高考數(shù)學(xué)（北師大版理）講義第二章　函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ24

§2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)最新考綱考情考向分析1.理解并掌握二次函數(shù)的定義，圖象及性質(zhì)．2.能用二次函數(shù)，方程，不等式之間的關(guān)系解決簡單問題．3.了解冪函數(shù)的概念．4.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝的圖象，了解它們的變化情況.以冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)交匯命題；以二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與方程、不等式等知識(shí)交匯命題，著重考查函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合思想，題型一般為選擇、填空題，中檔難度.1．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)．零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)．(2)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖像定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減少的；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增加的在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增加的；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減少的對(duì)稱性函數(shù)的圖像關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對(duì)稱2．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常量．(2)常見的5種冪函數(shù)的圖像(3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇知識(shí)拓展1．冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性．(2)冪函數(shù)的圖像過定點(diǎn)(1,1)，如果冪函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．(3)當(dāng)α＞0時(shí)，y＝xα在[0，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)α＜0時(shí)，y＝xα在(0，＋∞)上為減函數(shù)．2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))時(shí)恒有f(x)>0，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))時(shí)，恒有f(x)<0.題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).(×)(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)．(×)(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖像的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小．(√)(4)函數(shù)y＝是冪函數(shù)．(×)(5)如果冪函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．(√)(6)當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)．(×)題組二教材改編2．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖像過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案C解析由冪函數(shù)的定義，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α.))∴k＝1，α＝eq\f(1,2).∴k＋α＝eq\f(3,2).3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)是減少的，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤3C．a(chǎn)＜－3 D．a(chǎn)≤－3答案D解析函數(shù)f(x)＝x2＋4ax的圖像是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是x＝－2a，由函數(shù)在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)是減少的可知，區(qū)間(－∞，6)應(yīng)在直線x＝－2a的左側(cè)，∴－2a≥6，解得a≤－3，故選D.題組三易錯(cuò)自糾4．冪函數(shù)f(x)＝(a∈Z)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析因?yàn)閍2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝(a∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以(a－5)2－2<0，從而a＝4,5,6，又(a－5)2－2為偶數(shù)，所以只能是a＝5，故選C.5．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，則它的圖像可能是()答案D解析由a＋b＋c＝0和a>b>c知，a>0，c<0，由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.6．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________．答案[1,2]解析如圖，由圖像可知m的取值范圍是[1,2]．題型一求二次函數(shù)的解析式典例(1)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3，對(duì)任意x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)的解析式為________________．答案f(x)＝x2－2x＋3解析由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，∴函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴eq\f(b,2)＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.(2)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________.答案x2＋2x解析設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq\f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.思維升華求二次函數(shù)解析式的方法跟蹤訓(xùn)練(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________.(2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________.答案(1)x2＋2x＋1(2)－2x2＋4解析(1)設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，∴－a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2a,b)))，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.題型二二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖像典例(2017·鄭州模擬)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是()答案A解析當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝logax為減函數(shù)，y＝(a－1)x2－x開口向下，其對(duì)稱軸為x＝eq\f(1,2a－1)＜0，排除C，D；當(dāng)a＞1時(shí)，y＝logax為增函數(shù)，y＝(a－1)x2－x開口向上，其對(duì)稱軸為x＝eq\f(1,2a－1)＞0，排除B.故選A.命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性典例函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是減少的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]答案D解析當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足題意．當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x＝eq\f(3－a,2a)，由f(x)在[－1，＋∞)上是減少的知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.綜上，a的取值范圍為[－3,0]．引申探究若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的遞減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝________.答案－3解析由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a<0，又eq\f(3－a,2a)＝－1，∴a＝－3.命題點(diǎn)3二次函數(shù)的最值典例已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值．解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；(2)當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；(3)當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.綜上可知，a的值為eq\f(3,8)或－3.引申探究將本例改為：求函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值．解f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，∴f(x)的圖像是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x＝－a.(1)當(dāng)－a＜eq\f(1,2)即a＞－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(2)＝4a＋5，(2)當(dāng)－a≥eq\f(1,2)即a≤－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，綜上，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋5，a＞－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).))命題點(diǎn)4二次函數(shù)中的恒成立問題典例(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．答案(－∞，－1)解析f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上是減少的，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．(2)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．當(dāng)x＝0時(shí)，－3<0，成立；當(dāng)x≠0時(shí)，a<eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,3)))2－eq\f(1,6)，因?yàn)閑q\f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，當(dāng)x＝1時(shí)，右邊取最小值eq\f(1,2)，∴a<eq\f(1,2).綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).思維升華解決二次函數(shù)圖像與性質(zhì)問題時(shí)要注意(1)拋物線的開口，對(duì)稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)．(3)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域．跟蹤訓(xùn)練(1)設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像可能是()答案D解析由A，C，D知，f(0)＝c＜0，從而由abc＞0，所以ab＜0，所以對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)＞0，知A，C錯(cuò)誤，D滿足要求；由B知f(0)＝c＞0，所以ab＞0，所以x＝－eq\f(b,2a)＜0，B錯(cuò)誤．(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇1，＋∞)，則a的值為________．答案－1或3解析由于函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析由題意得a＞eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)對(duì)1＜x＜4恒成立，又eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，eq\f(1,4)＜eq\f(1,x)＜1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\f(2,x2)))max＝eq\f(1,2)，∴a＞eq\f(1,2).題型三冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)1．冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)答案D解析設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，將(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，∴y＝，故選D.2．若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d＞c＞b＞aB．a(chǎn)＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a(chǎn)＞b＞d＞c答案B解析由冪函數(shù)的圖像可知，在(0,1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖像越接近x軸，由題圖知a＞b＞c＞d，故選B.3．若(2m＋1)>(m2＋m－1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－\r(5)－1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞))C．(－1,2) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，2))答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝的定義域?yàn)閇0，＋∞)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1≥0，,m2＋m－1≥0，,2m＋1>m2＋m－1.))解2m＋1≥0，得m≥－eq\f(1,2)；解m2＋m－1≥0，得m≤eq\f(－\r(5)－1,2)或m≥eq\f(\r(5)－1,2).解2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，綜上所述，eq\f(\r(5)－1,2)≤m<2.思維升華(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸．(3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用典例(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．思想方法指導(dǎo)研究二次函數(shù)的性質(zhì)，可以結(jié)合圖像進(jìn)行；對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)問題，要明確參數(shù)對(duì)圖像的影響，進(jìn)行分類討論．規(guī)范解答解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x＝1.[2分]當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時(shí)，函數(shù)圖像如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；[5分]當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)圖像如圖(2)所示，在對(duì)稱軸x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1；[8分]當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)圖像如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2.[11分]綜上可知，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋1，t＜0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t＞1.))[12分]1．冪函數(shù)y＝x(m∈Z)的圖像如圖所示，則m的值為()A．0B．1C．2D．3答案C解析∵y＝(m∈Z)的圖像與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，∴m2－4m<0，即0<m<4.又∵函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱且m∈Z，∴m2－4m為偶數(shù)，∴m＝2.2．(2018·江西九江七校聯(lián)考)若冪函數(shù)f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則m的值為()A．1或3 B．1C．3 D．2答案B解析由題意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8＞0，解得m＝1.3．(2017·汕頭一模)若命題“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)＜0或a≥3 B．a(chǎn)≤0或a≥3C．a(chǎn)＜0或a＞3 D．0＜a＜3答案A解析若ax2－2ax＋3＞0恒成立，則a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝4a2－12a＜0，))可得0≤a＜3，故當(dāng)命題“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命題時(shí)，a＜0或a≥3.4．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案C解析由題意可知函數(shù)f(x)的圖像開口向下，對(duì)稱軸為x＝2(如圖)，若f(a)≥f(0)，從圖像觀察可知0≤a≤4.5．已知二次函數(shù)f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系為()A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．與a值有關(guān)答案C解析該二次函數(shù)的圖像開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(1,4)，又依題意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，∴當(dāng)x1，x2在對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí)，eq\f(1,4)－x1>x2－eq\f(1,4)，故f(x1)<f(x2)．當(dāng)x1，x2都在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，由單調(diào)性知f(x1)<f(x2)．綜上，f(x1)<f(x2)．6．若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)答案A解析不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a＜(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.7．已知P＝，Q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3，R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，則P，Q，R的大小關(guān)系是________．(用“>”連接)答案P＞R＞Q3，即P＞R＞Q.8．已知冪函數(shù)f(x)＝xα，當(dāng)x>1時(shí)，恒有f(x)<x，則α的取值范圍是____________．答案(－∞，1)解析當(dāng)x>1時(shí)，恒有f(x)<x，即當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝xα的圖像在y＝x的圖像的下方，作出冪函數(shù)f(x)＝xα在第一象限的圖像(圖略)，由圖像可知α<1時(shí)滿足題意．9．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，則m的取值范圍是____________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))解析二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x＝eq\f(3,2)且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，作出函數(shù)y＝x2－3x－4的圖像如圖所示，由圖像得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).10．若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝eq\f(a,x＋1)在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．答案(0,1]解析由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是減函數(shù)可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1.∵y＝eq\f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴由g(x)＝eq\f(a,x＋1)在[1,2]上是減函數(shù)可得a>0，故0<a≤1.11．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為________．答案1解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))時(shí)，f(x)max＝1，f(x)min＝0，∴0≤f(x)≤1，∴m≥1，n≤0，∴(m－n)min＝1.12．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)當(dāng)a＝2，x∈[－2,3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值．解(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，對(duì)稱軸x＝－eq\f(3,2)∈[－2,3]，∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－eq\f(9,2)－3＝－eq\f(21,4)，f(x)max＝f(3)＝15，∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，15)).(2)對(duì)稱軸為x＝－eq\f(2a－1,2).①當(dāng)－eq\f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－eq\f(1,3)滿足題意；②當(dāng)－eq\f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1滿足題意．綜上可知，a＝－eq\f(1,3)或－1.13．已知在(－∞，1]上遞減的函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，且對(duì)任意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[1，eq\r(2)]C．[2,3] D．[1,2]答案B解析由于函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1的圖像的對(duì)稱軸為x＝t，函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1在區(qū)間(－∞，1]上是減少的，∴t≥1.∴當(dāng)x∈[0，t＋1]時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使對(duì)任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).又t≥1，∴1≤t≤eq\r(2).故選B.14．當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．答案(－∞，－5]解析方法一∵不等式x2＋mx＋4<0對(duì)x∈(1,2)恒成立，∴mx<－x2－4對(duì)x∈(1,2)恒成立，即m<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))對(duì)x∈(1,2)恒成立，令y＝x＋eq\f(4,x)，則函數(shù)y＝x＋eq\f(4,x)在x∈(1,2)上是減函數(shù)．∴4<y<5，∴－5<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))<－4，∴m≤－5.方法二設(shè)f(x