數(shù)列中的遞推講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

《數(shù)列中的遞推》講義《數(shù)列中的遞推——探索數(shù)字的奇妙世界》講義同學(xué)們，咱們今天要一起走進(jìn)數(shù)列的奇妙世界，特別是其中的遞推關(guān)系。這可是高中人教B版（2019）選擇性必修第三冊(cè)第五章數(shù)列中的重要內(nèi)容哦！咱們先來說說啥是數(shù)列。想象一下，數(shù)列就像是一列排好隊(duì)的數(shù)字小兵，每個(gè)數(shù)字都有自己的位置和特點(diǎn)。比如說，1，3，5，7，9……這就是一個(gè)數(shù)列，是不是很簡(jiǎn)單？那啥是遞推呢？這就好比是數(shù)字小兵們的前進(jìn)規(guī)則。通過前面的數(shù)字，我們可以按照一定的方法算出后面的數(shù)字。比如說，有一個(gè)數(shù)列，第一個(gè)數(shù)是1，從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大2。那這個(gè)數(shù)列就是1，3，5，7，9……這就是遞推關(guān)系啦！咱們來看一個(gè)生活中的例子吧。比如說，小明去爬樓梯，他第一次爬了1級(jí)臺(tái)階，然后從第二次開始，每次都比前一次多爬2級(jí)臺(tái)階。那咱們就可以用數(shù)列來表示小明爬樓梯的級(jí)數(shù)。第一個(gè)數(shù)是1，然后按照每次多2級(jí)的規(guī)則，這個(gè)數(shù)列就是1，3，5，7，9……是不是很有意思？好啦，咱們正式開始學(xué)習(xí)數(shù)列中的遞推啦！一、遞推關(guān)系式的定義遞推關(guān)系式就是通過前面的項(xiàng)來表示后面項(xiàng)的一種關(guān)系式。比如說，一個(gè)數(shù)列{a?}，如果存在一個(gè)關(guān)系式，能讓我們通過a???（或者前面的幾個(gè)項(xiàng)）來算出a?，那這個(gè)關(guān)系式就是遞推關(guān)系式。舉個(gè)例子，對(duì)于數(shù)列{a?}，如果有a?＝2a???＋1（n≥2），a?＝1，這就是一個(gè)遞推關(guān)系式。那我們?cè)趺锤鶕?jù)這個(gè)關(guān)系式來求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)呢？我們從第一項(xiàng)開始，a?＝1。然后根據(jù)遞推關(guān)系式，a?＝2a?＋1＝2×1＋1＝3。接著，a?＝2a?＋1＝2×3＋1＝7。以此類推，我們就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)啦！二、常見的遞推關(guān)系式類型1、等差數(shù)列型遞推關(guān)系式如果一個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系式是a?＝a???＋d（n≥2），其中d是一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就是等差數(shù)列。比如說，一個(gè)數(shù)列{a?}，a?＝2，a?＝a???＋3（n≥2），那這個(gè)數(shù)列就是2，5，8，11，14……2、等比數(shù)列型遞推關(guān)系式如果一個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系式是a?＝qa???（n≥2），其中q是一個(gè)不為0的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就是等比數(shù)列。比如說，一個(gè)數(shù)列{a?}，a?＝3，a?＝2a???（n≥2），那這個(gè)數(shù)列就是3，6，12，24，48……3、其他類型的遞推關(guān)系式除了等差數(shù)列型和等比數(shù)列型的遞推關(guān)系式，還有一些其他類型的遞推關(guān)系式，比如a?＝a???＋a???（n≥3），這就是著名的斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系式。三、遞推關(guān)系式的求解方法1、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推關(guān)系式，從第一項(xiàng)開始，依次求出后面的項(xiàng)。比如說，對(duì)于遞推關(guān)系式a?＝2a???＋1（n≥2），a?＝1，我們已經(jīng)知道了a?＝1，那a?＝2a?＋1＝2×1＋1＝3，a?＝2a?＋1＝2×3＋1＝7，以此類推。2、特征根法這個(gè)方法聽起來有點(diǎn)高大上，其實(shí)也不難。對(duì)于一些特定類型的遞推關(guān)系式，我們可以通過求解特征方程來得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)方法可能有點(diǎn)難理解，不過沒關(guān)系，咱們通過一個(gè)例子來看看。比如說，對(duì)于遞推關(guān)系式a?＝2a???a???（n≥3），我們可以先寫出它的特征方程x2＝2x1，解這個(gè)方程得到x?＝1，x?＝1。然后，我們可以設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?＝c?＋c?n，把a(bǔ)?和a?的值代入，就可以求出c?和c?的值，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、遞推關(guān)系式的應(yīng)用遞推關(guān)系式在很多方面都有應(yīng)用呢！比如說，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些需要用遞推關(guān)系式來解決的問題。還有，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，遞推關(guān)系式也被廣泛應(yīng)用于算法設(shè)計(jì)。咱們來看一個(gè)例子吧。假設(shè)有一個(gè)儲(chǔ)蓄賬戶，初始存款為1000元，每年的利息是5%，并且每年年底會(huì)再存入100元。那么，我們可以用遞推關(guān)系式來表示這個(gè)賬戶在第n年的余額。設(shè)a?表示第n年的余額，那么我們可以得到遞推關(guān)系式：a?＝1.05a???＋100（n≥2），a?＝1000通過這個(gè)遞推關(guān)系式，我們就可以求出這個(gè)賬戶在任意一年的余額啦！五、練習(xí)題好啦，同學(xué)們，咱們來做幾道練習(xí)題鞏固一下吧！1、已知數(shù)列{a?}滿足a?＝1，a?＝2a???＋1（n≥2），求a?。2、數(shù)列{a?}中，a?＝2，a?＝3a???2（n≥2），求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式。3、有一個(gè)數(shù)列{a?}，a?＝1，a?＝2，a?＝a???＋a???（n≥3），求a?。六、練習(xí)題答案及解析1、我們已經(jīng)知道a?＝1，根據(jù)遞推關(guān)系式a?＝2a???＋1（n≥2），可以求出：a?＝2a?＋1＝2×1＋1＝3a?＝2a?＋1＝2×3＋1＝7a?＝2a?＋1＝2×7＋1＝15a?＝2a?＋1＝2×15＋1＝31所以，a?＝31。2、對(duì)于遞推關(guān)系式a?＝3a???2（n≥2），我們可以先設(shè)a?x＝3(a???x)，化簡(jiǎn)得到a?＝3a???2x。對(duì)比原遞推關(guān)系式，可得-2x＝－2，解得x＝1。所以，a?1＝3(a???1)，這是一個(gè)等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為a?1＝1。所以，a?1＝3??1，即a?＝3??1＋1。3、根據(jù)遞推關(guān)系式a?＝a???＋a???（n≥3），我們可以依次求出：a?＝a?＋a?＝2＋1＝3a?＝a?＋a?＝3＋2＝5a?＝a?＋a?＝5＋3＝8a?＝a?＋a?＝8＋5＝13a?＝a?＋a?＝13＋8＝21所以，a?＝21。七、總結(jié)同學(xué)們，咱們今天學(xué)