猜想04整式的乘法與因式分解（易錯(cuò)必刷30題10種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

猜想04整式的乘法與因式分解（易錯(cuò)必刷30題10種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）一．冪的乘方與積的乘方（共4小題）二．同底數(shù)冪的除法（共2小題）三．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共4小題）四．完全平方公式的幾何背景（共4小題）五．完全平方式（共2小題）六．平方差公式（共3小題）七．平方差公式的幾何背景（共3小題）八．整式的除法（共3小題）九．因式分解的意義（共2小題）十．因式分解的應(yīng)用（共3小題）一．冪的乘方與積的乘方（共4小題）1．（2023春?順義區(qū)期中）已知2a＝5，4b＝7，則2a+2b的值是（）A．35 B．19 C．12 D．10【分析】利用冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵2a＝5，4b＝7，∴2a+2b＝2a?22b＝2a?（22）b＝2a?4b＝5×7＝35，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?寶塔區(qū)期末）若x，y均為正整數(shù)，且2x+1?4y＝128，則x+y的值為（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5【分析】先把2x+1?4y化為2x+1+2y，128化為27，得出x+1+2y＝7，即x+2y＝6因?yàn)閤，y均為正整數(shù)，求出x，y，再求了出x+y．，【解答】解：∵2x+1?4y＝2x+1+2y，27＝128，∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6∵x，y均為正整數(shù)，∴或∴x+y＝5或4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是化為相同底數(shù)的冪求解．3．（2023秋?敘州區(qū)校級(jí)月考）給出下列等式：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝（a+2b）9；②25?25＝26；③a2m＝（﹣am）2；④a2m＝（﹣a2）m．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝﹣（a+2b）9，故①錯(cuò)誤；②25?25＝210，故②錯(cuò)誤；③a2m＝（﹣am）2，故③正確；④a2m＝（﹣a2）m（m為偶數(shù)），故④錯(cuò)誤；所以，上列等式，其中正確的有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?東城區(qū)校級(jí)期中）若am＝2，an＝3，則a2m+n＝12．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方的性質(zhì)，即可得a2m+n＝a2m?an＝（am）2?an，又由am＝2，an＝3，即可求得答案．【解答】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m+n＝a2m?an＝（am）2?an＝22×3＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握積的乘方法則：（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）與同底數(shù)冪的乘法法則：am?an＝am+n（m，n是正整數(shù)），注意公式的逆用．二．同底數(shù)冪的除法（共2小題）5．（2023秋?龍華區(qū)校級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3+a4＝a7 B．（a3）2＝a5 C．（﹣ab3）2＝﹣a2b6 D．a(chǎn)9÷a6＝a3【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、a3與a4不能合并，故A不符合題意；B、（a3）2＝a6，故B不符合題意；C、（﹣ab3）2＝a2b6，故C不符合題意；D、a9÷a6＝a3，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?敘州區(qū)校級(jí)月考）已知，，那么2016m﹣n＝（）A．0 B．1 C．2016 D．20162【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方法則，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：＝＝＝，∵，∴m﹣n＝0，∴2016m﹣n＝20160＝1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，零指數(shù)冪，冪的乘方與積的乘方，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．三．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共4小題）7．（2023秋?長沙期中）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，則m、n的值分別是（）A．m＝1，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝5，n＝﹣6 D．m＝5，n＝6【分析】運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算方法求解（x﹣2）（x+3），再分別求得m，n的值．【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，∴m＝1，n＝﹣6，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)進(jìn)行正確地計(jì)算．8．（2023秋?榆樹市校級(jí)月考）如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【分析】先用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開求它們的積，并且把m看作常數(shù)合并關(guān)于x的同類項(xiàng)，令x的系數(shù)為0，得出關(guān)于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，又∵（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項(xiàng)，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，根據(jù)乘積中不含哪一項(xiàng)，則哪一項(xiàng)的系數(shù)等于0列式是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?洛陽期中）[知識(shí)回顧]有這樣一類題：代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無關(guān)，求a的值；通常的解題方法；把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3．[理解應(yīng)用]（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值與x的取值無關(guān)，求m的值；（2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值與x無關(guān)，求y的值；（3）（能力提升）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中有兩個(gè)部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．【分析】（1）令2m﹣3＝0，解出m的值即可；（2）將原式中的y看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，令x的系數(shù)為0，求出y值即可；（3）設(shè)AB＝x，根據(jù)圖形分別將S1和S2用x、a和b表示出來，求出S1﹣S2的表達(dá)式并合并同類項(xiàng)，令x的系數(shù)為0，求出a和b的等量關(guān)系即可．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的多項(xiàng)式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值與x的取值無關(guān)，∴2m﹣3＝0，∴m＝．（2）3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3[2x2﹣x﹣1﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝﹣3（2﹣5y）x﹣9．∵3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值與x無關(guān)，∴2﹣5y＝0，∴y＝．（3）設(shè)AB＝x，由圖形得S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab．∵S1﹣S2的值始終保持不變，∴（a﹣2b）x+ab與x無關(guān)，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及合并同類項(xiàng)，熟練運(yùn)用它們是本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?南昌期末）（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是﹣1，n的值是﹣6；（2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+，①求（a﹣2）（b﹣2）的值；②求++1的值．【分析】（1）先去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，根據(jù)等式的恒等性，列等式，計(jì)算；（2）先去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，根據(jù)等式的恒等性，求出（a+b）、ab的值，①把（a+b）、ab的值代入整理后的整式計(jì)算即可；②通分后，配方，再把（a+b）、ab的值代入后計(jì)算．【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，∴x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，∴m＝﹣1，n＝﹣6，故答案為：﹣1，﹣6；（2）∵，∴a+b＝﹣2，，①（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4＝＝，②＝＝＝＝13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，等式的恒等性、整體性、配方是解題的關(guān)鍵．四．完全平方公式的幾何背景（共4小題）11．（2023秋?安溪縣期中）如圖，將幾個(gè)小正方形與小長方形拼成一個(gè)邊長為（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法計(jì)算這個(gè)邊長為（a+b+c）的正方形面積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）；（2）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a?4b?8c＝16，a2+4b2+9c2＝30，求2ab+3ac+6bc的值．【分析】（1）用兩種方法計(jì)算正方形的面積：一是先計(jì)算正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算；二是對(duì)各部分圖形的面積求和進(jìn)行計(jì)算．這兩種方法計(jì)算的結(jié)果相等；（2）將2a?4b?8c＝16中的冪和16化為以2為底的冪，得到a、b、c的關(guān)系式，將該關(guān)系式等號(hào)兩邊同時(shí)平方并按照（1）中的等式展開，再利用a2+4b2+9c2＝30求出2ab+3ac+6bc的值即可．【解答】解：（1）（方法一）S正方形＝（a+b+c）2，（方法二）S正方形＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）．故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）．（2）∴2a?4b?8c＝2a?22b?23c＝2a+2b+3c＝16＝24，a2+4b2+9c2＝30，∴a+2b+3c＝4，∴（a+2b+3c）2＝a2+（2b）2+（3c）2+2（a?2b+a?3c+2b?3c）＝a2+4b2+9c2+2（2ab+3ac+6bc）＝16，即30+2（2ab+3ac+6bc）＝16，解得2ab+3ac+6bc＝﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式及其幾何背景、同底數(shù)冪的乘法等，熟練掌握它們是本題的關(guān)鍵．12．（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．（1）模擬練習(xí)：如圖，寫出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；（2）解決問題：如果，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個(gè)長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個(gè)長方形的面積．【分析】（1）用兩種方法表示同一個(gè)圖形面積即可．（2）用（1）中得到的公式計(jì)算．（3）將8﹣x，x﹣2當(dāng)成兩個(gè)字母后用公式．【解答】解：（1）圖中大正方形的面積可以表示為：（a+b）2，還可以表示為：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）設(shè)a＝8﹣x，b＝x﹣2，則a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴這個(gè)長方形的面積為：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的幾何背景及其應(yīng)用，用兩種方法表示同一個(gè)圖形面積，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是求解本題的關(guān)鍵．13．（2023秋?方城縣月考）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師用圖①中的1張邊長為a的正方形A紙片、1張邊長為b的正方形B紙片和2張寬和長分別為a與b的長方形C紙片，拼成了如圖②中的大正方形．觀察圖形并解答下列問題．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積（答案直接填寫到橫線上）；方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2；從而可以驗(yàn)證我們學(xué)習(xí)過的一個(gè)乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）嘉琪用這三種紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）的大長方形，求需要A、B、C三種紙片各多少張；（3）如圖③，已知點(diǎn)C為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的兩側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且兩正方形的面積之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的結(jié)論求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）先表示面積，再求關(guān)系．（2）先表示大長方形的面積，再確定三種紙片張數(shù)．（3）通過（1）中結(jié)論計(jì)算．【解答】解：（1）大正方形的邊長為：a+b，面積為（a+b）2；還可以用1張A，B，兩張C拼出，∴面積還可以為：a2+2ab+b2；∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案為：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B兩種紙片各2張，C種紙片5張．（3）設(shè)AC＝a，BC＝CF＝b則a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的幾何背景，用兩種方法表示同一個(gè)圖形面積是求解本題的關(guān)鍵．14．（2023?永修縣開學(xué)）如圖①，是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，用剪刀沿圖中的虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四個(gè)形狀和大小都相同的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個(gè)正方形（中間是空的）．（1）圖②中畫有陰影的小正方形的邊長為m﹣n（用含m，n的式子表示）；（2）觀察圖②，寫出代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2與mn之間的等量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系解決下面的問題：（i）若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值；（ii）若a+＝3，求a2+的值．【分析】（1）觀察圖形即可．（2）通過面積找到三者間的關(guān)系．（3）利用（2）中關(guān)系計(jì)算即可．【解答】解：（1）圖②中畫有陰影的小正方形的邊長（m﹣n）；故答案為：m﹣n．（2）圖②中畫有陰影的小正方形的邊長（m﹣n），面積為：（m﹣n）2，（圖②中畫有陰影的小正方形的面積還可以表示為：（m+n）2﹣4mn．∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．（3）（i）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣20＝29．（ii）a2+＝﹣2＝9﹣2＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的幾何背景，觀察圖形，用兩種方法表示同一個(gè)圖形面積是求解本題的關(guān)鍵．五．完全平方式（共2小題）15．（2023秋?濱海新區(qū)校級(jí)期中）若x2+mx+49是一個(gè)完全平方式，那么m的值為（）A．7 B．14 C．﹣14 D．±14【分析】首末兩項(xiàng)是x和7這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x和7積的2倍．【解答】解：∵x2+mx+49是一個(gè)完全平方式，∴①x2+mx+49＝（x+7）2+（m﹣14）x，∴m﹣14＝0，m＝14；②x2+mx+49＝（x﹣7）2+（m+14）x，∴m+14＝0，m＝﹣14；∴m＝±14；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式：兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．16．（2022秋?青云譜區(qū)期末）若25x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式能成為一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式是10x或﹣10x或．【分析】把25x2看作中間項(xiàng)或第一項(xiàng)，根據(jù)完全平方公式可解答．【解答】解：①25x2是平方項(xiàng)時(shí)，25x2±10x+1＝（5x±1）2，∴可添加的項(xiàng)是10x或﹣10x，②25x2是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，+25x2+1＝，∴可添加的項(xiàng)是，綜上所述可添加的項(xiàng)是：10x或﹣10x或，故答案為：10x或﹣10x或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方、多項(xiàng)式，掌握滿足完全平方式的情況只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2兩種，分情況討論是解題關(guān)鍵．六．平方差公式（共3小題）17．（2023秋?路南區(qū)期中）若x+y＝5，x﹣y＝6，則x2﹣y2的值為（）A．1 B．11 C．30 D．35【分析】根據(jù)平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵x+y＝5，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×6＝30，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋?堯都區(qū)期中）已知a+b＝6，則a2﹣b2+12b的值為（）A．6 B．12 C．24 D．36【分析】先利用平方差公式進(jìn)行因式分解，再代入計(jì)算即可求值．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2﹣b2+12b＝（a+b）（a﹣b）+12b＝6（a﹣b）+12b＝6a﹣6b+12b＝6a+6b＝6（a+b）＝6×6＝36，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠正確利用平方差公式進(jìn)行因式分解．19．（2023秋?衡南縣期中）下列能使用平方差公式的是（）A．（x+3）（x+x） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（m+n）（﹣m﹣n） D．（3m+n）（3m﹣n）【分析】利用平方差公式的特點(diǎn)，完全平方公式的特點(diǎn)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【解答】解：（x+3）（x+x），不符合平方差公式的特點(diǎn)，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵（m+n）（﹣m﹣n）＝﹣（m+n）2，不符合平方差公式的特點(diǎn)，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵（3m+n）（3m﹣n），符合平方差公式的特點(diǎn)，∴選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特點(diǎn)，完全平方公式的特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．七．平方差公式的幾何背景（共3小題）20．（2022秋?離石區(qū)期末）在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】這個(gè)圖形變換可以用來證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下的部分面積為a2﹣b2；因?yàn)槠闯傻拈L方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），根據(jù)“長方形的面積＝長×寬”代入為：（a+b）×（a﹣b），因?yàn)槊娣e相等，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為a2﹣b2；拼成的長方形的面積：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出第一個(gè)圖的陰影部分面積，進(jìn)而根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式求出拼成的長方形的面積，根據(jù)面積不變得出結(jié)論．21．（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）如圖，邊長為a的大正方形剪去一個(gè)邊長為b的小正方形后，將剩余部分通過割補(bǔ)拼成新的圖形．根據(jù)圖形能驗(yàn)證的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】邊長為a的大正方形剪去一個(gè)邊長為b的小正方形后的面積＝a2﹣b2，新的圖形面積等于（a+b）（a﹣b），由于兩圖中陰影部分面積相等，即可得到結(jié)論．【解答】解：圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差，即為a2﹣b2；剩余部分通過割補(bǔ)拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），∵前后兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用幾何方法驗(yàn)證平方差公式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)拼接前后不同的幾何圖形的面積不變得到等量關(guān)系．22．（2023?無為市校級(jí)開學(xué)）如圖1，邊長為a的大正方形有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是A；（請(qǐng)選擇正確的選項(xiàng)）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）請(qǐng)利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝4．②計(jì)算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）用兩種方法表示陰影部分的面積即可．（2）利用（1）中得到的平方差公式計(jì)算．【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積＝a2﹣b2，圖②中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選A．（2）①∵（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2．∴6（2a﹣b）＝24，∴2a﹣b＝24÷6＝4．故答案為：4．②＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式及其應(yīng)用，用兩種方法表示同一個(gè)圖形面積，再用所得公式完成計(jì)算是求解本題的關(guān)鍵．八．整式的除法（共3小題）23．（2023秋?龍華區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算（x2y）3÷（2xy）3的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】先算乘方，再算除法，即可解答．【解答】解：（x2y）3÷（2xy）3＝x6y3÷8x3y3＝x3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的除法，冪的乘方與積的乘方，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)三角形的面積是8（a2b）3，它的一邊長是（2ab）2，那么這條邊上的高為（）A．2a4b B．4a4b C．2a3b D．4a3b【分析】依據(jù)題意，由三角形的面積公式可得高，進(jìn)而計(jì)算可以得解．【解答】解：由題意，∵三角形的面積＝邊×高÷2，∴高＝2×面積÷邊．又一個(gè)三角形的面積是8（a2b）3，它的一邊長是（2ab）2，∴這條邊上的高為2×8（a2b）3÷（2ab）2＝16a6b3÷4a2b2＝4a4b．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的除法的應(yīng)用以及三角形的面積計(jì)算公式，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．25．（2023春?房山區(qū)期末）計(jì)算：（8a4+6a）÷2a＝4a3+3．【分析】依據(jù)題意，由整式的除法運(yùn)算法則可以得解．【解答】解：原式＝8a4÷2a+6a÷2a＝4a3+3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的除法，解題時(shí)需要熟練掌握并準(zhǔn)確計(jì)算．九．因式分解的意義（共2小題）26．（2023秋?晉江市期中）下列從左到右的變形為因式分解的是（）A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3 C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．xy﹣1＝xy（1﹣）【分析】運(yùn)用因式分解的定義進(jìn)行逐一辨別、求解．【解答】解：∵a（x﹣y）＝ax﹣ay是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵x（x﹣2）+3不是整式的乘積形式，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）是因式分解，∴選項(xiàng)C符合題意；∵xy（1﹣）中含有分式，∴選項(xiàng)D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的辨別能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用因式分解的定義進(jìn)行求解．27．（2023秋?東城區(qū)校級(jí)期中）因?yàn)閤2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），令x2+x﹣6＝0，則（x+3）（x﹣2）＝0，x＝﹣3或x＝2，反過來，x＝2能使多項(xiàng)式x2+x﹣6的值為0．利用上述閱讀材料求解：（1）若x﹣4是多項(xiàng)式x2+mx+8的一個(gè)因式，求m的值；（2）若（x﹣1）和（x+2）是多項(xiàng)式x3+ax2﹣5x+b的兩個(gè)因式，試求a，b的值；（3）在（2）的條件下，把多項(xiàng)式x3+ax2﹣5x+b因式分解的結(jié)果為（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．【分析】（1）由已知條件可知，當(dāng)x＝4時(shí)，x2+mx+8，將x的值代入即可求得；（2）由題意可知，x＝1和x＝﹣2時(shí)，x3+ax2﹣5x+b＝0，由此得二元一次方程組，從而可求得a和b的值；（3）將（2）中a和b的值代入x3+ax2﹣5x+b，提取公因式x，則由題意知（x﹣1）和（x+2）也是所給多項(xiàng)式的因式，從而問題得解．【解答】解：（1）∵x﹣4是多項(xiàng)式x2+mx+8的一個(gè)因式，∴x＝4時(shí)，x2+mx+8＝0，∴16+4m+8＝0，∴4m＝﹣24，∴m＝﹣6，∴m的值為﹣6．（2）∵（x﹣1）和（x+2）是多項(xiàng)式x3+ax2﹣5x+b的兩個(gè)因式，∴x＝1和x＝﹣2時(shí)，x3+ax2﹣5x+b＝0，∴，解得，∴a、b的值分別為2和2．（3）∵a＝2，b＝2，∴x3+ax2﹣5x+b可化為：x3+2x2﹣5x+2，∴x3+2x2﹣5x+2＝（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．故答案為：（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根據(jù)閱讀材料仿做，是解答本題的關(guān)鍵．十．因式分解的應(yīng)用（共3小題）28．（2023春?渠縣校級(jí)期末）已知a、b是△ABC的兩邊，且滿足a2﹣b2＝ac﹣bc，則△ABC的形狀是等腰三角形．【分析】依據(jù)題意，由a2﹣b2＝ac﹣bc得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，再進(jìn)行適當(dāng)變形得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，有a+b＞c，從而可以得解．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．∵在△ABC中，a+b＞c，∴a+b﹣c＞0．∴a﹣b＝0，即a＝b．∴△ABC是等腰三角形．故答案為：等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．29．（2023秋?樂至