于一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三角形的第三邊的長可能是20嗎？__________．（填“可能”或“不可能”）【答案】不可能【分析】先求出方程的解，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷即可得到答案．【詳解】解：，，或，即三邊為6、11、20，，不符合三角形三邊關(guān)系定理，這個(gè)三角形的第三邊的長不可能是20，故答案為：不可能．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，能求出一元二次方程的解是解此題的關(guān)鍵．例4：若規(guī)定符號(hào)的意義：．（1）計(jì)算：__________．（2）若，則，的值為__________．【答案】58或15【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）由題意求得或，根據(jù)新定義化簡(jiǎn)所求式子后整體代入即可得解．【詳解】解∶（1）根據(jù)題中的新定義得∶原式；（2）∵，∴，得，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．故答案為∶（1）5；（1）8或15．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．例5：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝懈饕辉畏匠蹋?1)；(2)（用配方法）；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比較簡(jiǎn)便；（2）先把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的另一邊，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，配方，利用直接開平方法求解；（3）把看成一個(gè)整體，利用因式分解的十字相乘法求解比較簡(jiǎn)便；（5）先整理方程，用公式法比較簡(jiǎn)便．【詳解】（1）解：，整理，得，．或．，；（2）（用配方法），移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，配方，得，．．，；（3），，即．或．，；（4），，或，，；（5），方程整理，得，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）方程的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形是周長是()A． B． C．或 D．或或【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分類討論腰與底，利用三角形邊角關(guān)系判斷即可確定出周長．【詳解】解：，，，，，，有兩種情況：①三角形的三邊為，，，此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，②三角形的三邊為，，，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)三角形的周長為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定義，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）方程：的較小的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用因式分解法求出兩個(gè)根，再從中找出較小的根即可．【詳解】解：提公因式，得：，整理得：，∴，∵，∴較小的根是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是通過提取公因式將等號(hào)左邊的式子進(jìn)行因式分解．3．（2023春·上海徐匯·八年級(jí)上海市園南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程的根是（

）A．0， B．， C．0， D．，0，【答案】D【分析】把方程進(jìn)行因式分解得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得或，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用因式分解法解高次方程，正確對(duì)方程進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知某三角形的兩邊長恰是一元二次方程的兩根，則該三角形第三邊長可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】先求出方程的解，設(shè)第三邊為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出，求出，再逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：，，或，解得：，，即三角形的兩邊為2和4，設(shè)第三邊為，5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)大于的非正數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________．【答案】/【分析】先計(jì)算，再利用因式分解法解方程得，，再根據(jù)題意得到，然后解不等式組即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，解方程得，，∵該方程有一個(gè)大于的非正數(shù)根，，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式組，理解一元二次方程的解，正確得到關(guān)于a的不等式組是解答的關(guān)鍵．6．（2023秋·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一元二次方程，則它的兩個(gè)根是，______．【答案】4【分析】根據(jù)因式分解法直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴或，解得：，，故答案為：4；【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法．7．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）方程的解為________．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：分解因式得：，∴或，解得：，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握因式分解法解一元二次方程．8．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）某天，張老師帶領(lǐng)同學(xué)們利用棋子構(gòu)圖研究數(shù)字規(guī)律．將一些棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，若第個(gè)圖中共有個(gè)棋子，則的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)給定的圖找出其中的規(guī)律，列一元二次方程，求解即可．【詳解】解：第1個(gè)圖有7個(gè)棋子，第2個(gè)圖有11個(gè)棋子，第3個(gè)圖有17個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，依題意，，解得：（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律，列出方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·湖南懷化·八年級(jí)?？计谥校┙庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用直接開平方法求解即可．【詳解】（1）解：，，∴或，∴，；（2）解∶，，∴，∴，．【點(diǎn)睛】此題考查利用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移項(xiàng)得到，然后利用因式分解法解方程．【詳解】（1）∴或∴解得，；（2）∴或∴解得，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用適當(dāng)方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)(6)，【分析】利用直接開平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【詳解】（1）解：直接開平方可得：，或∴原方程的解為：，；（2）解：因式分解得：，∴原方程的解為：，；（3）解：，平方差因式分解得：，整理得：，∴原方程的解為：，；（4），提取公因式可得：，整理得：，∴原方程的解為：，；（5）解：∵方程，，∴原方程的解為：；（6），，因式分解得：，∴原方程的解為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查利用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庖辉畏匠?，解題時(shí)注意對(duì)方法的合理選擇．【知不足】1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】A【分析】根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是(

)A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】將代入方程得：，解得：，再把代入原方程求解．【詳解】解：將代入方程得：，解得：，∴原方程為：，則，解得：或，∴另一個(gè)根為1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二六中學(xué)?？既＃┓匠痰慕馐牵?/p>

）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，可得：或，解得：，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】原方程可轉(zhuǎn)化為，再化為兩個(gè)一次方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴或，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，熟練的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．5．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】先移項(xiàng)，再提取公因式分解因式，把原方程化為兩個(gè)一次方程，再解一次方程即可．【詳解】∵，∴．∴．∴或，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，熟練的利用因式分解的方法解方程是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）若代數(shù)式的值與的值相等，則x的值為___________．【答案】，【分析】先列方程，再把方程化為一般式，然后利用公式法解方程．【詳解】解：根據(jù)題意得，整理得，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．（2023春·上海浦東新·八年級(jí)上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直角梯形中，（），，，是上一點(diǎn)，且，，，那么直角梯形的面積是______．

【答案】27【分析】過作，交延長線于，延長至，使，連接，證得四邊形為正方形，證明，得到，，，從而證明，則有，進(jìn)一步推出，即可求得的長，設(shè)，在中，由勾股定理，可得方程，解方程即可求得的長，繼而求得直角梯形的面積．【詳解】解：過作，交延長線于，延長至，使，連接．

在直角梯形中，，，又，，四邊形為正方形．，，∴，∴，，，，∴，即，即，∴，又，，∴，∴，∴，∴，，即，設(shè)，則，，在中，，即，解得：或（舍去），，．故答案為：27．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．8．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考一模）閱讀與思考：閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．鄰根方程如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大，那么稱這樣的方程是“鄰根方程”，例如：一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程是“鄰根方程”．任務(wù)：(1)判斷：方程______“鄰根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知關(guān)于的一元二次方程是常數(shù)是“鄰根方程”，求的值．【答案】(1)是(2)或【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)“鄰根方程”的定義進(jìn)行判斷；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根據(jù)“鄰根方程”的定義得到或，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】（1）解方程得，，比大，方程是“鄰根方程”；（2），，或，，，方程是常數(shù)是“鄰根方程”，或，或．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）先移項(xiàng)，再配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（3）移項(xiàng)后求出的值，再代入公式求出方程的解即可；（4）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可．【詳解】（1）解：，，配方，得，，開方，得，，；（2），，，，或，解得，；（3），，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解得，；（4），，或，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．10．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）我們已探索過二元一次方程組、分式方程及一元二次方程方程的解法，在學(xué)習(xí)過程中感受到轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想及檢驗(yàn)反思的數(shù)學(xué)方法．(1)你能否用這些數(shù)學(xué)思想方法來探索方程的解？(2)在求解的過程中，你有何疑惑，請(qǐng)嘗試解決這些疑惑？【答案】(1)是原方程的解(2)見解析【分析】（1）根據(jù)兩邊分別平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，結(jié)果一定要檢驗(yàn)；（2）根據(jù)解題過程解答．【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得，方程兩邊平方，得，即，解方程，得或，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；（2）疑惑是：如何把無理方程化為有理方程，通過兩邊平方解決．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理方程以及解一元二次方程，利用轉(zhuǎn)化思想分析問題是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1.（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）已知，則代數(shù)式（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由可得，則有，即，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，解得：，∵，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）在正數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其規(guī)則為，則方程的解是（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)規(guī)則可得：，再解此方程，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，得，得，故或，解得（舍去），，所以，原方程的解為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，一元二次方程的解法，理解題意，得到方程并求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，已知M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

）

A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意求出A、P坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論求解即可．【詳解】解：由題意，將代入直線，得：，∴直線，令，得：，則A點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入，得：，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，，∴，設(shè)，①若，則為等腰直角三角形，，∵，，∴，解得：，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②若，則為等腰直角三角形，，此時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)所在直線對(duì)稱，∴，解得：，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為；

③∵M(jìn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，∴或，不存在的情況，綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的解析式，以及直角三角形的存在性問題，準(zhǔn)確求解一次函數(shù)的解析式，以及熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象與過點(diǎn)的直線相交于、兩點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)．如果，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，可得，進(jìn)而求得直線的解析式為，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，解方程即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)∴∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得：,∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴，設(shè)，∵，解得：或，∴的坐標(biāo)為或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例數(shù)交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)經(jīng)過確定解析式為，設(shè)正方形的邊長為x，則點(diǎn)，代入解析式計(jì)算即可．【詳解】∵經(jīng)過，∴解析式為，設(shè)正方形的邊長為x，則點(diǎn)，∴，解得（舍去），故點(diǎn)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，解方程，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）當(dāng)______時(shí)，函數(shù)是反比例函數(shù)．【答案】1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)定義列出代數(shù)式求解即可得到答案．【詳解】解：∵是反比例函數(shù)，∴，解得，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)定義、解方程及不等式，熟練掌握反比例函數(shù)定義，掌握因式分解解方程及不等式是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)D，垂足為C，連接，過點(diǎn)B作軸，垂足為E．若的面積為1，D為的中點(diǎn)．

（1）四邊形的面積為___________；（2）k的值為___________；（3）若A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，則點(diǎn)E到直線的距離為___________．【答案】1//【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到與面積相等，進(jìn)而得到四邊形面積與面積相等，即可得到結(jié)果；（2）證明，根據(jù)D為中點(diǎn)，得到面積之比為，求出面積，得到面積，即可確定出k的值；（3）先根據(jù)因式分解法解一元二次方程，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可得的長，最后根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵A、B是雙曲線y=上的兩點(diǎn)，軸，軸，∴，即，∵，∴，故答案為：1；（2）∵軸，軸，∴，∴，∵D為中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：；（3）∵，∴，∴，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，連接AE，設(shè)點(diǎn)E到的距離為h，

∴=AO?h，∴，即點(diǎn)E到直線OA的距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）已知正比例函數(shù)，那么它的圖像經(jīng)過____________象限．【答案】一、三【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義及解一元二次方程確定，再由正比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴或，又∵，∴．∴圖像過一、三象限．故答案為：一、三【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)的概念及圖像的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形的邊長為1，點(diǎn)E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長為________．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵正方形的邊長為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設(shè)，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）如圖是用棋子擺成的圖案：

根據(jù)圖中棋子的排列規(guī)律解決下列問題：(1)第4個(gè)圖中有__________顆棋子，第5個(gè)圖中有__________顆棋子；(2)寫出你猜想的第n個(gè)圖中棋子的顆數(shù)（用含n的式子表示）是__________，(3)請(qǐng)求出第多少個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是274個(gè)．【答案】(1)22，32(2)(3)第16個(gè)【分析】（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律，然后例用規(guī)律寫出第4和第5個(gè)圖中的棋子數(shù)即可；（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含n的式子表示出來即可．（3）由題意得：，然后解方程求解即可．【詳解】（1）（1）觀察發(fā)現(xiàn)第1個(gè)圖形有顆棋子；第2個(gè)圖形有顆棋子；第3個(gè)圖形有顆棋子；∴第4個(gè)圖形有顆棋子；第5個(gè)圖形有顆棋子；故答案為：22，32；（2）由（1）得：第n個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為，（3）由題意得：解方程得：（舍去），答：第16個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是274個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問題，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)各個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，難度不大．11．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（），例如：當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．(1)嘗試：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，______．(2)歸納：與有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．(3)運(yùn)用：若與的和為6325，求a的值．【答案】(1)；(2)相等，理由見解析；(3)7．【分析】（1）仔細(xì)觀察①②③，用含有相同規(guī)律的代數(shù)式表示即可解答；（2）由再計(jì)算即可解答；（3）由與的和為6325，列方程后整理可得，再解一元二次方程并結(jié)合a的意義即可解答．【詳解】（1）解：由①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．故答案為．（2）解：相等，理由如下：．（3）解：與的和為6325，，整理得：，解得：或7，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是數(shù)字的規(guī)律探究、完全平方公式的應(yīng)用、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、利用平方根的含義解方程等知識(shí)點(diǎn)，理解題意、列出運(yùn)算式或方程是解本題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）按要求解方程：(1)直接開平方法：；(2)配方法：；(3)公式法：；(4)因式分解法：；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)先把方程兩邊開